高一数学一次函数和二次函数知识点

1、课时数量2课时（120分钟）适用的学生水平优秀 中等 基础较差教学目标（考试要求）掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征；学会用配方法研究二次函数的性质；会运用待定系数法解题，理解二次函数的图象与系数、及一元二次方程两根、判别式之间的联系，并运用其性质解决有关问题教学重点、难点重点：一次函数和二次函数的性质及图象特征难点：二次函数的性质运用建议教学方法寓教于练，重在点拨第5讲 一次函数和二次函数教学内容一、知识梳理1.函数叫做一次函数，它的定义域是R，值域是R；（1）一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；（2）一次函数中，叫直线的斜率，叫直线在轴上的截距； 时，函数是增函数，时，函数

2、是减函数；（3）时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；时，它既不是奇函数，也不是偶函数；4.函数叫做二次函数，它的定义域为是R，图象是一条抛物线；（1）当0时，该函数为偶函数，其图象关于轴对称；（2）当时，抛物线开口向上，二次函数的单调减区间为，单调增区间为，值域为；（3）当时，抛物线开口向下，二次函数的单调增区间为，单调减区间为，值域为；5.一次函数的图像与性质二、方法归纳1.二次函数的三种表示形式 F 提 示二次函数图象的对称轴与轴的交点是函数单调区间的界，在轴上，与对称轴等距离的点的函数值相等（1）一般式： （2）顶点式：，其中 为抛物线的顶点坐标 （3）两根式：，其中、是抛物线与

3、x轴交点的横坐标 2.利用配方法求二次函数的对称轴方程为： 3.若二次函数对应方程0的两根为、，那么函数图象的对称轴方程为：4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数三、典型例题精讲例1二次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（）解析：由题义，方程0的两根为、观察备选答案ABC中反比例函数的图象，知0，答案A中，0，矛盾；答案B中，0，正好，故选B【技巧提示】根据函数的图象确定函数解析式中的参数，需要考查其单调性、奇偶性、对称轴、根的符号等又

4、例：已知二次函数为偶函数，其定义域为 ，则函数的值域为 解析：由题意，0，0，且， ， 函数的值域为例2对于每一个，设取，三个函数中的最小值，用分段函数写出的解析式，并求的最大值 解析： 这是教材中的一道练习题取，三个函数中的最小值于是的解析式为Oxy，的最大值为【技巧提示】理解取，三个函数中的最小值的含义，用分段函数写出的解析式是关键又例：对于任意，函数表示，中的较大者，则的最小值是_（答案：2）例3二次函数满足，又，若在0，上有最大值3，最小值1，则的取值范围是()A. B. C. D. 2,4解析：由 知函数的图象关于直线 2对称，Oxy321又，图象如下，由上有最大值3，最小值1，可知

5、的取值范围是，故选D【技巧提示】函数满足，则的图象关于直线 对称，其中也可用代替；数形结合可以使解法更加便捷又例：已知二次函数满足 (xR)，且0有两个实根、，则等于() A0 B3 C6 D不能确定 解析：由 (xR) 知函数的图象关于直线 3对称，应有， 6. 答案：C 再例：函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是解析：函数，又，的最小值为，实数的取值范围是例4抛物线与轴交于点两点且.求的值.解析： 由题意 是方程的两根， ，又即， ， 解得，当时0，当时0（舍去） 【技巧提示】抛物线与轴交于点的横坐标是二次函数所对应的方程0的根，一元二次方程根与系数的关系及判别式，是解答本题的重要基

6、础知识又例： 如果二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是() A B 且0 C D 且0 解析：注意数学语言转换，“二次函数”意味着“0”；“图象和轴有交点”等价于0答案：B例5已知函数x2mxn的图象过点(1，3)，且对任意实数都成立，函数y与y的图象关于原点对称求与的解析式 解析：由3，且函数的图象关于直线x1对称，先求，再由对称性求 由题意知：，解得 ， 设函数y图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)， 则x0x，y0y. 点Q(x0，y0)在y的图象上，y， y， 又例：已知二次函数满足1，1，且的最大值是8，试确定此二次函数的解析式 解析：用待定系数法解法一

7、：利用二次函数一般式，设， 由题意得解之得 所求二次函数为 解法二：利用二次函数顶点式，设， 1， 抛物线对称轴方程为. ，又根据题意函数有最大值为， 1， . 解法三：利用两根式 由已知，10的两根为x12，x21， 故可设1a(x2)(x1)，即ax2ax2a1. 又函数有最大值ymax8，即 8， 解之得a4或a0(舍)，所求函数解析式为. 例6已知二次函数满足和. （1）求的解析式； （2）求在上的最大值和最小值解析：（1）用待定系数法 ，设所求二次函数为 ，F 提 示在中学数学中常用的数学解题通法有换元法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、特殊值法透过这些方法体会数学思想，包括：转

8、化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”由题意，有即 对任何都成立，即（2）配方，得，根据函数图象可知，【技巧提示】 配方法和待定系数法是初中已经接触过的最常见的数学方法，属于通法要求熟练掌握，灵活运用例7函数，若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 解析：由 得 函数再由在上是减函数，得3 2答案：2另解：由函数在上是减函数，知 在 上是减函数，于是，有 ， 2【技巧提示】牢牢掌握二次函数图象的对称轴是二次函数单调性的界这一特征二次函数在单调，则，其余类推又例：已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 解析：由题意，有， 2答案：2四、课后训练1函数的最大值是_ 2已知和的图象关于直线对称，则 3若函数 的值在区间上有正也有负，则实数的范围是_ 4函数 在区间1,1上的最小值是_，最大值是_ 5若二次函数的图象的对称轴方程为1，则_，顶点坐标为_，单调递增区间为_6抛物线的对称轴是2，且经过点则的值为（ ）0127若函数，的图象关于直线对称，求的值 8已知二次函数的图象与轴的交点为，其形状与抛物线相同，求的解析式9已知在区间0，1内