高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第3讲函数与方程及函数的应用

1、第第 3 3 讲讲函数与方程及函数的应用函数与方程及函数的应用 【高考考情解读】1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角 函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围； 函 数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题 .2. 函数的零点主要是以填空题的形式考查， 以基础知识为主， 而函数的实际应用则主要以解答 题的形式出现，属中、高档题 1 函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数 f(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点 (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)f

2、(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根， 即函数yf(x)的图象与函数yg(x) 的图象交点的横坐标 (3)零点存在性定理 如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0， 且 a1)当 2a3b0， (2)函数 f(x)的零点个数是_ 2x1x0， 答案(1)2(2)3 解析(1)2a3， f(x)logaxxb 为定义域上的单调函数 f(2)loga22b， f(3) loga33b. lg 2 lg 2 lg 2lg alg 3，3，b3，2b1， loga22b0，即 f(2)0. lg 3 lg 3 1 ，3b4，10，即 f(2)f(

3、3)0 时，在同一个直角坐标系中分别作出 yln x 和 yx22x(x1)2 1 的图象，可知它们有两个交点；当x0 时，作出 y2x1 的图象，可知它和 x 轴 有一个交点综合知，函数yf(x)有三个零点 (1)函数零点(即方程的根)的确定问题， 常见的有函数零点值大致存在区间的确定； 零点个数的确定； 两函数图象交点的 横坐标或有几个交点的确定 解决这类问题的常用方法有解方程法、 利用零点存在的判 定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解 (2)提醒：函数的零点不是点，是方程f(x)0 的根，即当函数的自变量取这个实数时， 其函数值等于零函数的零点也就是函数

4、yf(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标 (1)(2012天津改编)函数 f(x)2xx3 2 在区间(0,1)内的零点个数是_ (2)已知函数 f(x)axxb 的零点 x0(n，n1)(nZ)，其中常数 a、b 满足 2a3,3b 2，则 n_. 答案(1)1(2)1 解析(1)因为 f(x)2xln 23x20， 所以函数 f(x)2xx32 在(0,1)上递增， 且 f(0)10210， 所以有 1 个零点 (2)f(x)axxb 的零点 x0就是方程 axxb 的根 设 y1ax，y2xb， 故 x0就是两函数交点的横坐标，如图， 1 当 x1 时，y1log32y21b1log32

5、， a 1x00)， 若点对(P，Q)是函数 f(x)的图象上的一个“镜像点对”， y0log3x0， 则有 y0cos x0cos x0， 所以 log3x0cos x0，即 x0是方程 log3xcos x 的根 在同一个直角坐标系中画出函数 ylog3x 与 ycos x 的图象，可知这两个图象共有 3 个交点，即函数 f(x)的图象的“镜像点对”共有 3 对 考点三函数模型及其应用 例 3省环保研究所对市中心每天环境放 射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时) x2 的关系为 f(x)| 2 a|2a ，x0,24，其中 a 是与气象有关的

6、参数，且a0， 3x 1 1，若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a) 2 x (1)令 t 2 ，x0,24，求 t 的取值范围； x 1 (2)省政府规定， 每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性 污染指数是否超标？ (1)分 x0 和 x0 两种情况，当 x0 时变形使用基本不等式求解 2 (2)利用换元法把函数 f(x)转化成 g(t)|ta|2a ，再把函数 g(t)写成分段函数后求 3 M(a) 解(1)当 x0 时，t0； 1 当 0x24 时，x 2(当 x1 时取等号)， x x111 t 2 (0， ，即 t 的取值范围是

7、0， 22 x 1 x1 x 12 (2)当 a0， 时，记 g(t)|ta|2a ， 23 则 g(t) 21 ta ，at . 32 2 t3a ，0ta， 3 1 g(t)在0，a上单调递减，在(a， 上单调递增， 2 217 且 g(0)3a ，g( )a ， 326 11 g(0)g( )2(a ) 24 g2，0a4， 故 M(a) 11 g0， a . 42 71 11 a6，0a4， 即 M(a) 211 3a ， a 342. 17 当 0a 时，M(a)a 2 显然成立； 46 3a32， 由1 1 a 4 2， 2 14 得 a ， 49 4 当且仅当 0a 时，M(a)

8、2. 9 441 故当 0a 时不超标，当 4， x2 2，04. x1 x280x4， 4 x2 当 04 时 4，解得 4x16. x1 综上 04， 2x2 mx22m0x4， 16 得 mx2 当 0x4 时，y2m 在区间(0,4上单调递增，即 2m4 时，y 0， 2x22 7m 函数在区间(4,7上单调递减，即y3m， 4 7m 综上知， y3m， 4 为使 4y10 恒成立，只要 1610 即 m. 73 16 所以应该投放的药剂量m 的最小值为 . 7 7m4 且 3m10 即可， 4 1 函数与方程 (1)函数 f(x)有零点方程 f(x)0 有根函数 f(x)的图象与 x

9、 轴有交点 (2)函数 f(x)的零点存在性定理 如果函数 f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数 f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使 f(c)0. 如果函数 f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间a，b上 是一个单调函数，那么当 f(a)f(b)0，那么，函 数 f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点 如果函数 f(x)在区间a，b上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f(x)在区间(a，b) 内有零点时不一定有 f(a)f(b)0. 2 函数综合题的求解往往应用多种知识和技能 因此，必须全面掌

10、握有关的函数知识，并 且严谨审题，弄清题目的已知条件， 尤其要挖掘题目中的隐含条件要认真分析， 处理 好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决 3 应用函数模型解决实际问题的一般程序 建模求解反馈 文字语言数学语言数学应用检验作答 与函数有关的应用题， 经常涉及到物价、 路程、 产值、 环保等实际问题， 也可涉及角度、 面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式， 然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答. 读题 1 1 已知函数 f(x)( )xlog2x，实数a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)0(0abc)

11、，若实数x0为方 3 程 f(x)0 的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是_(填序号) x0b；x0c. 答案 1 解析函数 f(x)( )xlog2x 3 在其定义域(0，)上是减函数， 0af(c) 又f(a)f(b)f(c)0， 则 f(a)0，f(b)0，f(c)0. 若 f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(c)0，则 bx0c 不可能成立，故填. 2 若 f(x)1 1 ，当 x0,1 时，f(x)x，若在区间(1,1内，g(x)f(x)mxm 有 fx1 两个零点，则实数 m 的取值范围是_ 1 答案(0， 2 解析设 x(1,0)，则 x1(0,1)， 11 f(x)

12、11， fx1x1 画出 f(x)在(1,1上的图象(如下图)， g(x)f(x)mxm 在(1,1上有两个零点，即 f(x)m(x1)有两个不同根， 即 yf(x)与 ym(x1)有两个不同交点 如上图，当过(1,0)的直线处于 l 与 x 轴之间时， 1 满足题意，则 00，x 所以 f(x)是增函数，由条件可知f(1)f(2)0， 即(22a)(41a)0，即 a(a3)0， 解之得 0a3. 3 (2013天津改编)函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为_ 答案2 1 x解析当 0x1 时，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1， 1 x 令 f(x)0 得 log

13、2x 2 ， 1 x 由 ylog2x，y 2 的图象知在(1，)上有一个交点，即f(x)在(1，)上有一个零 点，故有 2 个零点 4 根据统计， 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位： 分钟)为 f(x) c A，xA 那么 c 和 A 的值分别是_ 答案60,16 c ，x0 得(x2x)a2(x1)0. 令 f(a)(x2x)a2(x1) 方法一(补集法) 2f10， x x20， 由题意得即 2f30. 3x x20， 2 解得1x ， 3 2 所以所求范围为该集合的补集，即为x . 3 方法二(直接法)由题意得 f(1)0 或 f(3)0，解得 6若关于 x 的方程 4co

14、s xcos2xm30 恒有实数解， 则实数 m 的取值范围是_ 答案0,8 解析设 cos xt1,1，则 t24t3m0， 得 mt24t3 在1,1上是单调递减的， 所以 m0,8 |lg x|，x0， 7 设定义域为 R 的函数 f(x) 2 则关于 x 的函数 y2f2(x)3f(x)1 的 x 2x，x0， 零点的个数为_ 答案7 解析由 y2f2(x)3f(x)10 得 1 f(x) 或 f(x)1， 2 1 如图画出 f(x)的图象，由 f(x) 知有 4 个根， 2 由 f(x)1 知有 3 个根，故共有 7 个零点 log2x，x0， 8 已知函数 f(x) x 且关于 x

15、 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实 3 ，x0， 数 a 的取值范围是_ 答案(1，) 解析画出函数 yf(x)与 yax 的图象，如图所示，所以a1. 9 (2013辽宁改编)已知函数 f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设 H1(x) maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示 p，q 中的较大值，minp， q表示p， q 中的较小值) 记H1(x)的最小值为A， H2(x)的最大值为B， 则AB_. 答案16 解析f(x)x(a2)244a， g(x)x(a2)2124a， 在同一坐标系内作 f(x)与 g(x

16、)的图象(如图) 依题意知，函数 H1(x)的图象(实线部分)， 函数 H2(x)的图象(虚线部分) H1(x)的最小值 Af(a2)44a， H2(x)的最大值 Bg(a2)124a， 因此 AB(44a)(124a)16. 二、解答题 10(2012陕西改编)设函数 fn(x)xnbxc(nN N，b，cR R) 1 (1)设 n2，b1，c1，证明：fn(x)在区间 2，1内存在唯一零点； (2)设 n2，若对任意 x1，x21,1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求 b 的取值范围 (1)证明b1，c1，n2 时，fn(x)xnx1. 1 1 1 fnfn(1) n 10， 1 fn

17、(x)在 2，1上是单调递增的， 1 fn(x)在 2，1内存在唯一零点 (2)解当 n2 时，f2(x)x2bxc. 对任意 x1， x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4 等价于 f2(x)在1,1上的最大值与最小值之 差 M4. 据此分类讨论如下： b 当 21，即|b|2 时， M|f2(1)f2(1)|2|b|4，与题设矛盾 b 当1 0，即 0b2 时， 2 bb 124 恒成立 Mf2(1)f2 22 b 当 0 1，即2b0 时， 2 bb 124 恒成立 Mf2(1)f2 22 综上可知，2b2. 11某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向

18、总公司交 a 元(3a5)的管理费， 预计当每件产品的售价为x 元(9x11)时， 一年的销售量为(12 x)2万件 (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时， 分公司一年的利润 L 最大？并求出 L 的最大值 Q(a) 解(1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为 L(x3a)(12x)2， x9,11 (2)L(x)(12x)22(x3a)(12x) (12x)(182a3x) 2 令 L0 得 x6 a 或 x12(不合题意，舍去) 3 228 3a5，86 a. 33 2 在 x6 a 两侧，L的值由正变负 3 29 所以当 86 a9，即 3a 时， 32 LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)； 2289 当 96 a ，即 a5 时， 332 2221 6 a6 a3a126 a243 a3，LmaxL 3333 96a，3a2， 所以 Q(a) 31a ，9a5. 4 3 2 3 9 9 故若 3a1 时，判断 f(x