构力学II 第一套王焕定5动力学7

1、七、结构的地震反应分析,地震作用与地震作用理论概述 单自由度地震作用分析 地震反应谱 多自由度地震作用分析 地震反应的时程分析法 几点结论,7.1 地震作用与地震作用理论概述,7.1.1 地震作用(地震力) 由于地面运动结构质量所产生的惯性力称为地震作用或地震力.结构的抗震设计当然必须首先解决地震力的计算. 因为地震力不仅和地面运动有关,而且还和结构的动力特性有关.而地面运动的特征(强度、频谱特征、持续时间等)受震源机制、地质条件等等影响,结构本身又是一十分复杂的力学系统,加之结构和基础间的相互作用,其中许多因素是搞不清楚的.因此地震作用的研究经历了艰难的历程. 7.1.2 地震作用理论 由于

2、问题的复杂性,地震作用理论经历了一个由粗略到科学的如下逐步发展过程:,7.1 地震作用与地震作用理论概述,1) 静力理论 这是本世纪初日本大森房吉提出的,为了简化他把结构视作刚体.,因此如果地面运动的最大加速度为 ,结构某处的重量为 ,则此质量所受的地震力为,(1),由于完全不考虑结构的变形,显然静力理论与实际不符.,2) 定函数理论 这是原苏联扎夫里耶夫在大森房吉之后首先提出的“动力理论”.他将地震地面运动视作余弦函数,7.1 地震作用与地震作用理论概述,后来原苏联柯尔琴斯基又对其进行了修正,将地面运动假设为,(2),该理论虽然克服了静力理论不考虑结构变形的缺点,但实际地面运动复杂的多,根本

3、不能用确定函数来描述.,3) 反应谱理论 这是以单自由度线性体系在实际地面运动作用下的反应为基础,对结构进行分析的“拟静力理论”.我国和许多国家的抗震设计规范都以这种理论为依据,后面将专门介绍.,(3),7.1 地震作用与地震作用理论概述,4) 时程分析理论 这是以体系运动方程为基础,用数值积分方法求体系反应时间历程的“动力理论”(也称直接积分理论).随着电算技术的发展,我国抗震设计规范已规定,对一些高层和大型重要建筑要用时程分析法进行补充计算，今后还将得到更广泛的应用和发展。,5) 其他理论 地震、脉动风荷载等都是随机荷载，当然可以用随机振动理论来进行地震反应的统计特征分析. 也可从地震时结

4、构不破坏条件下所能吸收的能量来进行设计. 但这些地震作用理论都还未被列入规范,因此都未能在抗震设计中普遍应用.,7.1 地震作用与地震作用理论概述,地震地面运动是多维的,但经验表明水平地面运动是导致结构破坏的主要因素,作为初学,本章只讨论受单向水平地面运动激励的情况. 震害和计算都表明,对高烈度区地震竖向地面运动的影响较显著。因此，我国对高烈度区的一些大跨、高耸结构和靠自重保持平衡的结构规定需要考虑竖向地震的作用。,7.2 单自由度地震作用分析,本节是反应谱理论的基础,为此首先讨论受地面运动激励的体系运动方程. 7.2.1 单、多自由度体系地震作用运动方程,7.2 单自由度地震作用分析,h,m

5、,EI,解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平相对位移。设x坐标向右。,又设横梁（质量m）相对地面位移为u，以它为隔离体，受力如图所示。,h,列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的运动方程为,图中Fs1和Fs2可由图是有位移法（实际直接可由形常数）得到,例-1) 试建立图示结构受地面运动 的运动方程。,7.2 单自由度地震作用分析,解：为用刚度法建方程，沿位移正向使限制位移的支座产生图示单位位移。,由层刚度定义可得,加惯性力、阻尼力後以楼层为隔离体,7.2 单自由度地震作用分析,图中各项和第二章例子相仿，分别为,列平衡方程并以矩阵方程表示，则得运动方程如下,元素全为1,ui为相对位移,7.2

6、 单自由度地震作用分析,7.2.2 单自由度体系地震反应分析 单自由度体系地震反应分析运动方程为,(4),或表示成,(5),在零初始条件下式(5)的位移解答为,由此体系的地震作用(惯性力)为,(6),(10),由于一般结构阻尼比很小,可近似认为d,所以,(11),(6),(7),(8),式中,(9),7.2 单自由度地震作用分析,对抗震设计来说,关心的是最大地震作用,也即,式(14)和式(1)形式上完全相同,但其概念是根本不同的.式(1)中a0是地面最大加速度,与体系的动力特性无关.而式(14)中amax是质点最大绝对加速度,它和体系的动力特性(频率和阻尼)有关.,对抗震设计来说,一旦求得地震

7、作用P,即可将其看作静力作用进行结构强度和刚度等验算.,(12),(13),(14),7.3 地震反应谱,从式(6)-(8)或式(11)-(14)可见,相对位移、相对速度、绝对加速度反应和地面加速度、周期和阻尼有关,都是时间的函数. 7.3.1 相对位移、速度和绝对加速度反应谱 对于某一地面地震记录,相对位移、相对速度、绝对加速度的最大反应只是周期T 和阻尼比 的函数，如果固定阻尼比 ,则最大反应只和周期有关,这一关系曲线则分别称为该地震的相对位移、相对速度、绝对加速度的反应谱,分别记作D(T)、V(T)、A(T)。 讲义上图5-2、5-3和5-4分别为1940年Elcentro南-北地震分量

8、的相对位移、相对速度、绝对加速度反应谱.,7.3 地震反应谱,由于一般结构阻尼比很小,可近似认为d,所以从式(11)-(13)可见,D(T)、V(T)、A(T)分别为,(15),(16),(17),(18),如果称下式为准速度反应谱,7.3 地震反应谱,则位移、加速度反应谱和准速度反应谱间有如下关系,(19),(21a),(20),(22a),如果记,(21b),则速度和准速度反应谱分别为,(22b),7.3 地震反应谱,由式(22)可见,(23a),(24a),式中,(24b),由此可见,(25),(23b),由式(19)、(20)、(25)可见,只要有三个反应谱之一,就可利用其间所述关系方

9、便地求得另两个反应谱.,7.3 地震反应谱,上面介绍了用计算机计算的办法获得反应谱,实际上也可利用“多摆地震仪”在地震现场实测出反应谱. 7.3.2 地震反应谱的标准化 地震反应谱随地面运动的不同而变化，不同次地震的反应谱是不同的，同一次地震不同地点由于地质条件的不同，地面运动也是不同的，因此地震反应谱也不同。 工程抗震所要设计的建筑场地未来的地震更是无法预知的，自然无法得到其地震反应谱。但是，由大量地震记录计算获得的反应谱却有如下共同的特征： 1) 阻尼对减少反应谱峰值有很大作用. 2) 速度反应谱在相当宽的周期范围内接近于一定值. 3) 加速度反应谱当周期稍长时谱值随周期反比下降.,7.3

10、 地震反应谱,这样就有可能利用众多的地震记录算得其平均反应谱作为设计的依据.这个平均反应谱称为标准反应谱.讲义上图5-6和图5-7为C.W.Housner得到的平均速度和平均加速度反应谱. 图5-8是三种反应谱随周期变化趋势的示意.,当周期很短时,由于加速度仪严重失真,因此反应谱的这一段误差较大.但作为极端情况T=0,此时体系为刚体,无相对位移和速度,所以D=V=0.而amax=|g|max . 当周期很长时,系统刚度很小,质点相当于空中定点,地面运动时处于不动的状态.此时D=|ug|max .另两反应谱可由三反应谱关系得到. 7.3.3 抗震设计反应谱 目前抗震设计主要是确定地震作用,然后根

11、据地震作用按静力作结构强度和刚度验算.,7.3 地震反应谱,单自由度体系的地震作用为,(26),为地震影响系数,我国抗震设计规范(GBJ11-89)给出了地震影响系数和体系周期的关系曲线如讲义图5-9所示.,7.4 多自由度地震作用分析,多自由度地震作用分析又称作振型分解反应谱法,顾名思义不难想到是利用振型分解和反应谱来解决多自由度体系的地震反应.,图中Tg和max根据场地土的类别和国家规定的近震还是远震、建设地点的设防烈度由表5-1和5-2来确定。,7.4 多自由度地震作用分析,7.4.1 反应谱理论的适用条件 实际上反应谱理论有如下三个假定: 1) 结构的地基式刚性盘体. 这一假定对一般建

12、筑物由于其长度远小于地震波的波长,可认为近似满足.但对于大跨度桥梁和大型水坝等结构,这一假定是不合理的. 2) 结构是理想弹性体. 在小震作用下,结构不破坏,可近似看作弹性体.但在大震、罕遇地震作用下,我国抗震设计原则是“大震不倒”,允许结构进入非弹性状态,此时反应谱理论不适用. 3) 地面运动过程可以用地震记录来表示. 虽然地震仪在高频和低频部分有失真,但是除地震记录外,没有更可靠的资料能说明地震地面运动的规律.,7.4 多自由度地震作用分析,7.4.2 多自由度体系地震反应分析 多自由度体系的运动方程为,(27),利用第四章振型分解法结果,设u=yj(t)Aj ,将式(27)两边左乘 Ai

13、T,可得 Mi*i(t) +Ci*i(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t) (28) 式中 Mi*=AiTMAi (29) Ci*=AiTCAi (30) Ki*=AiTKAi (31) Pi*(t)=-AiTM1g(t) (32) 式(28)也可改写为 i(t) +2iii(t)+i2yi(t)=-ig(t) (33) 其中振型参与系数为 i =AiTM1/Mi* (34),7.4 多自由度地震作用分析,式(33)和单自由度运动方程只差一个振型参与系数,因此对每一振型均可利用单自由度的解答,(35),将其代回u=yi(t)Ai ,即可得u=ii(t)Ai .式中i(t)称为第i振型的广义位移

14、,由式(35)可知和式(11)一样,(36),7.4.3 多自由度体系地震作用分析 多自由度体系第r质点的地震作用(地震力)为,(37),若将M1g也按振型分解,即设M1=aiMAi ,则,7.4 多自由度地震作用分析,由振型正交性可证:ai=i .因此 mrg=mrgiAri (38) 式(37)和(38)中Ari 为第i振型第r自由度的值.由式(38)可知 iAri =1 (39),将式(38)代回式(37)可得,由于i(t)=ui(t)对比式(11)和式(36),因此绝对加速度,(40),式(41)称为第i振型的广义加速度反应函数.由此,(41),(42),7.4 多自由度地震作用分析,

15、若记,考虑到设计关心的是最大反应,如取imax=i(T)称为第i振型地震影响系数(由图5-9确定),则第i振型最大地震作用为,(44),(43),i振型影响函数,i振型作用函数,(46),则,(45),式(45)表明地震作用反应函数Pi(t)为各振型地震作用反应函数之和,它是地震作用的一般公式.而工程抗震设计中,要用结构最大内力作设计依据. 7.4.4 振型组合问题,7.4 多自由度地震作用分析,7.4.4 振型组合问题,(47),(48),用式(48)计算最大内力反应显然不便于工程抗震设计应用.为此,利用反应谱确定各振型地震反应影响函数的最大值imax=i(T),则可求得各振型的最大地震内力

16、,由各振型的地震作用反应函数可求得各振型的内力反应函数.设k截面第i振型内力反应函数为,式中 为 作为静力作用 所引起的k截面内力.由叠加原理k截面内力反应函数为,(49),7.4 多自由度地震作用分析,(50),1) 平方和开放的组合方案(SRSS法) 这个方案适用于稀疏型频谱的结构内力组合,2) 完全二次型组合方案(CQC法) 这个方案适用于密集频谱型结构的内力组合,用式(49)可求得k截面第i振型最大内力,但因为各振型最大内力并不同时出现,这就存在一个如何用振型最大内力组合来估计最大地震内力的振型组合问题. 讲义上介绍了五种组合方案,这里仅介绍两种常用方案(其他方案请自学).,(51),7.4 多自由度地震作用分析,(52),式(50)和式(51)是根据假设地震地面运动为平稳随机过程而得到,是我国GBJ11-89规定的组合方法. 对稀疏型频谱的一般刚性结构,取前三个振型进