第二篇第六章(第十章)应力状态与强度理论

1、第十章 应力状态与强度理论第一节 概述前述讨论了构件横截面上的最大应力与材料的试验许用应力相比较而建立了只有正应力或只有剪应力作用时的强度条件。但对于分析进一步的强度问题是远远不够的。实际上，不但横截面上各点的应力大小一般不同，即使同一点在不同方向的截面上，应力也是不同的。例.直杆轴向拉伸(压缩时)斜截面上的应力. 上例说明构件在复杂受力情况下，最大应力并不都在横截面上，从而需要分析一点的应力状态。一、 一点的应力状态凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为不但受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的。即使通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。一点处的应力状态就

2、是指通过一点不同截面上的应力情况的总和。或者说我们把过构件内某点所有方位截面上应力情况的总体称为一点的应力状态。下图为通过轴向拉伸构件内某点不同（方向）截面上的应力情况。而本章就是要研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。并以此为基础建立复杂受力(既有正应力，又有剪应力)时的强度条件。二、 一点应力状态的描述1、微元法：在一般情况下，总是围绕所考察的点作一个三对面互相垂直的微正六面体，当各边边长充分小并趋于零时，六面体便趋于宏观上的“点”，这种六面体称为“微单元体”，简称“微元”。当微元三对面上的应力已知时，就可以应用截面法和平衡条件，求得过该点任意方位面上的应力。因此，通过微元及其三

3、对互相垂直的面上的应力情况，可以描述一点的应力状态。 上图为轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体。根据材料的连续均匀假设以及整体平衡则局部平衡即微元体也平衡的原则，微元体（代表一个材料点）各微面上应力特点如下：（1） 各微面上应力均匀分布；（2） 相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；（3）互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等定律。（在相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且大小相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。）2、微元体的常用取法矩形截面杆：一对面为杆的横截面，另外两对面为平行于杆表面的纵截面。dx、dy、dz。圆截面杆：一对面为横截面，一对

4、面为过杆轴线的纵截面，一对面为同轴圆柱面。dx、dr、d。3、例：受轴向拉伸或压缩的杆上任意点 受弯构件内的点 受扭构件表面上的点 4、几种应力状态的概念平面应力状态：如果微元各个面上所受应力的作用线都处于同一平面内。单向应力状态：平面应力状态中，只受一个方向正应力作用的。纯切应力状态：只受切应力作用的。第二节 平面应力状态中任意方向面上应力分析一、分析微元斜截面（方向面）上的应力的基本方法-截面法：当微元三对面上的应力已经确定时，为求某个斜面（即方向面）上的应力，可用一假想截面将微元从所考察的斜面处截为两部分，考察其中任意一部分的平衡，即可由平衡条件求得该斜截面上的正应力和切应力。二、平面应

5、力状态中任意方向面上应力分析1.方向角与应力的正负号规则方向角-用方向面法线n与水平坐标轴x正向的夹角来定义方向面的位置。并叫方向角。我们规定从x正方向逆时针转至n正方向者为正；反之为负。正应力-拉为正；压为负。切应力-使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正，反之为负。2.平面应力状态中任意方向面上应力分析于是根据力的平衡方程Fn=0 、Ft=0例 代入公式得第三节 应力状态中的主应力与最大切应力一. 主平面 主应力与主方向1、讨论：2、结论：（1）正应力取极值的方向面上剪应力为零。（2）正应力取极值的方向面有两个且相互垂直。3、几个概念：由以上讨论可知在应力状态中，存在着某方向面（其方向

6、角为P），在这个面上，切应力等于零，这样的面称为“主平面”。主平面上的正应力称为“主应力”。主平面法线方向即主应力作用线方向称为“主方向”。主方向用方向角P来表示。并且主应力具有极值的性质。主应力表达式；由 得到： 主方向角表达式： 4、最后结论：在平面应力状态中，有一对面即平行于xy坐标面的平面上既无正应力也无剪应力作用，这一对面也是主平面，只是其上之主应力等于零。所以，应力状态中，有三个主应力，我们一般按其代数值大小排列: 。而平面应力状态中，有一个主应力为零。例.习11.4 解： 则 则 则 二.面内最大切应力与一点处的最大切应力1、讨论： 令由此可得取极值的角，用S表示，即 同理可得：

7、2、结论：作用在互相垂直的平面上，且最大(或最小)切应力作用在与主平面夹/4角的平面上。但需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有方向面中切应力的极值。考察空间应力状态 则一点应力状态中的最大切应力，必然是上述三者中的最大的，即 ：6.4 应力状态分析的图形解析法应力圆及其应用应力圆方程：例 P305 习11.5解：在横截面上 则 则1点： 2点： 3点： 4点： 第四节 一般应力状态下的应力-应变关系一、广义胡克定律 1、一般应力状态下的应力-应变关系 x方向y方向z方向 上式即为一般应力状态下应力-应

8、变关系也即广义胡克定律。2、主应力状态下的应力-应变关系 主方向1主方向2主方向3主应力作用下沿各主方向的应变1、2、3称为主应变，由表中横列相加，得：3、一般平面应力状态下（z=0、xz=zx=yz=zy=0）的应力-应变关系 二、各向同性材料各弹性常数之间的关系 三、总应变能密度1、概念根据能量守恒原理，材料在弹性范围内工作时，微元三对面上的力（其值为应力与面积的乘积）在由各自对应应变所产生的位移上所作之功，全部转变为一种能量，贮存于微元内。这种能量称为弹性应变能，简称为应变能，用dV表示。若以dV表示微元的体积，则定义dV/dV为应变能密度，用v表示。2、v的计算式假设力和位移或者应力和

9、应变都同时自零开始逐渐增加至终值。当材料的应力-应变满足广义胡克定律即在小变形的条件下，相应的力FP和位移亦存在线性关系。则 于是，作用在微元上的所有力作功之和为：则：所以：四、体积改变能密度和畸变能密度1、概念一般情形下，物体变形时，同时包含了体积改变与形状改变。因此，总应变能密度包含相互独立的两种应变能密度。即。式中vv和vd分别称为体积改变能密度和畸变能密度。2、vv和vd的计算 第五节 一般应力状态下的强度条件一、强度理论概念强度理论是研究在复杂应力状态下建立强度条件的问题。当构件的危险点处于三向应力状态时，如仍用前述实验办法建立强度条件，就必须对同一材料进行不同应力组合下的无数次实验

10、，以确定相应的极限应力值，然后再建立强度条件。这显然是不现实的。但材料的失效是有规律的，例如在常温、静载作用下，材料在不同应力状态下的失效大致可分为屈服和剪断以及脆性断裂两种形式。从而对材料的破坏现象提出了各种假说，这些假说认为，材料的某种类型的破坏是由某种特定因素引起的，并且和应力状态无关。这些假说称为强度理论。所谓强度理论，就是关于材料在不同应力状态下失效的共同原因的假设。根据这些假设，就有可能利用单向拉伸的实验结果，建立材料在复杂应力状态下的失效判据以及强度计算准则。二、四大强度理论1、第一强度理论（伽利略）不管材料处在什么应力状态下，只要发生脆性断裂，其共同原因便是由于微元内的最大拉应力()达到了某个共同的极限值max0由拉伸时试验的结果 即2、第二强度理论(马略特)不管材料处在什么应力状态下，只要发生脆性断裂，其共同原因便是由于微元内的最大拉应变()达到某个共同的极限值10。即3、第三强度理论(库仑)不管材料处在什么应力状态下，只要发生屈服或剪断，其共同原因便是由于微元内的最大剪应力(max)达到了某个共同的极限值(max0)。即 4、第四强度理论不管材料处在什么应力状态下，只要发生屈服或剪断，其共同原因便是由于微元