高考文科数学解析几何压轴题（含解析）

1、第二节 圆锥曲线第一部分 五年高考文科荟萃2009年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1（2009浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点若，则椭圆的离心率是（ ） A B C D 【解析】对于椭圆，因为，则【答案】D2.(2009山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ). A. B. C. D. 【解析】抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B. 【答案】B【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点

2、斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.3.（2009全国卷文）双曲线的渐近线与圆相切，则r= ( ) A. B.2 C.3 D.6【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=.【答案】A4（2009全国卷文）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=(). . . .【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=.【

3、答案】D5.（2009福建卷文）若双曲线的离心率为2，则等于( )A. 2 B. C. D. 1【解析】由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.【答案】D6（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的 是(. ( ) A. B. C. D. 【解析】依据双曲线的离心率可判断得.选B。【答案】B7（2009江西卷文）设和为双曲线()的两个焦点, 若，是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A B C D3【解析】由有,则,故选B.【答案】B8（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B . C . D.【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐

4、近线方程为【答案】C【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。9（2009四川卷文、理）已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则( ) A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.【答案】C10.（2009湖南卷文）抛物线的焦点坐标是（ ） A（2，0） B（- 2，0） C（4，0） D（- 4，0）【解析】由,易知焦点坐标是，故选B. 【答案】B11.（2009陕西卷文）“”是“方程”表示焦点在y轴上的

5、椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以.【答案】C12.（2009全国卷文）设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）A. B.2 C. D.【解析】由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C.【答案】C13.（2009湖北卷文）已知双曲线（b0）的焦点，则b=( )A.3 B. C. D. 【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.【答案】C二、填空题1.（2009重庆

6、卷文、理）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 【解析1】因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即设点由焦点半径公式，得则记得由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率【解析2】 由解析1知由椭圆的定义知 ，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.【答案】2（2009北京文、理）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. ，又， 又由余弦定理，得，故应填.3.（2009四川卷文）抛物线的焦点到准线的距离是 .【解析】焦点（1，0），准线方程

7、，焦点到准线的距离是2.【答案】24.（2009湖南卷文）过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A，B，若（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为 .【解析】, 【答案】25.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。【解析】设抛物线为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得：x2kx0，k22，故.【答案】三、解答题1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点.(1)求椭圆

8、G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.解（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. (2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.2.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为（I）求与的值；（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点若是的切线，求的最小值解（）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解

9、得（）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。则，当 则。联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为 ，联立方程整理得：，即： ，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率：MN是抛物线的切线， 整理得，解得（舍去），或，3.（2009北京文）（本小题共14分） 已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线C的方程；（）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力解（）由题意，得，解得，所求双曲线的方程为.（）设A、B两点的坐标分

10、别为，线段AB的中点为， 由得（判别式）,点在圆上，.4.（2009江苏卷）（本题满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。 5. (2009山东卷文)（本小题满分14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,动点的轨迹为E.（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标

11、原点),并求出该圆的方程;(3)已知,设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解（1）因为,所以, 即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上

12、, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1R2)相切于A1, 由（2）知, 即 ,因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得,即有唯一解则=, 即, 由得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 由 中,所以, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.6.（20

13、09全国卷文）（本小题满分12分）已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（）求a,b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解（）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 ， 故 ， 由 ，得 ，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （）知C

14、的方程为+=6. 设() C 成立的充要条件是， 且整理得 故 将 于是 , =, 代入解得，此时于是=， 即 因此， 当时， ； 当时， 。（）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.7.（2009江西卷文）（本小题满分14分）如图，已知圆是椭圆的内接的内切圆, 其中为椭圆的左顶点. （1）求圆的半径;（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，G证明：直线与圆相切 （1）解 设，过圆心作于,交长轴于由得,即 (1) 而点在椭圆上, (2)由(1)、 (2)式得,解得或（舍去）(2) 证明设过点与圆相切的直线方程为: (3)则,即 (4)解得将(3)代入得,

15、则异于零的解为设,，则则直线的斜率为：于是直线的方程为: 即则圆心到直线的距离 故结论成立.8.（2009天津卷文）（本小题满分14分）已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且（求椭圆的离心率；（）直线AB的斜率；（）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。解 （1）由，得,从而，整理得，故离心率（2）由（1）知，所以椭圆的方程可以写为设直线AB的方程为即由已知设则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得依题意，而，有题设知，点B为线段AE的中点，所以联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得.(3)由（2）知，当时，得A由已知得线

16、段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故当时，同理可得.9.（2009四川卷文）（本小题满分12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。解（I）由已知得，解得 所求椭圆的方程为 . （II）由（I）得、若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得设、， ，这与已知相矛盾。若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设、，联立，消元得 ， ， 又 化简得解得 所求直线的方程为 . 10.（2009湖南卷文）（本小题满分

17、13分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（）求椭圆C的方程;（）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。解 （）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知， 所以故椭圆C的方程为 .（）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 如图，设点M，N的坐标分别为线段MN的中点为G， 由得. 由解得. 因为是方程的两根，所以，于是=， .因为，所以点G不可能在轴的右边，又直线,方程分别为

18、所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 即 亦即 解得，此时也成立. 故直线斜率的取值范围是10.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。 （1）求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。方法一 解（）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，所以所以由所以曲线的方程是（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为设由将P点的坐标代入因为又所以记则由又S（1）=2，当时，面积取到最小值，当当时，面积取到最大值所以面积范围是方法二（）由题意知，双曲线C的顶点（

19、0，a）到渐近线，由所以曲线的方程是.（）设直线AB的方程为由题意知由由将P点的坐标代入得设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）=.11.（2009四川卷文、理）（本小题满分12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。解 （I）由已知得，解得 所求椭圆的方程为 . （II）由（I）得、若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得设、， ，这与已知相矛盾。若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设、，联立，消元得 ， ， 又 化简得解得 所求直线的方程为 12.（2009全国卷文

20、）（本小题满分12分） 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。（）求r的取值范围（）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解：（）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根即。解这个方程组得.（II）设四个交点的坐标分别为、。则由（I）根据韦达定理有，则 令，则 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。方法2：设四个交点的坐标分别为、则直线AC、BD的方程分别为解得点P的坐标为。设，由及（）得 由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积则将，代入上式，并令，等

21、，令得，或（舍去）当时，；当时；当时，故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。 13.（2009湖北卷文）（本小题满分13分）如图，过抛物线y22PX(P0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1 ()求证：FM1FN1:()记FMM1、FM1N1、FN N1的面积分别为S1、S2、，S3，试判断S224S1S3是否成立，并证明你的结论。 证明 方法一 由抛物线的定义得 如图，设准线l与x的交点为 而即故方法二 依题意，焦点为准线l的方程为设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有由 得于是，故（）解 成立，证明

22、如下：方法一 设，则由抛物线的定义得，于是 将与代入上式化简可得 ，此式恒成立。故成立。方法二 如图，设直线M的倾角为，则由抛物线的定义得于是在和中，由余弦定理可得由（I）的结论，得即，得证。66.（2009宁夏海南卷文）(本小题满分12分)已知椭圆的中心为直角坐标系的原点，焦点在轴上，它的一个项点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆的方程（2）若为椭圆的动点，为过且垂直于轴的直线上的点，（e为椭圆C的离心率），求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 解得a=4,c=3, 所以椭圆C的方程为 （）设M（x,y）,P(x,),其中由已知得而，故

23、由点P在椭圆C上得 ， 代入式并化简得所以点M的轨迹方程为轨迹是两条平行于x轴的线段. 14.（2009福建卷文）（本小题满分14分）已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。（I）求椭圆的方程；（）求线段MN的长度的最小值；（）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由解 方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而 即又由得故又 当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值（）由（）可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或 15.（2009重庆卷文）（本小题满分12分）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率（）求该双曲线的方程；（）如题（20）图，点的坐标