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文档简介
1、20142014 年高中数学必修年高中数学必修 5 5 知识点总结知识点总结 第一章:解三角形第一章:解三角形 1、正弦定理:在C中,a、b、c分别为角、C的对边,R为C的外接圆的半径,则有 abc 2R sinsinsinC 2、正弦定理的变形公式:a 2Rsin,b 2Rsin,c 2RsinC; abc sin ,sin ,sinC ; (正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中) 2R2R2R a:b:c sin:sin :sin C; abcabc sinsinsinCsinsinsinC 111 3、三角形面积公式:S C bcsin absinC acsin 222 4、余 定理
2、:在C中,有a b c 2bccos,b a c 2accos, 222222 c2 a2b22abcosC b2c2a2a2c2b2a2b2c2 5、余弦定理的推论:cos ,cos ,cosC 2bc2ac2ab 6、设a、b、c是C的角、C的对边,则:若a b c,则C 90为直角三角形; 若a b c,则C 90为锐角三角形;若a b c,则C 90为钝角三角形 222o222o 222o 第二章:数列第二章:数列 1、数列:按照一定顺序排列着的一列数 2、数列的项:数列中的每一个数 3、有穷数列:项数有限的数列 4、无穷数列:项数无限的数列 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小
3、于它的前一项的数列 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列 7、常数列:各项相等的数列 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 9、数列的通项公式:表示数列a n的第 n项与序号n之间的关系的公式 10、数列的递推公式:表示任一项a n 与它的前一项an1(或前几项)间的关系的公式 11、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个 常数称为等差数列的公差 12、由三个数a,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则称为a与b的等差中项若 b ac ,则称b为a与c的等差中项 2
4、13、若等差数列an的首项是a1,公差是d,则an a 1 n1d 通项公式的变形:a n a m nmd;a 1 a n n1d;d d a n a 1 a a 1 ;n n1; n1d a n a m nm * 14、若an是等差数列,且mn pq(m、n、p、q) ,则am an a p a q ;若an是等差 * 数列,且2n pq(n、p、q) ,则2an a p a q ;下角标成等差数列的项仍是等差数列;连 续 m 项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n项和的公式:Sn na 1 a n nn1 d ;Sn na 1 22 16、等差数列的前 n项和的性质:若项数为2n
5、 n* ,则S2n nanan1,且S 偶 S 奇 nd, S 奇 San (其中 n 若项数为2n1n *,则S 2n1 2n1a n ,且S 奇 S 偶 a n , 奇 S 偶 a n1 S 偶 n1 S 奇 na n ,S 偶 n1a n ) 17、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个 常数称为等比数列的公比 18、在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则G称为a与b的等比中项若G ab,则 称G为a与b的等比中项 n1 19、若等比数列an的首项是a1,公比是q,则an a1q 2 aa n1nmn1nm n 20、通项
6、公式的变形:an amq;a 1 a nq ;q n;q a 1 a m * 21、若an是等比数列,且mn pq(m、n、p、q) ,则aman a p a q ;若an是等比数 列,且2n pq(n、p、q) ,则an apaq;下角标成等差数列的项仍是等比数列;连续m 项和构成的数列成等比数列。 *2 na 1 q 1 22、等比数列an的前n项和的公式:S n a 1 1qn a a q 1n q 1 1q1q q 1时,S n a 1 a 1qn,即常数项与qn项系数互为相反数。 1q1q 23、等比数列的前n项和的性质:若项数为2n n *,则 S 偶 S 奇 q n Snm Sn
7、q SmS n ,S2nSn,S3n S2n成等比数列 Sn S n1 n 2 a aS 24、 n 与 n 的关系: n S n 1 1 一些方法:一些方法: 一、求通项公式的方法一、求通项公式的方法: 1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法 若相邻两项相减后为同一个常数设为an kn b,列两个方程求解; 2 若相邻两项相减两次后为同一个常数设为an an bn c,列三个方程求解; n 若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为an aq b,q 为相除后的常数,列两个方程求解; 2、由递推公式求通项公式: 若化简后为an1 an d形式,可用等差数列的通项公式代入求解; 若化简后为an1
8、 an f (n),形式,可用叠加法求解; 若化简后为an1an q形式,可用等比数列的通项公式代入求解; 若化简后为an1 kanb形式,则可化为(an1 x) k(an x),从而新数列an x是等比数列, 用等比数列求解an x的通项公式,再反过来求原来那个。 (其中x是用待定系数法来求得) 3、由求和公式求通项公式: a1 S1 a n S n S n1 检验a1是否满足an,若满足则为a n,不满足用分段函数写。 4、其他 (1)an an1 f n形式, fn便于求和,方法:迭加; 例如:an an1n1 有:an an1n1 a 2 a 1 3 a 3 a 2 4 L a n a
9、 n1 n1 各式相加得a n a 1 34L n1 a 1 n4n1 2 (2)anan1 anan1形式,同除以anan1,构造倒数为等差数列; 例如:anan1 2anan1,则 1 a n a n1 11 2 ,即为以-2 为公差的等差数列。 a nan1 a n1 a n an (3)an qan1m形式,q 1,方法:构造:an x qan1 x为等比数列; 例如:an 2an12,通过待定系数法求得:an2 2an12,即an2等比,公比为 2。 (4)an qan1 pnr形式:构造:an xn y q an1 xn1 y为等比数列; n (5)a n qa n1 p 形式,同
10、除p,转化为上面的几种情况进行构造; n n 因为a n qa n1 p,则 a n q a n1 q 11转化为(1)的方法,若不为 1,转化为(3)的方 ,若 pnp pn1p 法 二、等差数列的求和最值问题二、等差数列的求和最值问题: (二次函数的配方法;通项公式求临界项法) 若 若 a k 0 a 1 0 ,则S n 有最大值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足a 0 k1 d 0 a k 0 a 1 0 ,则S n 有最小值,当 n=k 时取到的最大值 k 满足 ak1 0 d 0 三、数列求和的方法三、数列求和的方法: 叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值
11、; 错位相减法:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如:an2n13; n 分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如: an 1111 1 11 ,an等; nn1nn1 2n12n1 22n12n1 一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分,如: a n 2n n1等; 四、综合性问题中四、综合性问题中 等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为a d和a d类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差; 等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和 a 类型,这样可以相乘约掉。 q 第三章:不等式第三章:不
12、等式 1、ab 0 a b;ab 0 a b;ab 0 a b 比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。 2、不等式的性质: a b b a;a b,b c a c;a b ac bc; a b,c 0 ac bc,a b,c 0 ac bc;a b,c d ac bd; a b 0,c d 0 ac bd;a b 0 a b a b 0 na nbn,n 1 3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式 4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: nnn,n 1; 判别式 b2 4ac 0 0 0 二次函数 y a
13、x2bxc a 0的图象 有两个相异实数根 一元二次方程ax2 有两个相等实数根 bxc 0 a 0的根 ax2bxc 0 a 0 ax2bxc 0 a 0 b x 1,2 2a x 1 x 2 1 x 1 x 2 b 2a 没有实数根 x x x或x x 2 一元二次不 等式的解集 b x x 2a R x x 1 x x 2 5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式 6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组 7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x, y,所有这 样的有序数对x, y构成的集合 8、在平面直角坐
14、标系中,已知直线xyC 0,坐标平面内的点x0, y0 若 0,x0y0C 0,则点x0, y0在直线xyC 0的上方 若 0,x0y0C 0,则点x0, y0在直线xyC 0的下方 9、在平面直角坐标系中,已知直线xyC 0 若 0,则xyC 0表示直线xyC 0上方的区域;xyC 0表示直线 xyC 0下方的区域 若 0,则xyC 0表示直线xyC 0下方的区域;xyC 0表示直线 xyC 0上方的区域 10、线性约束条件:由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组,是x,y的线性约束条件 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析式 线性目标函数:目标函数为x,y的一次解析式 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题 可行解:满足线性约束条件的解x, y 可行域:所有可行解组成的集合 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解 ab 称为正数a、b的算术平均数, ab 称为正数a、b的几何
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