高考数学专题九极坐标与参数方程(教师版含1314高考试题)

1、20152015 高考数学专题九：高考数学专题九：坐标系与参数方程坐标系与参数方程（教师版含（教师版含 1313、 1414 年高考题）年高考题） 一、考纲要求 考纲要求 (1)坐标系 理解坐标系的作用。 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 能在极坐标系中用极坐标白哦是点的位置， 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示 点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的 互化。 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和平面直角坐标 系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。 了解柱坐标,球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点

2、的位置的方法相比较，了解它们的区别。 参数方程 了解参数方程，了解参数的意义。 能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。 了解平摆线,渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程。 了解其他摆线的生成过程， 了解摆线在实际中的应用， 了解摆线在表示行星运动 轨道中的作用。 二、考点整合：考点整合： 1 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标 系中取相同的长度单位如图，设M 是平面内的任意一点，它的直 角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则 2x2y2 xcos ，.y ysin tan x0 x 2 直线的极坐标方程 若直线过点 M(0

3、，0)，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为 sin()0sin(0 ) 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：cos a； (3)直线过点 M(b， )且平行于极轴：sin b. 2 3 圆的极坐标方程 若圆心为 M(0，0)，半径为 r 的圆的方程为 2220cos(0)2 0r 0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r：r； (2)圆心位于 M(r,0)，半径为 r：2rcos ； (3)圆心位于 M(r， )，半径为 r：2rsin . 2 4 直线的参数方程 xx0tcos ， 过定点 M(x0，y0)

4、，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为(t 为参数) yy0tsin 5 圆的参数方程 xx0rcos ， 圆心在点 M(x0， y0)， 半径为 r 的圆的参数方程为( 为参数， 02) yy rsin 0 6 圆锥曲线的参数方程 xacos ，x2y2 (1)椭圆 221 的参数方程为 ( 为参数) ab ybsin (2)抛物线 y22px(p0)的参数方程为 2 x2pt y2pt . 真题感悟真题感悟 1 (2013广东)已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半 轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为_ x1cos 答案( 为参数) ysin xt

5、2 (2013江西)设曲线 C 的参数方程为(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点， yt2 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为_ 答案sin cos2 xacos 3 (2013湖北)在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的参数方程为( 为参数， ab0)， ybsin 在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴 2 为极轴)中，直线 l 与圆 O 的极坐标方程分别为 sin ( )m(m 为非零常数)与 42 b.若直线 l 经过椭圆 C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆 C 的离心率为_ 6 答案 3 4 (2011陕

6、西)在直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， x3cos ， 设点 A，B 分别在曲线 C1：( 为参数)和曲线 C2：1 上，则AB 的最 y4sin 小值为_ 答案3 xt1， 5 (2012湖南)在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：(t 为参数)与曲线 C2： y12t xasin ， ( 为参数，a0)有一个公共点在 x 轴上，则 a_. y3cos 3 答案 2 xt1， 解析消去参数 t 得 2xy30. y12t， xasin ，x2y2 又消去参数 得 2 1.a9 y3cos ， 3 方程 2xy30 中，令 y0 得 x ， 2 22

7、3 xy ，0 代入 2 1， 将 2 a9 93 得 21.又 a0，a .4a2 62014广东卷 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线 C1与 C2的方程分别 为 2cos2sin与 cos1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，则曲线C1与 C2交点的直角坐标为_ 6(1，2) 2 x2t， 2 72014湖南卷 在平面直角坐标系中，曲线 C：(t 为参数)的普通方程 2 y1t 2 为_ 7xy10 8 2014陕西卷 61 的距离C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点2， 到直线 sin 6 是_ 8 1 题型与方法题型与方法

8、题型一极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化 xt， 例 1已知直线 l 的参数方程：(t 为参数)和圆 C 的极坐标方程： 2 2sin 4 y12t ( 为参数) (1)将直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系 审题破题利用消参的思想可以将参数方程化为普通方程； 极坐标方程要利用两种坐标 之间的关系 解(1)消去参数 t，得直线 l 的直角坐标方程为 y2x1； ，即 2(sin cos )， 2 2sin 4 两边同乘以 得 22(sin cos )， 消去参数 ，得圆 C 的直角坐标方程为 (x1)2(y1)22. (

9、2)圆心 C 到直线 l 的距离 d 所以直线 l 和圆 C 相交 反思归纳(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范 围，否则点的极坐标将不唯一 (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转化的等价性 x2t， 变式训练 1已知直线 l 的参数方程是(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 4 2 y4ta . cos 4 |211|2 5 2， 22 5 2 (1) (1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若圆上有且仅有三个点到直线l 的距离为 2，求实数 a 的值 ，得 4cos 4sin . 解(1)由 4 2cos 4 即 24co

10、s 4sin . xcos ， 由 ysin 得 x2y24x4y0， 得(x2)2(y2)28. 所以圆 C 的直角坐标方程为(x2)2(y2)28. x2t， (2)直线 l 的参数方程可化为 y2xa， y4ta 则由圆的半径为 2 2知，圆心(2，2)到直线 y2xa 的距离恰好为 2. |6a| 所以 2，解得 a6 10. 5 题型二曲线的极坐标方程 例 2在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C 的极 1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点 坐标方程为 cos 3 (1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求M，N 的极坐标； (2

11、)设 M，N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 审题破题可以通过曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化进行突破 1， 解(1)cos 3 cos cossin sin1. 33 xcos 13 又， xy1. 22 ysin 即曲线 C 的直角坐标方程为 x 3y20. 2 3 令 y0，则 x2；令 x0，则 y. 3 2 3 M(2,0)，N0，. 3 2 3 M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为. 3 ，2 3 (2)M，N 连线的中点 P 的直角坐标为1， ， 3 P 的极角为 . 6 直线 OP 的极坐标方程为 ，R . 6 反思归纳直角坐标方程化为极坐标方程比较容易， 只

12、要运用公式 xcos 及 ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题 常通过变形，构造形如 cos ，sin ，2的形式，进行整体代换，其中方程的两边同 乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须 同解，因此应注意对变形过程的检验 变式训练 2(2012辽宁)在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x2y24，圆 C2：(x2)2y24. (1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 分别写出圆 C1，C2的极坐标方程， 并求出圆 C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆 C1与 C2的公共弦的参数方

13、程 解(1)圆 C1的极坐标方程为 2， 圆 C2的极坐标方程为 4cos . 2， 解得 2， ， 3 4cos 2， ，2，. 故圆 C1与圆 C2交点的坐标为 33 注：极坐标系下点的表示不唯一 xcos ， (2)方法一由 ysin 得圆 C1与 C2交点的直角坐标分别为(1， 3)，(1， 3) x1， 故圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为 3t 3. yt， x1， 3y 3或参数方程写成 yy， xcos ， 方法二将 x1 代入 ysin 1 得 cos 1，从而 . cos 于是圆 C1与 C2的公共弦的参数方程为 x1， . 33 ytan ， 题型三曲线的参数方程及应用

14、 例 3(2012福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 2 3 极坐标系已知直线l 上两点 M，N 的极坐标分别为(2,0)， ，圆C 的参数方程 3 ，2 x22cos ， 为( 为参数) y 32sin (1)设 P 为线段 MN 的中点，求直线 OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系 审题破题将 M，N 两点的极坐标化为直角坐标，再得到圆 C 的普通方程问题即可解 决 2 3 解(1)由题意知，M，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，0，. 3 3 又 P 为线段 MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为1， ，故直线O

15、P 的平面直角 3 3 坐标方程为 yx. 3 2 3 (2)因为直线 l 上两点 M，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，0， 3 所以直线 l 的平面直角坐标方程为 3x3y2 30. 又圆 C 的圆心坐标为(2， 3)，半径为 r2， |2 33 32 3|3 圆心到直线 l 的距离 d 0)，已知过点 P(2，4)的直线 l 的参数方程为 2 y4t， 2 与曲线 C 分别交于 M，N 两点 (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； (2)若 PM，MN，PN 成等比数列，求 a 的值 解(1)y22ax，yx2. 直线 l x2 2 2t (2)直线 l 的参数方程为 2 y4t

16、 2 (t 为参数)， 代入 y22ax，得到 t22 2(4a)t8(4a)0， 则有 t1t22 2(4a)，t1t28(4a) 因为 MN2PMPN， 所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，解得 a1(a4，舍去) 经验证，符合题意，故 a1. 10(2013福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐 标系，已知点 A 的极坐标为( 2， )，直线 l 的极坐标方程为 cos( )a，且点 A 在 44 直线 l 上 (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； x1cos ， (2)圆 C 的参数方程为( 为参数)，试判断直线 l 与圆

17、 C 的位置关系 ysin 解(1)由点 A( 2， )在直线 cos( )a 上，可得 a 2. 44 所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2， 从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21， 所以圆 C 的圆心为(1,0)，半径 r1， 12 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d1， 2 2 所以直线 l 与圆 C 相交 20132013、20142014 年全国高考理科数学试题分类汇编年全国高考理科数学试题分类汇编 1818：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 一、选择题 1 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理

18、）试题（纯 WORD 版） ）在极坐标系中,圆 p=2cos的垂直于极轴的两条切线方程分别为 A=0(R)和cos=2 C= B= （） 2 (R)和cos=2 2 (R)和cos=1D=0(R)和cos=1 【答案】B 二、填空题 2 （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）已知圆的极坐标方程 为 4cos, 圆心为C, 点P的极坐标为4, , 则|CP| = _. 3 【答案】2 3 3 （2013 年高考上海卷（理） ）在极坐标系中,曲线 cos1与cos1的公共点到 极点的距离为_ 【答案】 15 . 2 )到直线sin=2 的距离等于 6 4 （2013

19、 年高考北京卷（理）在极坐标系中 ,点(2, _. 【答案】1 5 （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）在直角坐标系xOy中, 以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4的直 2 x t 线与曲线(为参数)相交于A,B两点,则AB _ 3 y t 【答案】16 6 （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）(坐标系与参数方 x 2cost y 2sint (为参数),C在点 1,1 处的切程选讲选做题)已知曲线 C 的参数方程为 线为,以坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则

20、的极坐标方程为 _. 【答案】 sin 2 4 7 （2013 年高考陕西卷（理） ）C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾 斜角为参数, 则圆x2 y2 x 0的参数方程为_ . y y P P O O x x x cos2 【答案】 ,R y cos sin x t 8 （2013 年高考江西卷 （理） ）(坐标系与参数方程选做题)设曲线C的参数方程为(为 2 y t 参数),若以直角坐标系的原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,则曲线c的 极坐标方程为_ 【答案】cos2sin 0 9 （2013 年高考湖南卷（理） ）在平面直角坐标系xoy中,若 x t

21、, x 3cos, l :(t为参数)过椭圆C: y t a y 2sin (为参数)的右顶点,则常数a的值为_. 【答案】3 10 （ 2013 年 高 考 湖 北 卷 （ 理 ） ）在 直 角 坐 标 系xOy中 , 椭 圆C的 参 数 方 程 为 x acos 为参数，a b 0.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单 y bsin 位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴 )中,直线与圆O的极坐标方程分别为 sin 2 m m为非零常数与 b.若直线经过椭圆C的焦点,且与圆 42 O相切,则椭圆C的离心率为_. 【答案】 三、解答题 6 3 11 （2013 年普通高等学校招生统

22、一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）选修 44; 坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C: x2cos ( 为参数上,对应参数分别为与 y2sin 2(02),M 为PQ的中点. ()求M的轨迹的参数方程; ()将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点. 【答案】 12 （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）选修 4-4:坐标系与 参数方程 在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐 标方程分别为 4sin, cos (I)求C1与C2交点的极坐标; (II)设P为C1

23、的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为 2 2. 4 x t3a b 3 tR为参数,求a,b 的值. y t 1 2 【答案】 13 （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）坐标系与参数方 程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知 点A的极坐标为( 2, ),直线的极坐标方程为cos() a,且点A在直线上. 44 (1)求a的值及直线的直角坐标方程; x 1cos (2)圆 c 的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系. y sin 【答案】解:()由点A( 2, )在直线cos

24、() a上,可得a 2 44 所以直线的方程可化为cossin 2 从而直线的直角坐标方程为x y 2 0 ()由已知得圆C的直角坐标方程为(x1) y 1 所以圆心为(1,0),半径r 1 22 以为圆心到直线的距离d 2 1,所以直线与圆相交 2 14 （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ） C.选修 4-4:坐标系与参数方程本小题满分 10 分. 在平面直角坐标系xoy中,直线的参数方程为 x t 1 (为参数),曲线 C 的参数方程 y 2t x 2tan2 为 (为参数),试求直线与曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐

25、 y 2tan 标. 【答案】C 解:直线的参数方程为 x t 1 消去参数后得直线的普通方程为 y 2t 2x y 2 0 同理得曲线 C 的普通方程为y 2x 联立方程组解得它们公共点的坐标为(2,2),( ,1) 15 （2013 年高考新课标 1（理） ）选修 44:坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为 2 1 2 x 45cos t (为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 y 55sin t C2的极坐标方程为 2sin. ()把 C1的参数方程化为极坐标方程; ()求 C1与 C2交点的极坐标(0,02). 【答案】将 x 45cost 22 消去

26、参数,化为普通方程(x4) (y5) 25, y 55sin t 2 即C 1 :x y 8x10y16 0,将 得, 2 x cos 22 代入x y 8x10y16 0 y sin 28cos10sin16 0, C1的极坐标方程为 8cos10sin16 0; ()C2的普通方程为x y 2y 0, 22 x 1 x 0 x y 8x10y 16 0 由解得或,C1与C2的交点的极坐标分 22y 1y 2 x y 2y 0 2 22 别为( 2, ),(2, ). 42 2014江苏卷 C选修 4-4：坐标系与参数方程 2t， 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为

27、(t 为参数)，直线 l 2 y2t 2 x1 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长 x1 2 2t， 解：将直线 l 的参数方程代入抛物线方程 y 4x， 2 y2t 2 2 22 得2t41t， 22 解得 t10，t282， 所以 AB|t1t2|82. 232014辽宁卷 选修 4-4：坐标系与参数方程 22将圆 x y 1 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2 倍，得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程； (2)设直线 l：2xy20 与 C 的交点为 P1，P2，以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的 直线的极坐标方程 xx1， 2y2解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C 上的点(x，y)，依题意，得由 x1 1 y2y1. y2y2 221 得 x 21，即曲线 C 的方程为 x 1. 4 xcos t， 故 C 的参数方程为(t 为参数) y2sin t 2y x