新人教版九年级数学上册圆教案

1、中考复习之垂径定理中考复习之垂径定理 知识考点： 1、垂径定理及其推论是指：一条直线过圆心；垂直于一条弦；平分这条弦； 平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个， 即可得出另三个（平 分弦时，直径除外） ，要求理解掌握。 2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。 精典例题： 【例 1】如图，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于 E，若 AE2cm，BE6cm，CEA 300，求： （1）CD 的长； （2）C 点到 AB 的距离与 D 点到 AB 的距离之比。 分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半 径、作弦心距是圆中的一种常见

2、辅助线添法。 解： （1）过点 O 作 OFCD 于 F，连结 DO D AE2cm，BE6cm，AB8cm F O 的半径为 4 cm EG AB CEA300，OF1 cm OH DF OD2OF215cm 由垂径定理得：CD2DF2 15cm C 例 1 图 （2）过 C 作 CGAB 于 G，过 D 作 DHAB 于 H，易求 EF 3cm DE( 15 3)cm，CE( 15 3)cm CGCE15 335 DHDE2 15 3 【例 2】如图，半径为 2 的圆内有两条互相垂直的弦 AB 和 CD，它们的交点 E 到圆心 O 的距离等于 1，则AB CD（） A、28B、26C、18

3、D、35 分析：如图，连结 OA、OC，过 O 分别作 AB、CD 的垂线，垂足 分别为 M、N，则 AMMB，CNND。 OMMN，MEEN，CNND 22 C O A M N E D B 例 2 图 OM ON OE 从而OA AM OC CN OE 22222 222 C O A M N E D B AB 2 CD 2) 22() 12 即2 ( 22 2 例 2 图 AB CD 28 故选 A。 【例 3】如图，等腰ABC 内接于半径为 5cm 的O，ABAC，tanB （1）BC 的长； （2）AB 边上高的长。 分析： （1）已知ABAC，可得AB AC，则A 为BC的中点。已知弧

4、的中点往往连 结这点和圆心，从而可应用垂径定理； （2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求 解。 解： （1）连结 AO 交 BC 于 D，连结 BO 由 ABAC 得AB AC，又 O 为圆心 由垂径定理可得AO 垂直平分 BC tanB 22 1 。求： 3 A B D O C 1 ，设 ADxcm，则 BD3xcm 3 OD(5 x)cm 222 例 3 图 在 RtBOD 中，5 (3x) (5 x)，解得x11，x2 0（舍去） BD3 cm，BC6 cm。 （2）设 AB 边上的高为h，由（1）得：AD1 cm，AB 10cm S ABC h 11 BC AD ABh 22

5、 BC AD3 10 AB5 探索与创新： 【问题一】不过圆心的直线l交O 于 C、D 两点，AB 是O 的直径，AEl于 E， BFl于 F。 （1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； （2）请你观察（ 1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再 标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程） ； （3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。 分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线l与 AB 的不同位置关系画出不同的图形 （如下图） ， 直线l与 AB 平行； 直线l与 AB 相交； 直线l与 AB

6、 或 BA 的延长线相交。 其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论， 结论也是开放的， 这也是近几年中考命题 的热点。 解（1）如下图所示。 B B O A EC H DF O E C A A O B l HFD l E CH D F l 问题一图 1问题一图 2问题一图 3 （2）ECFD 或 EDFC （3）以图为例来证明。过O 作 OHl于 H AEl，BFl，AEOHBF 又OAOB，EHHF，再由垂径定理可得 CHDH EHCHFHDH，即 ECFD 【问题二】如图，O1与O2相交于 A、B 两点，过A 任作一直线与O1交于 M，与 O2交于 N，问什么时候 MN 最长？为什么？

7、 E解析：任作两条过 A 的线段 EF、MN，比较 MN 与 EF 的 C A QNP大小，不好比较，根据垂径定理，分别过O1、O2作弦心距，易 M 11 知 CDEF，PQMN，比较 PQ 与 CD 的大小即可（PQ 22 O1O2） 。 发现 O1O2是直角梯形的斜腰， 大于直角腰， 如果 MN 的一半正好是 O1O2，则 MN 最长。 答案：当 MNO1O2时，MN 最长。 D O 1 B O 2 F 问题二图 课课 堂堂 练练 习习 1 （课本 P78练习第 1 题）如图 14，在O 的半径为 50mm，弦 AB=50mm，则点 O 到 AB 的距离为，AOB度。 2作图题：经过已知O

8、 内的已知点 A 作弦， 使它以点 A 为中点（如图 15） 。 （图 14）（图 15） 3、如图，O 的半径为 50mm，弦 AB=50mm，则点 O 到 AB 的距离为， AOB度。 A B O O A A C A O B O A E O D B （第 1 题）（第 2 题）（第 3 题） 4、作图题：经过已知O 内的已知点 A 作弦，使它以点 A 为中点（如图） 。 要求：保留作图痕迹，但不必写作法。 5已知：如图，在O 中，AB、AC 是两条互相垂直且相等的弦，ODAB， OEAC，垂足分别为 D、E。 求证：四边形 ADOE 是正方形。 6、下列说法中正确的有： （）个 （1）垂直平分弦的直线经过圆心； （2）平分弦的直径一定垂直与弦； （3）垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧； （4）垂直于弦的直径必平分弦； （5）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 A、1