大学物理(华中科技版)第9章习题解答

1、第9章 真空中的静电场习题解答91 精密的实验已表明，一个电子与一个质子的电量在实验误差为的范围内是相等的，而中子的电量在的范围内为零。考虑这些误差综合的最坏情况，问一个氧原子（含8个电子、8个质子、8个中子）所带的最大可能净电荷是多少？若将原子看成质点，试比较两个氧原子间的电力和万有引力的大小，其净力是引力还是斥力？解：（1）一个氧原子所带的最大可能净电荷为（2）两个氧原子间的电力和万有引力的大小之比为其净力是引力。92如习题92图所示，在直角三角形ABC的A点处，有点电荷q1 = 1.810-9C，B点处有点电荷q2 = 4.810-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强

2、。解：根据点电荷场强大小的公式E2EE1q2ACq1B，点电荷q1在C点产生的场强大小为方向向下。点电荷q2在C点产生的场强大小为，方向向右。C处的总场强大小为，总场强与分场强E2的夹角为93半径为R的一段圆弧，圆心角为60，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电荷线密度分别为+和-，求圆心处的场强。ExxERdsEyOy解：在带正电的圆弧上取一弧元ds = Rd，电荷元为dq = ds，在O点产生的场强大小为，场强的分量为dEx = dEcos，dEy = dEsin。dsExxEREyOy对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正

3、方向，大小为。94 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为 = 310-8Cm-1，求：（1）棒的延长线上与棒的近端相距d1 = 8cm处的场强；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2 = 8cm处的场强。olxxdlyP1r-LLd1解：（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)。在细棒上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为 场强的方向沿x轴正向因此P1点的总场强大小通过积分得 将数值代入公式得P1点的场强为= 2.41103(NC-1)方向沿着x轴正向。（2）建立坐标系

4、，y = d2。在细棒上取一线元dl，所带的电量为olxxdlr-LLyP2dEydE2dExd2dq = dl在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为 由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为 dEy = dE2sin。由图可知：r = d2/sin，l = d2cot所以 dl = -d2d/sin2因此 总场强大小为 将数值代入公式得P2点的场强为= 5.27103(NC-1)方向沿着y轴正向讨论：（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入式，化简得保持d1不变，当a时，可得 这就是半无限长带电直线在相距为d1的延长线上产生的场强大小（2）由式得当a时，得 ， 这就是无限长

5、带电直线在线外产生的场强公式。如果d1=d2，则有大小关系Ey = 2E1。95 一无限长均匀带电细棒被弯成如习题95图所示的对称形状，试问为何值时，圆心O点处的场强为零。RO解：设电荷线密度为，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强。在圆弧上取一弧元 ds =R d所带的电量为 dq = ds在圆心处产生的场强的大小为由于弧是对称的，场强只剩x分量，取x轴方向为正，场强为 dEx = -dEcos总场强为ROxddE方向沿着x轴正向。再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强OEExR根据上一题的公式可得半无限长带电直线在延长上O点产生的场强大小为 由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O点产生

6、的合场强为方向沿着x轴负向当O点合场强为零时，必有，可得 tan/2 = 1因此 /2 = /4，所以 = /296 一宽为b的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为，如习题96图所示。试求平板所在平面内，离薄板边缘距离为的点处的场强。解：建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为dx的带电直线，电荷的线密度为 d = d x根据直线带电线的场强公式得带电直线在P点产生的场强为PbaOxdxy其方向沿x轴正向。由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同，所以总场强为 场强方向沿x轴正向。97 有一半径为的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为,求球心处的电场强度。解: 如图所示，在球面上任取一面元，其上

7、带电量为，电荷元在球心处产生的场强的大小为方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向竖直向下，其大小为98（1）点电荷q位于一个边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？解：点电荷产生的电通量为e = q/0（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为1 = e/6 = q/60（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为1 = e/24 = q/240；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电

8、通量为零RO99 面电荷密度为的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如习题99图所示。求通过此半球面的电通量。解：设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面。球面内包含的电荷为 q = R2通过球面的电通量为 e = q/0通过半球面的电通量为e = e/2 = R2/20910 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2(R2 R1)，带有等量异号电荷，单位长度的电量分别为和-，求（1）r R1；（2） R1 r R2处各点的场强。解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E

9、 = 0，（r R1）（2）在两个圆柱之间做一长度为l，半径为r的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = 穿过高斯面的电通量为根据高斯定理e = q/0，所以， (R1 r R2）911 一厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密度为，求板内外各点的场强。解：方法一：高斯定理法S2S1ES1S2EEd2rS0ES0（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E在板内取一底面积为S，高为2r的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为高斯面内的体积为 V = 2rS，包含的电量为 q =V = 2rS根据高斯定理

10、 e = q/0可得场强为 E = r/0，(0rd/2)（2）穿过平板作一底面积为S，高为2r的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 e = 2ES高斯面在板内的体积为V = Sd，包含的电量为 q =V = Sd，根据高斯定理 e = q/0，可得场强为 E = d/20，(rd/2) 方法二：场强叠加法E2dyryoE1d（1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下。在下面板中取一薄层dy，面电荷密度为d = dy，产生的场强为 dE1 = d/20积分得同理，上面板产生的场强为r处的总场强为E = E1-E2 = r/0（2）在

11、公式和中，令r = d/2，得E2 = 0、E = E1 = d/20E就是平板表面的场强。平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出式。912 一个均匀带电圆盘，半径为，电荷面密度为，求：(1) 轴线上任一点的电势（用表示该点至圆盘中心的距离）；(2) 利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。解：如图所示，将均匀带电圆盘视为一系列连续分布的同心带电细圆环所组成，距点处取一宽为的细圆环，其带电量为，在点处产生的电势为所以，整个带电圆盘在点产生的电势为轴线上的场强分布为ORaRO913 一半径为R的均匀带电球体内的电

12、荷体密度为，若在球内挖去一块半径为R的小球体，如习题913图所示，试求两球心O与处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场解：挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加。对于一个半径为R，电荷体密度为的球体来说，当场点P在球内时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程P点场强大小为当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程P点场强大小为O点在大球体中心、小球体之外大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为方向由O指向O。O点在小球体中心、大球体之内小球体在O点产

13、生的场强为零，大球在O点产生的场强大小为方向也由O指向O证明：在小球内任一点P，大球和小球产生的场强大小分别为OarOrErErEP方向如图所示设两场强之间的夹角为，合场强的平方为 根据余弦定理得 所以 可见，空腔内任意点的电场是一个常量。还可以证明，场强的方向沿着O到O的方向。因此空腔内的电场为匀强电场。914 如习题914图所示，在A、B两点处放有电量分别为+q和-q的点电荷，现将另一正试验电荷q0从O点经过半圆弧路径移到C点，求移动过程中电场力所做的功。解：正负电荷在O点的电势的和为零 -q+qOBDCAUO = 0；在C点产生的电势为电场力将正电荷q0从O移到C所做的功为W = q0U

14、OD = q0(UO-UD) = q0q/60R915 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A和B。A平面的电荷面密度为2，B平面的电荷面密度为，两面间的距离为d当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为多少？ 解：两平面产生的电场强度大小分别为EA = 2/20 = /0，EB = /20，两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为 E = EA - EB = /20方向由A平面指向B平面。两平面间的电势差为U = Ed = d/20当点电荷q从A面移到B面时，电场力做的功为 W = qU = qd/20916 一半径为R的均匀带电球面，带电量为Q。若规定该球面上电势值为零，

15、则无限远处的电势为多少？解：带电球面在外部产生的场强为，由于 当UR = 0时，917 电荷Q均匀地分布在半径为R的球体内，试证明离球心r（rR）处的电势为。证明：球的体积为电荷的体密度为 利用913题的方法可求球内外的电场强度大小为，（rR），（rR）取无穷远处的电势为零，则r处的电势为918 在y = -b和y = b两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为，其他地方无电荷。o-bES2S2EybEbbES1S0S0S1（1）求此带电系统的电场分布，画E-y图；（2）以y = 0作为零电势面，求电势分布，画U-y图。解：平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E，但

16、方向相反（1）在板内取一底面积为S，高为2y的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为高斯面内的体积为 V = 2yS包含的电量为 q = V = 2Sy根据高斯定理 e = q/0可得场强为 E = y/0 (-byb)穿过平板作一底面积为S，高为2y的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为地 e = 2ES高斯面在板内的体积为 V = S2b包含的电量为 q = V = S2b根据高斯定理 e = q/0可得场强为 E = b/0， (by)E = -b/0，(y-b ) E-y图如左图所示（2）对于平面之间的点，电势为，在y = 0处U = 0，所

17、以C = 0，因此电势为，(-byb) 这是一条开口向下的抛物线。当yb时，电势为，在y = b处U = -b2/20，所以C = b2/20，因此电势为，(by)当y-b时，电势为在y = -b处U = -b2/20，所以C = d2/20，因此电势为 两个公式综合得，(|y|d)这是两条直线。U-y图如右图所示U-y图的斜率就形成E-y图，在y = b点，电场强度是连续的，因此，在U-y图中两条直线与抛物线在y = b点相切。 注意：根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量。根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即

18、这是因为积分的起点位置是积分下限。oyE-bboyU-bbABP919 两块“无限大”平行带电板如习题919图所示，A板带正电，B板带负电并接地（地的电势为零），设A和B两板相隔5.0cm，板上各带电荷=3.310-6Cm-2，求：（1）在两板之间离A板1.0cm处P点的电势；（2）A板的电势。解：两板之间的电场强度为 E=/0方向从A指向B。以B板为原点建立坐标系，则rB = 0，rP = -0.04m，rA = -0.05m（1）P点和B板间的电势差为ABPro由于UB = 0，所以P点的电势为=1.493104(V)（2）同理可得A板的电势为=1.866104(V)920 电量q均匀分布

19、在长为2L的细直线上，试求：（1）带电直线延长线上离中点为r处的电势；（2）带电直线中垂线上离中点为r处的电势；（3）由电势梯度算出上述两点的场强。解：电荷的线密度为 = q/2L（1）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq = dl根据点电荷的电势公式，它在P1点产生的电势为oxdlyLr-LP1l 总电势为 （2）建立坐标系，在细线上取一线元dl，所带的电量为dq = dl，在线的垂直平分线上的P2点产生的电势为 ，积分得olxxxdl-LLyrP2（3）P1点的场强大小为， 方向沿着x轴正向。P2点的场强为 方向沿着y轴正向。921 如习题921图所示，一个均匀带电，内、外半

20、径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为，试计算：AOR1BR2rArB（1）A，B两点的电势；（2）利用电势梯度求A，B两点的场强。解：（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电势就等于球心O点的电势。在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为dV = 4r2dr包含的电量为dq = dV = 4r2dr在球心处产生的电势为OR1R2rdr球心处的总电势为这就是A点的电势UA。过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的。球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得OR1R2rBB球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势。球壳在球面内的体积为包含的电量为 Q = V这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为B点的电势为UB = U1 + U2