3.2.3圆心角弦弦心距之间关系

1、九年级数学(下) 第三章 圆,3.2,圆的对称性,圆的对称性(3) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,一、复习引入：,1、什么是轴对称、中心对称图形？,1、圆心角，弦心距的概念,顶点在圆心的角叫圆心角.,圆心到弦的距离叫弦心距.,2、 圆的旋转不变性：圆是一个中心对称图形，圆心是它的对称中心。圆绕着圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合。,二、新课学习：,练习：判别下列各图中的角是不是圆心角， 并说明理由。,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,(1)定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弦 相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等。,思考定理的条件和结论分别是什么？并回答：,条件：,结论：,在等圆或同圆

2、中,圆心角相等,圆心角所对弧相等,圆心角所对弦相等,圆心角所对的弦心距相等,演示,猜想：把圆心角相等与三个结论的任何一个 交换位置，有怎样的结果？,(2) 推论： 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。,顶点在圆心的圆心角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角，整个圆周被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1的弧。 （同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）,结论：圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。,1弧的概念：,三、巩固应用、变式练习,1 、 判断题，下列说法正确吗？为什么？,（不对）,（不对）,P,A,B,

3、C,D,O,M,N,例1：如图，点O是EPF平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D 求证：AB=CD,证明：作OMAB，ONCD，M、N为垂足，MPO=NPO OMAB ONCD OMAB OMON ABCD ONCD,A,B,C,D,O,M,N,变式1：,O,A,B,C,D,E,F,P,M,N,变式2： 已知：如图， O的弦AB，CD相交于点P，APO=CPO 求证：AB=CD,A,B,C,D,M,N,O,如图M、N为AB、CD的中点,且AB=CD. 求证：AMNCNM,变式3：,例2、在O中，弦AB所对的 劣弧为圆的1/3，圆的半径为2 厘米，求AB的长,例3、已

4、知 AB和CD为O的两条直径,弦CEAB, EC弧的度数等于40. 求BOD的度数。,2、已知：如图，O中， AB、CD交于E，AD=BC。 求证：AB=CD。,四、课堂练习,1、在O中，直径为10厘米，AB弧是圆的1/4，求弦AB的长。,3、如图，O中弦AB，CD相交于P，且AB=CD. 求证：PB=PD,思考题： 已知AB和CD是O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果ABCD，那么OM和ON有什么关系？为什么？,圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系 1、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小； 2、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角 也较大。,二、弦、弦心距之间的不等量关系,已知O中

5、，弦ABCD，OMAB，ONCD，垂足分别为M，N， 求证：OMCD，那么OMON。,1、一条弦把圆分成3：6两部分，则优弧所对 的圆心角为 . 2、A、B、C为O上三点，若 、 、 的度数之比为1：2：3， 则AOB= ， BOC= , COA= . 3、在O中，AB弧的度数为60，AB弧的长 是圆周长的 。 4、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆 心角是 度。,三、基础练习：,240,60,120,180,1/6,60,6、如图，弦AB所对的劣弧 为圆的 ,则AOB= . ACB= ,5、弦长为24cm,这条弦的弦心距为 cm， 这条 弦所对的圆心角是 度，圆的半径是 。,120,120

6、,60,例1、已知：如图，在ABC中, C=90， A=34,以点C为圆心,CB为半径的圆交 AB于D点，求BD弧的度数.,问题：求BD弧的度数，可转化 为求什么？需添辅助线吗？ 如何添？,四、例题分析,分析：（1）要证AP=BP,有什么路径？ （2）“CP是DCO的平分线”“CDAB” 条件如何用？ （3）有无“隐含条件”？ （4）需添辅助线吗？,例2、如图，已知：AB为O的弦， 从圆上一点C引弦CDAB,作OCD的 平分线交O于P点，连结PA,PB. 求证：PA=PB.,例3、（99年北京中考题） 在O中，CD过圆心O，且CDAB于D，过点C任作一弦CF交O于F，交AB于E， 求证：CB=

7、CECF,五、思考题： 1、如图，AB是O的直径，过AB上任一点K作与AB相交成45的弦PQ，设O的半径为R，求证： PK2+QK2为定值。,2、如图A与B是两个等圆,直线CFAB,分别交A于点C、D，交B于点E、F。 求证：CAD=EBF,A,B,C,D,E,F,G,H,五、思考题：,小结： 1、圆具有“旋转不变性”。 即：圆绕圆心旋转任意角度，都能与本身重合 2、圆心角、弦心距、1的弧的定义。 3、四个量之间的等量关系。（知一推三） 证明弧相等方法的扩充： （1）等弧的定义 （2）垂径定理及推论 （3）四个量之间的等量关系及推论。 4、圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系。 （相等） 5、

8、常添的辅助线：作出半径、弦心距,1、了解圆的对称性和它的旋转不变性. 2、理解圆心角、弦心距的概念. 3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等 关系定理及推论. 4、理解1弧的概念。,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,教学目标：,教学重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系.,教学难点：从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、 弧、 弦、弦心距之间的相等关系。,教学课时：共二课时。,A,B,O,M,O,A,B,M,2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等。,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）,1. 圆心角的度数和

9、它所对的弧的度数相等。,一、重要定理复习,根据这一定理，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间就可以实现等量关系的相互转化，由知一个转为知三个，给解题带来了转机。,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,如果 AOB = COD,如果 OE = OF,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.,题设,结论,（1）直径 （2）垂直于弦,（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心MNAB, AC=BC, ,垂径定理,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心 AC=BC,垂径定理推论1,推论1.

10、 (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,M,O,A,C,B,N, MNAB AC=BC,垂径定理推论1,推论1: (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;,M,O,A,C,B,N,垂径定理推论1,推论1: (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,圆的两条平行弦所夹的弧相等。,垂径定理推论2,O,A,B,C,D,E,F,例2：已知：如图， AB、CD是O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距 如果AOBCOD, 那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,O,A,B,C,E,F,圆心角、弧、弦、弦心距之间的