初中数学名师辅导教案圆第5讲圆综合学生版

1、第五讲第五讲 圆圆 综综 合合 中考要求 内容内容基本要求基本要求略高要求略高要求较高要求较高要求 直线与圆的位置直线与圆的位置 关系关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线 的概念，理解切线与过切点的半径之 间关系；会过圆上一点画圆的切线 能判定一条直线是否为圆的切线；能 利用直线和圆的位置关系解决简单问 题 能解决与切线有关 的问题 切线长切线长 了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题 圆与圆的位置关圆与圆的位置关 系系 了解圆与圆的位置关系 能利用圆与圆的位置关系解决简单问 题 知识点睛 一、弦切角定理（选讲） 1.弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，一边与圆相交的角叫弦切角 2.弦切

2、角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 如下图：切于，为圆的弦，则。ACOAAABBACD D O C B A 二、四点共圆（选讲） 定义：定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆” 证明四点共圆有下述一些基本方法：证明四点共圆有下述一些基本方法： 方法方法 1： ：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四 点共圆 方法方法 2： ：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等， 从而即可肯定这四点共圆 （若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两

3、点连线为该圆直 径。 ） 方法方法 3： ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时， 即可肯定这四点共圆 方法方法 4： ：证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆 上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时， 首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明 重、难点 灵活应用圆的性质解决综合题，其中添加恰当的辅助线是难点。 例题精讲 板块一 圆中的全等 【例例 1】如图，等边如图，等边内接于内接于，是是上任意一点，连结上任意一点，连结求证：求证：A

4、BCOP A BCPAPBPC、PAPBPC P O CB A 【例例 2】已知点已知点、顺次在顺次在上，上，于点于点，求证：，求证：ABCDO AA ABBDBMACMAMDCCM O M D C B A 【例例 3】( (三帆中学三帆中学 20072008 学年度第一学期期中考试学年度第一学期期中考试) )在在中，中，是它的外接圆上包含是它的外接圆上包含ABCACBCM 点点的弧的弧的中点，的中点，上的点上的点使得使得，求证：，求证：CABACXMXACAXXCCB O X M C B A 【例例 4】如图，如图，外接于边长为外接于边长为 2 的正方形的正方形，为弧为弧上一点，且上一点，且

5、，求，求的的OABCDPAD1AP 2 2PB PC 长长 P DC B A 【例例 5】圆内接四边形两条对角线互相垂直，则一边的弦心距等于它的对边的一半圆内接四边形两条对角线互相垂直，则一边的弦心距等于它的对边的一半 板块二板块二 二次函数与圆二次函数与圆 【例例 6】（山东滨州卷）已知：抛物线（山东滨州卷）已知：抛物线与与轴相交于轴相交于两点，两点， 2 :(1)(2)Myxmxmx 12 (0)(0)A xB x， 且且 12 xx （）若）若，且，且为正整数，求抛物线为正整数，求抛物线的解析式；的解析式； 12 0 x x mM （）若）若，求，求的取值范围；的取值范围； 12 11x

6、x，m （）试判断是否存在）试判断是否存在，使经过点，使经过点和点和点的圆与的圆与轴相切于点轴相切于点，若存在，求出，若存在，求出mABy(0 2)C， 的值；若不存在，试说明理由；的值；若不存在，试说明理由； 2 :(1)(2)Myxmxm 【例例 7】（四川攀枝花卷）已知抛物线（四川攀枝花卷）已知抛物线与与 y 轴的交点为轴的交点为 C，顶点为，顶点为 M，直线，直线 CM 的解析式的解析式 2 yaxbxc 并且线段并且线段 CM 的长为的长为2yx 2 2 （1）求抛物线的解析式。）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与）设抛物线与 x 轴有两个交点轴有两个交点 A（X1 ，0） 、B（

7、X2 ，0） ，且点，且点 A 在在 B 的左侧，求线段的左侧，求线段 AB 的的 长。长。 （3）若以）若以 AB 为直径作为直径作N，请你判断直线，请你判断直线 CM 与与N 的位置关系，并说明理由。的位置关系，并说明理由。 【例例 8】(2007 襄樊襄樊)如图，在平面直角坐标系中，以点如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为为圆心，半径为的圆交的圆交轴正半轴于点轴正半轴于点，(04)C，4yA 是是的切线动点的切线动点从点从点开始沿开始沿方向以每秒方向以每秒 个单位长度的速度运动，点个单位长度的速度运动，点从从点开点开ABCPAAB1QO 始沿始沿轴正方向以每秒轴正方向以每秒个单位

8、长度的速度运动，且动点个单位长度的速度运动，且动点、从点从点和点和点同时出发，设运动同时出发，设运动x4PQAO 时间为时间为 (秒秒)t 当当时，得到时，得到、两点，求经过两点，求经过、三点的抛物线解析式及对称轴三点的抛物线解析式及对称轴 ；1t 1 P 1 QA 1 P 1 Ql 当当 为何值时，直线为何值时，直线与与相切？并写出此时点相切？并写出此时点和点和点的坐标；的坐标；tPQCPQ 在在的条件下，抛物线对称轴的条件下，抛物线对称轴 上存在一点上存在一点，使，使最小，求出点最小，求出点 N 的坐标并说明理的坐标并说明理lNNPNQ 由由 l Q1 P1 y x Q O P C BA

9、【巩固巩固】(2007 南充南充)如图，点如图，点，以点，以点为圆心、为圆心、为半径的圆与为半径的圆与轴交于点轴交于点已知抛物已知抛物40M，M2xAB， 过点过点和和，与，与轴交于点轴交于点 2 1 6 yxbxcAByC 求点求点的坐标，并画出抛物线的大致图象的坐标，并画出抛物线的大致图象C 点点在抛物线在抛物线上，点上，点为此抛物线对称轴上一个动点，求为此抛物线对称轴上一个动点，求 最最8Qm， 2 1 6 yxbxcPPQPB 小值小值 是过点是过点的的的切线，点的切线，点是切点，求是切点，求所在直线的解析式所在直线的解析式CECMEOE M y x O E D C B A 【例例 9

10、】(2006 山东潍坊山东潍坊)已知二次函数图象的顶点在原点已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为，对称轴为轴一次函数轴一次函数的图象与的图象与 Oy1ykx 二次函数的图象交于二次函数的图象交于两点两点(在在的左侧的左侧)，且，且点坐标为点坐标为平行于平行于轴的直线轴的直线 过过AB，ABA44 ，xl 点点01， 求一次函数与二次函数的解析式；求一次函数与二次函数的解析式； 判断以线段判断以线段为直径的圆与直线为直径的圆与直线 的位置关系，并给出证明；的位置关系，并给出证明；tanxCAl 把二次函数的图象向右平移把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，再向下平移 个单位个单位，

11、二次函数的图象与，二次函数的图象与轴交于轴交于2t0t x 两点，一次函数图象交两点，一次函数图象交轴于轴于点当点当 为何值时，过为何值时，过三点的圆的面积最小？三点的圆的面积最小？MN，yFtFMN， 最小面积是多少？最小面积是多少？ l y x O 【例例 10】 (2008 江苏宿迁江苏宿迁)（本题满分（本题满分 12 分）如图分）如图 1，的半径为的半径为 ，正方形，正方形顶点顶点坐标为坐标为，OA1ABCDB50， 顶点顶点在在上运动上运动DOA 当点当点运动到与点运动到与点、在同一条直线上时，试证明直线在同一条直线上时，试证明直线与与相切；相切；DAOCDOA 当直线当直线与与相切

12、时，求相切时，求所在直线对应的函数关系式；所在直线对应的函数关系式；CDOAOD 设点设点的横坐标为的横坐标为，正方形，正方形的面积为的面积为，求，求与与之间的函数关系式，并求出之间的函数关系式，并求出的最的最DxABCDSSxS 大值与最小值大值与最小值 1 x y O D A B C 1 5 板块三 弦切角定理（选讲） 【例例 11】 两圆内切于两圆内切于，大圆的弦，大圆的弦切小圆于切小圆于，则，则PABCAPCBPC E Q A C B M N P 【例例 12】 已知已知：如图所示：如图所示与与外切于外切于，是过是过的割线，的割线，于于交交于于，切切 1 O 2 OPACP 1 OA

13、2 OCBC 于于，过点，过点作直线作直线交交于于 求证：求证： 2 OC 1 OABBCBABBC D O2O 1 P C B A 【例例 13】 已知圆已知圆、外切于外切于，过圆，过圆上一点上一点作圆作圆的切线的切线，交圆，交圆于于，为切点求证：为切点求证： 1 O 2 OP 1 OA 2 OAC 1 OBC PAAC PBBC B O2O1 C A 板块三 四点共圆（选讲） 【例例 14】 如图如图和和中，中，求证点，求证点，四点在同一个圆上四点在同一个圆上ABCDBCAD ABCD D CB A 【例例 15】 已知在凸五边形已知在凸五边形中，中，且，且，求证：，求证：ABCDE3BA

14、EBCCDDE、1802BCDCDE BACCADDAE E DC B A 【例例 16】 过圆外一点过圆外一点作圆的两条切线和一条割线，切点为作圆的两条切线和一条割线，切点为，所作割线交圆于，所作割线交圆于两点，两点，在在PAB、CD、C 之间在弦之间在弦上取一点上取一点，使，使求证：求证：PD、CDQDAQPBC DBQPAC Q P O D C B A 家庭作业 【习题习题 1】已知在已知在中，中，的外角平分线交的外角平分线交的外接圆于点的外接圆于点，过，过作作，ABCABACAABCEEEFAB 垂足为垂足为，求证：，求证：F2AFABAC F E C B A 【习题习题 2】已知：如图，已知：如图，与与内切于点内切于点，的弦的弦交交于点于点和和，若，若 1 O 2 OT 1 OTATB、 2 OCD ，求，求的长的长 2 5 3 TC DC TA 、AB O2O1 T D C B A 【习题习题 3】(2008 江苏无锡江苏无锡)（本小题满分（本小题满分 10 分）如图，已知点分）如图，已知点从从出发，以出发，以 个单位长度个单位长度/秒的速秒的速A10，1 度沿