高三数学(艺术)一轮复习教案 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程(人教A版)

1、第一章第一章函数、导数及其应用函数、导数及其应用 一、必记一、必记 3 3 个知识点个知识点 1函数零点的定义 对于函数 yf(x)(xD)，把使f(x)0 成立的实数 x 叫做函数 yf(x)(xD)的零 点 2二次函数 yax2bxc(a0)的图像与零点的关系 二次函数 yax2bxc (a0) 的图像 与 x 轴的交点 零点个数 3二分法 对于在区间a， b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)， 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似 值的方法叫做二分法 二、必明二、必明 2 2 个易误区个易误区 1函数 yf

2、(x)的零点即方程 f(x)0 的实根，易误为函数点 2由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示 所以 f(a)f(b)0 是 yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件 三、必会三、必会 3 3 个方法个方法 1函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间 a，b上是连续不断的曲线， 且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多 (x1,0)，(x2,0) 两个 (x1,0) 一个 无交点 零个 000 少

3、个零点； (3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的 横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 2三个等价关系(三者相互转化) 3用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步：确定区间a，b，验证 f(a)f(b)0，给定精确度 ； 第二步：求区间(a，b)的中点 c. 第三步：计算 f(c)； 若 f(c)0，则 c 就是函数的零点； 若 f(a)f(c)0，则令 bc(此时零点 x0(a，c)； 若 f(c)f(b)0，则令 ac(此时零点 x0(c，b) 第四步：判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或 b)，否则重 复第二、三、四步 1(2014

4、保定 调 研 ) 函 数f(x) log3x x 2的 零 点 所 在 的 区 间 为 ()A (0,1) B(1,2)C(2,3)D(3,4) 解析：选 B法一：函数 f(x)log3xx2 的定义域 为(0， )， 并且在(0， )上递增、 连续， 又 f(1)10，所以函数 f(x)log3xx2 有唯一的零点且零点在区间(1,2)内 法二： 作出函数 ylog3x 与 yx2 的图像(图略)， 不难看出其交点的横坐标 在区间(1,2)内，故选 B. 2(2013朝阳模拟)函数 f(x)2x2 xa 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的 取值范围是() A(1,3)B(1,2)C

5、(0,3)D(0,2) 解析：选 C由条件可知 f(1)f(2)0，即(22a)(41a)0，即 a(a3)0， 解得 0a3. 3.函数 f(x)x23x18 在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零 点 解析：法一：f(1)123118200， f(1)f(8)0， (x)1 的零点个数是 2x () A4B3C2D1 1 (2)函数 f(x)x21 2x 的零点个数为() A0B1C2D3 解析(1)由 f(f(x)10 可得 f(f(x)1，又由 f(2)f1 21.可得 f(x) 2 或 f(x)1 2. 若 f(x)2，则 x3 或 x1 4；若 f(x) 1 2，则 x 1

6、2或 x 2， 综上可得函数 yf(f(x)1 有 4 个零点 1 1 1 (2)令 f(x)x2 2x0，得 x 21 2x，求零点个数可转化为求两个 函数图像的交点个数 如图所示，由图可知，两函数图像有1 个交点，故选 B.答案(1)A(2)B 类题通法 函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是： (1)令 f(x)0；(2)构造 y1f1(x)，y2f2(x)；(3)作出 y1，y2图像；(4)由图像交点 个数得出结论 考点三函数零点的应用 典例若函数 f(x)xln xa 有两个零点， 则实数 a 的取值范 围为_ 解析令 g(x)xln x，h(x)a，则问题可转化

7、成函数 g(x)与 h(x)的图像有两个交点 g(x)ln x1， 令 g(x)0， 即 ln x1， 可解得 01，可解得 x 11 e，所以，当 0x 时，函数 g(x)单调递增，由此可知当x 时，g(x)min .在同一 eee 11 ，0 坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示，据图可得 0 时，由 f(x)ln x0，得 x1.因为函数 f(x)有两个不同的零点， 则当 x0 时，函数 f(x)2xa 有一个零点，令 f(x)0 得 a2x，因为 02x201， 所以 0a1，所以实数 a 的取值范围是 00，f(x)exx2 在 R R 上是增函数而f(2) e 2

8、40，f(1)e 1 30，f(0)f(1)1， A.1 2，0 B2,0C.1 2 D0 解析：选 D当 x1 时，由 f(x)2x10，解得 x0；当 x1 时，由 f(x)1 log2x0，解得 x1 2，又因为 x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有 0. 2设 f(x)x3bxc 是1,1上的增函数，且 f 1 2f 1 20，则方程 f(x)0 在1,1内() A可能有 3 个实数根B可能有 2 个实数根 C有唯一的实数根D没有实数根则函数 yf(x)在区间1,6上的零点至少有() A2 个B3 个C4 个D5 个 解析：选 B依题意，f(2)f(3)0，f(3)f(4)

9、0 时，f(x)2，当x0 时，f(x)2，故 f(x) 没有零点；令 f(x)xx10 得 x1，故选 D. 8(2013石家庄高三模拟考试)x表示不超过 x 的最大整数，例如2.92， 4.15，已知 f(x)xx(xR R)，g(x)log4(x1)，则函数 h(x)f(x)g(x)的零 点个数是() A1B2 D4 1 11，1上 解析： 选 C由 f(x)在1,1上是增函数， 且 ff0， 知 f(x)在 2 222 有唯一零点，所以方程 f(x)0 在1,1上有唯一实数根 3用二分法求函数 yf(x)在区间(2,4)上的近似解，验证 f(2)f(4)0，给定精确 24 度 0.01

10、，取区间(2,4)的中点 x13，计算得 f(2)f(x1)0 时，g(x)2x20 有唯一解 x1；当x0 时，g(x)x2 2 31 x1，令 g(x)0，得 x2(舍去)或 x ，即 g(x)0 有唯一解综上 22 可知，g(x)f(x)x 有 2 个零点 5(2013开封一模)下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是() 解析：选 CA 中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；B 中函数的图像不连 续；D 中函数在 x 轴下方没有图像，故选C. 6 (2014荆门调研)已知函数 yf(x)的图像是连续不间断的曲线， 且有如下的对 应值： x y 1 124.4 2 35 3 74 4 14.5 5 56.7 6 123.6 C3 解析：选 B作出函数 f(x)与 g(x)的图像如图所示，发现有2 个不同的交点 9用二分法研究函数 f(x)x33x1 的零点时，第一次经计算 f(0)0 可得其中一个零点 x0_，第二次应计算_ 解析：因为 f(x)x33x1 是 R R 上的连续函数，且 f(0)0，则 f(x)在 x(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f(0.25)的符号 答案：(0,0.5)f(0.25) 1 x 3 ，