变分不等式及其应用

1、变分不等式及其应用摘 要变分不等式是一类重要的非线性问题，它在工程、经济、控制理论等领域广泛应用。变分不等式问题的数学理论最开始应用于解决均衡问题，在此模型中，函数来自对应势能的一阶变分，因此而得名作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式也更多样化。本文主要研究变分不等式的由来，变分不等式的导出以及一些变分不等式的应用第一章为预备知识，主要介绍了凸泛函、上下半连续泛函、次连续、Ferchet微分和单调映像等的一些定义，为下文更好的引出变分不等式的概念、导出和应用提供了理论依据。第二章具体的提出变分不等式的概念并给出一些变分不等式的常见例子。第三章主要通过可微函数的极值问题、不可微函数的极

2、值问题、Hilbert空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。第四章研究一类非线性拟变分不等式并应用于二阶半线性椭圆型边值问题。关键词：变分不等式，极值问题，椭圆方程，边值问题VARIATIONAL INEQUALITY AND ITS APPLICATION ABSTRACTVariational inequalities are important nonlinear problems, it has been widely applied in the fields of engineering, economics, control theory

3、. The mathematical theory of variational inequality problem is originally applied to solve equilibrium problem. In this model, the function comes from the first-order variation of the corresponding potential energy, so it is called variational inequality problem. As the generalization and developmen

4、t of classical variational problems, the form of variational inequalities should be diversification. In this paper, i study the origin, derivation, and applications of variational inequalities. The first chapter is is Preliminaries. In this chaper, i list the definitions of convex functional, upper

5、and lower semi-continuous functional, consecutive, Ferchet differential, montonous map, and so on. They are used forunderstanding the concept, derivation, and applications of variational inequality.In the second chapter, i introduce the concept of variational inequalities and give some common exampl

6、es of variational inequalities.In the third chapter, by consdering differentiable functions extremum problems, non-differentiable functions extremum problems, the projection in Hilbert space, control systems of distributed parameter and some other issues, i study the methods of variational inequalit

7、ies derivation.In the fourth chapter, a class of nonlinear quasi-variational inequalitie is introduce, and it is applied to solve second order semi-linear elliptic boundary value problems. Key words: Variational inequalities, extremum problem, ellipticequation，boundary value problem目 录前 言1第一章 预备知识2第

8、二章 变分不等式的概念和例子42.1 变分不等式的概念42.2变分不等式的例子5第三章 变分不等式的导出83.1 可微函数的极值问题83.2 不可微函数的极值问题103.3 Hilbert空间上的投影问题123.4 不动点问题123.5 分布参数系统控制问题14第四章 变分不等式的应用17结 论19参考文献20致 谢22前 言变分不等式作为不等式中的重要分支，是一个经典的数学问题。作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式可以各种各样。它的现代数学理论是本世纪六十年代起才逐步发展起来的。人们通过连续力学非线性问题的定性及数值分析的研究中发现变分不等式。自20世纪60年代，Lions，Bro

9、wder，Stampacchia，Ky Fan，Lemke，Cottle，Dantzing等人提出和创立变分不等式和相补问题的基本理论以来，经过许多数学家的杰出工作，变分不等式的理论及应用取得重要发展，日臻完善，已经成为一门内容十分丰富并有广阔应用前景的重要边缘性学科。它与力学、微分方程、控制理论、数学经济、最优化理论、对策理论、非线性规划等理论和应用学科有着广泛的联系并有重要的应用。变分不等式是经典变分问题的推广和发展，它是将经典变分问题的约束条件放松为某些单边约束(即用不等式代替等式)的变分方法.它是研究偏微分方程、最佳控制和其他领域的一个十分有用的工具，也是变分学的一个重要发展。本文介绍

10、变分不等式的概念并例举变分不等式常见的例子，给出导出变分不等式的一些方法。最后我们探讨一类变分不等式的应用。第1章 预备知识定义1.1（上方图形）设是一线性空间，是之一子集。我们以表凸包。设是一泛函。集合 称为的上方图形，而称为的有效域。定义1.2（凸泛函）设是一线性空间，是的凸集，(记)称为凸泛函，如果对任意的，及任一有. 泛函称为严格凸的，如果，及任一有. 泛函称为拟凸的，如果对任意，集合.是凸的。定义1.3（上、下半连续） 设是一拓扑空间，是一真泛函。称为在上是下半连续的，如果对任一及任一网，当时，有.称为在上是上半连续的，如果对任一及任一网，当时，有.定义1.4（半连续） 设是一线性赋

11、范空间，是一映像，.如果对任一及一切，当时，有，则称在处半连续。如果在的每点处都是半连续，则称在上是半连续的。定义1.5（Frechet微分） 设和是Banach空间，是中的开集，。若存在线性有界算子,使得.其中，即.则称算子在点处Frechet可微，而称为在处关于的Frechet微分，记为。算子称为在处的Frechet导算子，记为。定义1.6（单调） 设是一多值映像。（1） 称为单调的，如果对任意的及任一的；（2） 单调映像称为严格的，如果是单调的，且，则。定义1.7（强制泛函） 称泛函是强制的，如果定义1.8（强制连续双线性型泛函） 若存在常数及，使得且，则称是上的强制连续双线性型泛函。第

12、二章 变分不等式的概念和例子2.1 变分不等式的概念 从经典的极值问题我们引申出变分不等式的现代数学理论，假设定义在实轴上的二次凸函数 （2.1）很显然，它具有极小值点，且满足求得。现在我们限制上述极小值问题。假定函数不是定义在整个实轴上,而只在凸子集上有定义，设是在上的极小值点，则. (2.2)由于是凸子集，对于任何，当，时也有，因此并且于是，函数在上的极小值点将满足不等式 (2.3)显然，只有当时，上式等号成立。 上式就是最简单的变分不等式。这一简单公式经过推广，可以变成一个非常抽象能概括许多物理现象的一般公式。 下面给出变分不等式的基本定义。 设是一拓扑空间，是中非空子集。：是一泛函，且

13、.设：是一实泛函，且，.下面关于的无穷不等式组： (2.4)称为变分不等式（或称变分不等方程）。若满足(2.4)，则称为变分不等式(2.4)的解。 2.2变分不等式的例子例2.2.1设是中之一非空闭凸集，是一连续映象。求，使得 （2.5）这类变分不等式称为Hartrnan-Stampacehia变分不等式。 例2.2.2 设是一局部凸线性拓扑空间，是中的紧凸集，是一连续映射，求 (2.6)解的存在性。这类变分不等式我们称为 Browder变分不等式。例2.2.3 设是一实Hilbert空间，是上的连续的双线性泛函，即存在常数，使得对任意给定的及任给的凸集,求，使得 （2.7）其中，如果，则（2

14、.3）等价于：求使得 (2.8)这类变分不等式称为Lions-Stampacchia变分不等式或者椭圆形变分不等式。例2.2.4 设是一实Hilbert空间，是一自反Banach空间，是中的范数且，记，设是一函数且.记.并由下式定义一映像： (2.9)其中。设,其中，求满足这一类变分不等式称为抛物型变分不等式，可应用于如Stefan问题和渗透中的某些问题的研究。例2.2.5 设和分别是和中的子集，设是一多值映像，是二单值映像。求,使得 (2.10)这一类变分不等式称为似-变分不等式。她首先由Parida-Sen提出和研究，并与凸数学规划中的某些问题紧密联系。例2.2.6设是一局部拓扑向量空间，

15、是一Ferchet空间。设和分别是和的子集，是多值映像，是一函数，满足条件。求，使得 (2.11)这一类变分不等式称为拟-似变分不等式。例2.2.7 设是一实向量空间，是的两个闭子集，,设是一泛函，使得对每一，而是一泛函，使得对每一.求使得 (2.12)这一类变分不等式称为隐变分不等式。例2.2.8 设是一Hilbert空间，是中的非空紧集族。设是二多值映像，是一单值映像。设关于第一变量是一极大单调映像，对给定的非线性映像，求，使得. 这类问题称为集值拟变分包含。例2.2.9设,是二实Banach空间，是之一非空闭凸集，是一映像，其中是由到的一切线性连续映像的集合。设是中一族闭的不为空的尖凸锥

16、。求使得.其中表线性映像在处的取值。这一类变分不等式称为向量变分不等式。例2.2.10设是一拓扑向量空间，是中之一非空的紧凸集，是的对偶空间，是和间的配对。设是一可测空间，,求一可测映像使得对任一.这一类变分不等式称为随机变分不等式。例2.2.11 设是一局部凸的Haussdorff拓扑向量空间，是之一非空的紧凸子集，是上的一族模糊集。设和是二模糊映像，而是一数。求使得对一切及。这一类变分不等式称为模糊变分不等式。第3章 变分不等式的导出本章我们通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、Hilbert空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。3.1 可

17、微函数的极值问题例3.1.1 设求，使得由Weierstrass定理知，存在，且满足（1） 当时，；（2） 当时，；（3） 当时，；因而只要，均与。于是按中的内积即得下面的变分不等式：，而且是变分不等式的解.例3.1.2 设，设是由下式定义的集合：，其中，和是二给定的函数，显然，.设使得.因凸，故对任意的,现定义函数如下：.故.故由例3.1.1知,因而,故有 故得下面的变分不等式.例3.1.3 设是中之一开集，求极小值，其中，而是给定的函数。如果是上式的极小点，仿例3.1.2可证满足变分不等式：上面的例子表明，可微函数的极小值问题可导出变分不等式问题，反之，如果下面命题成立且这一可微函数还是凸

18、的，则其逆结论也成立。命题3.1.1 设是一实赋范范空间，为的对偶空间，表和间的配对，设是之一凸子集，是一Ganteaux可微的凸函数，其微分定义为：.则下列结论等价：（1） ；（2） ；（3） .证明：.设是在上的极小点，则对任意函数在处取得极小值，从而有.对任意的的及任一有于上式左端令即得.对任一，取，代入即得. （3.1）因而结论（1）由（3.1）直接可得。.在（3.1）中交换与的位置得. （3.2）（3.1）与（3.2）两式相加即得.结论（3）得证。.于（3）中以代替，得.由实轴上可微凸函数的性质值，上式左端在处右连续。让，即得（2）。证毕。3.2 不可微函数的极值问题命题3.2.1设

19、是一Hilbert空间，是上之一对称的非负双线性型，即，且.设是一凸泛函且，设是一给定的泛函，令，则下列结论等价：（1） ,使得；（2） 是下面的变分不等式的解：. （3.3）证明：.设（1）成立，由的极小性和的对称双线性，故对任一和任一有化简后得.让，结论（2）得证。.设是变分不等式（3.3）的解，由及（3.3）知任一有即。故是在上的极小点。 证毕。3.3 Hilbert空间上的投影问题设是一实Hilbert空间，是的一个非空闭凸集，是给定的一点，如果存在使得，则称是在上的投影，记为。现定义一函数如下：其中是中任一给定的点，由上式知，在处取得极小值，于是由例3.1.1知，故得.（3.4）即是

20、上式变分不等式的解。反之，如果是变分不等式的解，从而有因而得知即.另外，对任给的，令，由（3.4）有.在前一式中取，后一式中取，相加得.于是由Schwarz不等式知.综上所述，即得下列结论。命题3.3.115 设是一实Hilbert空间，是之一非空闭凸集，则下列结论成立：（1） 是在上的投影，当且仅当是变分不等式（3.4）的解（2） 由到上的投影映像是非扩张的。3.4 不动点问题命题3.4.1 设是一实Hilbert空间，是的非空闭凸集。（1） 如果是一自映像，则是的不动点，当且仅当是下面的变分不等式的解：； （3.5） （2）如果是一非自映像，而且对任一,存在和某，使得则是的不动点，当且仅当

21、是上式变分不等式的解；（3） 如果是一非自映像，则是变分不等式. （3.6）的解当且仅当为映像的不动点，其中是任意正数，是到上的投影。证明：（1）必要性显然，现证充分性。事实上，于（3.5）中取，代入得，即；(2) 只证充分性。设是变分不等式（3.5）的解。由命题的条件，存在和某一，使得。代入（3.5），并在（3.5）中取，化简得，故。于是，结论得证。(3) 设是变分不等式（3.6）的解，即，从而有.由命题3.3.1得知，即是映像的不动点。反之，设，于是有.故，即是变分不等式（3.6）的解。 证毕。上面我们介绍的为一类单值映像的不动点问题与一类变分不等式之间的关系，下面介绍一类多值映像的不动点

22、与一类隐变分不等式之间的关系。设与例2.2.7中相同，对给定的，定义两个映像如下：，如果对每一，存在满足变分不等式：.记上式的解集为，于是我们定义一个非空值得集值映像中有不动点，即，于是由的定义知.即是隐变分不等式(2.12)的解。反之，如果是隐变分不等式(2.12)的解，显然是的不动点。由上面的讨论可以得到下面的结论。命题3.4.215 隐变分不等式(2.12) 所定义的选择映像有不动点是隐变分不等式(2.12)有解的充分必要条件。3.5 分布参数系统控制问题（A）由Dirichlet问题约束的系统的控制问题设是一开集，为的边界。设.其中，在中几乎处处，且.于是由下式定义的算子是二阶椭圆算子

23、：.设是是的闭凸集，称为容许控制集。给定，Dirichlet问题的解称为由容许控制所确定的状态。现讨论的极小化问题：求，其中，是一给定的点，是上的Hermite正定线性算子。于是可证下面的结果成立。命题3.5.116 是的最优化控制（即使达到极小的点），当且仅当它满足下面的微分方程和变分不等式：(1) 在中，(2)， 在中，(3)， 在中，(4)， 在中，(5)，其中是的共轭算子。（B）由抛物型偏微分方程约束的系统的控制问题设是上的开集，.设是的边界，记。设是定义在上的函数，且满足条件：在上处处成立，其中。令，.设是容许控制集。令,，.则下面的结果成立。命题3.5.216 设上面的条件满足，则是的最优控制，即是在上的极小点，如果下面的方程和变分不等式被满足：（1），在中，（2），（3），（4），（5），（6），（7）