数学必修2直线与方程典型例题

1、第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.11 倾斜角与斜率 【知识点归纳】【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】【典型例题】 题型题型 一一 求直线的倾斜角求直线的倾斜角 例 1 已知直线l的斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为（）. A. 60B. 30C. 60或 120D. 30或 150 变式训练变式训练： 设直线l过原点，其倾斜角为，将直线l绕原点沿逆时针方向旋转45，得到直线l 1 ， 则l 1 的倾斜角为（） 。 45 B. 135 C.135 D. 当 0135时为45，当 135180时，为135 A. 题型题型 二

2、二 求直线的斜率求直线的斜率 例 2 如图所示菱形 ABCD 中BAD=60， 求菱形 ABCD 各边和两条对 角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练变式训练： 已知过两点A(m2 2,m23),B(3 m2 m,2m)的直线 l 的倾斜角为 45，求实 数m的值. 题型题型 三三 直线的倾斜角与斜率的关系直线的倾斜角与斜率的关系 例 3 右图中的直线 l1、l2、l3的斜率分别为 k1、k2、k3，则（）. A .k1k2k3B. k3k1k2C. k3k2k1D. k1k3k2 拓展拓展 一一 三点共线问题三点共线问题 例 4 已知三点 A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条

3、直线上，求实数 a 的值 变式训练变式训练: 若三点 P（2，3） ，Q（3，a） ，R(4，b)共线，那么下列成立的是（）. Aa 4,b 5Bba 1C2a b 3Da 2b 3 拓展拓展 二二 与参数有关问题与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线段AB始终有公共点， 求直线l的 斜率k的取值范围. 变式训练：变式训练： 已知A(2,3),B(3,2)两点， 直线l过定点P(1,1)且与线段 AB 相交， 求直线l的斜率k的 取值范围. 拓展拓展 三三 利用斜率求最值利用斜率求最值 例 6 已知实数x、y满足2x y

4、 8,当 2x3 时，求 变式训练变式训练： 利用斜率公式证明不等式： 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】【知识点归纳】 y 的最大值与最小值。 x ama (0 a b且m 0) bmb 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x 轴和 y 轴的两直线） ： 【典型例题】【典型例题】 题型题型 一一 两条直线平行关系两条直线平行关系 例 1 已知直线l 1 经过点 M（-3，0） 、N（-15，-6） ，l 2 经过点 R（-2， 判断l 1 与l 2 是否平行？ 变式训练变式训练： 经过点P(2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1 的直线， 则m的值是

5、 （） . A4B1C1 或 3D1 或 4 题型题型 二二 两条直线垂直关系两条直线垂直关系 例 2 已知ABC的顶点B(2,1), C(6,3)，其垂心为H(3,2)，求顶点A的坐标 变式训练变式训练： （1）l 1 的倾斜角为 45，l 2 经过点 P（-2，-1） 、Q（3，-6） ，问l 1 与l 2 是否垂直？ （2）直线l 1,l2 的斜率是方程x23x 1 0的两根，则l 1与l2 的位置关系是. 题型题型 三三 根据直线的位置关系求参数根据直线的位置关系求参数 例 3 已知直线l 1 经过点 A(3,a)、B（a-2,-3）,直线l2经过点 C（2，3） 、D（-1，a-2）

6、, （1）如果l 1 /l2，则求 a 的值； （2）如果l 1 l2，则求 a 的值 题型题型 四四 直线平行和垂直的判定综合运用直线平行和垂直的判定综合运用 35 ） 、S（0，） ，试 22 例 4 四边形 ABCD 的顶点为A(2,2 2 2)、B(2,2)、C(0,2 2 2)、D(4,2)，试判断四边 形 ABCD 的形状. 变式训练变式训练：已知A（1，1） ，B（2，2） ，C（3，-3） ，求点D，使直线CDAB，且CBAD 探点探点 一一 数形结合思想数形结合思想 例 5 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点，分别过点 A、B 作 y

7、轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. （1）证明：点C、D 和原点 O 在同一直线上. （2）当 BC 平行于 x 轴时，求点A 的坐 标. 探点探点二二分类讨论思想分类讨论思想 例 6ABC的顶点A(5,1), B(1,1), C(2,m)，若ABC为直角三角形，求 m 的值. 3.2 直线的方程 3.2.1直线的点斜式方程 【知识点归纳】【知识点归纳】 1.直线的点斜式方程： 2.直线的斜截式方程： 【典型例题】【典型例题】 题型题型 一一 求直线的方程求直线的方程 例 1 写出下列点斜式直线方程： （1）经过点A(2,5)，斜率是 4； （2）经过点B(3,1)，

8、倾 斜角是30o. 例 2倾斜角是135o，在y轴上的截距是 3 的直线方程是. 变式训练变式训练： 1. 已知直线 l 过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y x 1的两倍，则直线 l 的方程为 2. 已知直线l在y轴上的截距为3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的 方程. 3.将直线y x 3 1绕它上面一点（ 1，3）沿逆时针方向旋转 15，得到的直线方程 是. 题型题型 二二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题利用直线的方程求平行与垂直有关问题 例 3 已知直线l 1 的方程为y 2x 3,l2的方程为y 4x2，直线l与l 1 平行且与l2 在y轴上的截距相同，求直线l的

9、方程。 探究探究 一一 直线恒过定点或者象限问题直线恒过定点或者象限问题 例 4. 已知直线y kx3k 1. （1）求直线恒经过的定点； （2）当3 x 3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 探究探究 二二 直线平移直线平移 例 5 已知直线 l：y=2x-3 ，将直线 l 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 4 个单位后得到 的直线方程为_ 3.2.2 直线的两点式方程 【知识点归纳】【知识点归纳】 1.直线的两点式方程： 2.直线的截距式方程： 【典型例题】【典型例题】 题型题型 一一求直线方程求直线方程 例 1 已知ABC顶点为A(2,8),B(4,0),C(6,0)，

10、求过点B且将ABC面积平分的直线方 程. 变式训练变式训练： 1.已知点 A（1，2） 、B（3，1） ，则线段 AB 的垂直平分线的方程是（）. A4x 2y 5B4x 2y 5Cx 2y 5Dx 2y 5 2.已知2x 1 3y 1 4,2x 2 3y 2 4，则过点A(x 1, y1),B(x2 , y 2 )的直线l的方程是（）. A.2x 3y 4B.2x 3y 0C.3x 2y 4D.3x 2y 0 例 2 求过点P(3,2)，并且在两轴上的截距相等的直线方程. 变式训练变式训练：已知直线 l 过点（3，-1） ，且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为 题型题型 二二 直线

11、方程的应用直线方程的应用 例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买 行李票，行李费用 y（元）是行李重量 x（千克）的一次函数，其图象如图所示. （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围； （2）如果某旅客携带了75 千克的行李，则应当购买多少元行李票？ y元 10 6 x（千克） o 6080 探究探究 一一直线与坐标轴围成的周长及面积直线与坐标轴围成的周长及面积 例 4 已知直线l过点(2,3)，且与两坐标轴构成面积为4 的三角形，求直线l的方程 探究探究 二二有关光的反射有关光的反射 例 5 光线从点 A（3，4）发出，

12、经过 x 轴反射，再经过 y 轴反射，光线经过点 B（2， 6） ，求射入 y 轴后的反射线的方程. 变式训练变式训练：已知点A(3,8)、B(2,2)，点 P 是 x 轴上的点，求当AP PB最小时的点 P 的 坐标 3.2.3 直线的一般式方程 【知识点归纳】【知识点归纳】 1直线的一般式： 2直线平行与垂直的条件： 【典型例题】【典型例题】 题型题型 一一 灵活选用不同形式求直线方程灵活选用不同形式求直线方程 例 1 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： 1 （1）斜率是，经过点 A（8，2） ； （2）经过点 B(4，2)，平行于x轴； 2 3 （3）在x轴和y轴上的截距分别

13、是,3；（4）经过两点P2） 、P 2（5，4）.1（3， 2 题型题型 二二 直线不同形式之间的转化直线不同形式之间的转化 例 2 求出直线方程，并把它化成一般式、斜截式、截距式：过点A(5,6), B(4,8). 题型题型 三三 直线一般式方程的性质直线一般式方程的性质 例 3 直线方程Ax By C 0的系数 A、B、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下 性质? （1）与两条坐标轴都相交； （2）只与 x 轴相交； （3）只与 y 轴相交； （4）是 x 轴所在 直线； （5）是 y 轴所在直线. 变式训练变式训练：已知直线l :5ax5y a3 0。 （1）求证：不论a为何值，直

14、线l总经过第一象限； （2）为使直线不经过第二象限， 求a的取值范围。 题型题型 四四 运用直线平行垂直求参数运用直线平行垂直求参数 例 4 已知直线l 1 ：xmy2m20，l 2 ：mxy1m0，问 m 为何值时： （1）l 1 l 2 ；（2）l 1 / l 2 . 变式训练变式训练： （1）求经过点A(3,2)且与直线4xy20平行的直线方程； （2）求经过点B(3,0)且与直线2xy50垂直的直线方程. 题型题型 五五综合运用综合运用 例 5 已知直线l 1 : xmy60，l 2 : (m2)x3y2m0，求 m 的值，使得： （1）l 1 和 l 2 相交；（2）l 1l2；（3

15、）l1/ l2；（4）l1 和 l 2 重合. 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 【知识点归纳】【知识点归纳】 1.两条直线的焦点坐标： 2.两点间的距离公式： 【典型例题】【典型例题】 题型题型 一一 求直线的交点坐标求直线的交点坐标 例 1 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标. （1）直线 l1: 2x3y+10=0 , l2: 3x+4y2=0； （2）直线 l1:nx y n 1, l2:ny x 2n. 题型题型 二二三条直线交同一点三条直线交同一点 例 2 若三条直线2x3y 8 0,x y 1 0，kx y

16、2 0相交于一点，则 k 的值等于 变式训练变式训练：1.设三条直线：x2y 1,2xky 3,3kx4y 5交于一点，求 k 的值 2.试求直线l 1 :x y 2 0关于直线l 2 :3x y 3 0对称的直线 l 的方程. 题型题型 三三求过交点的直线问题求过交点的直线问题 例 3 求经过两条直线2x y 8 0和x 2y 1 0的交点，且平行于直线4x 3y 7 0的 直线方程. 变式训练变式训练：已知直线 l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过 l1和 l2的交点，且与直线 l3: 3x-2y+4=0 垂直的直线 l 的方程. 题型题型 四四两点间距离

17、公式应用两点间距离公式应用 例 4 已知点A(2,1), B(a,3)且| AB| 5，则 a 的值为 变式训练变式训练： 在直线2x y 0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为，并求直线PM的方程. 题型题型 五五 三角形的判定三角形的判定 例 5 已知点A(1,2), B(3,4), C(5,0)，判断ABC的类型 探究探究 一一直线恒过定点问题直线恒过定点问题 例 6 已知直线(a 2)y (3a 1)x 1. 求证：无论 a 为何值时直线总经过第一象限. 变式训练变式训练：若直线 l：ykx 3与直线 2x3y60 的交点位于第一象限，求直线 l 的倾 斜角的取值范围. 探究探究

18、二二利用对称性求最值问题（和最小，差最大）利用对称性求最值问题（和最小，差最大） 例 7 直线 2xy4=0 上有一点 P，求它与两定点A(4，1)，B(3，4)的距离之差的最大值. 变式训练变式训练：已知M(1,0)、N(1,0)，点P为直线2x y 1 0上的动点求PM2 PN2的最 小值，及取最小值时点P的坐标 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离 【知识点归纳】【知识点归纳】 1.点到直线的距离： 2.两条平行间直线的距离： 拓展：点关于点、直线对称点的求法 【典型例题】【典型例题】 题型题型 一一 利用点到直线距离求参数利用点到直线距离求参数 例 1 已知点(a,2) (a 0)到直线l : x y 3 0的距离为 1，则 a=（）. A2B2C2 1D2 1 题型题型 二二 利用点到直线距离求直线的方程利用点到直线距离求直线的方程 110 例 2 求过直线l1: y x和l2:3x y 0的交点并且与原点相距为1 的直线 l 的方程. 33 变式训练变式训练： 直线 l 过点 P(1，2)，且 M(2，3)，N(4，5)到l的距离相等，则直线l的方程是 题型题型三三 利用平行直线间的距离求参数利用平行直线间的