高三寒假复习讲义第9章 第1讲 直线的方程和两条直线的位置关系

1、高三寒假复习讲义第九章直线和圆的方程第1讲直线的方程和两条直线的位置关系1表示直线方向的两个量(1)直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准)，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角范围：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0，故直线的倾斜角的取值范围为0180.(2)直线的斜率定义：当90时，tan表示直线l的斜率，用k表示，即ktan；当90时，直线l的斜率k不存在计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k.2直线方程的形式及适用条件注意点对直线的倾斜角和斜率的理解每条直线都有唯一的

2、倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在注意检验当斜率不存在时是否符合题意. 1思维辨析(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程()(4)任何直线方程都能写成一般形式()答案(1)(2)(3)(4)2如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案D解析直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k3k2，

3、故选D.3过点M(1，2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为()A2xy0 B2xy40Cx2y30 Dx2y50答案B解析设P(x0,0)，Q(0，y0)，M(1，2)为线段PQ中点，x02，y04，直线PQ的方程为1.即2xy40.考法综述高考中对直线方程的考查，一种常见方式是求曲线的切线方程，也可能与其他知识(如圆锥曲线、圆)综合考查，难度中低档求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要命题法求直线的斜率、倾斜角及方程典例(

4、1)直线xsiny10的倾斜角的变化范围是()A. B(0，)C. D.(2)根据所给条件求直线的方程直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析(1)直线xsiny10的斜率是ksin，又1sin1，1k1，当0k1时，倾斜角的范围是；当1k0时，倾斜角的范围是.(2)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin(00)交于M，N两点(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由解(1)由题设可得M(2，a)，N(

5、2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2处的导数值为，所以C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，所以C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意资*源%库 ziyua

6、1两条直线的位置关系2两直线相交交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解3距离4对称问题包括中心对称和轴对称(1)中心对称点关于点对称：若点M(x1，y1)与N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解直线关于点对称问题的主要解法：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用l1l2，由点斜式得到所求的直线方程(2)轴对称点关于直线的对称若两点P1(x1，y

7、1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，且连接P1P2的直线垂直于对称轴l，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中A0，x1x2)直线关于直线的对称：a.若已知直线l1与对称轴l相交，则交点必在与l1对称的直线l2上，然后再求出l1上任一个已知点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2的直线就是l2；b.若已知直线l1与对称轴l平行，则与l1对称的直线和l1分别到直线l的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l1的对称直线$来&源：注意点判断两直线位置关系及求距离时注意事项(

8、1)两条不重合直线平行时，不要忘记两直线的斜率都不存在的情况；判定两条直线垂直时，不要忘记一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况(2)使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中x，y的系数化成分别相等的.1思维辨析(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交()(2)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()(5)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，

9、则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()(6)当直线l1，l2斜率都存在时，若k1k2，则l1l2.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(1)已知过点A(2，m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行，则m的值为()A0 B8C2 D10(2)直线Ax3yC0与直线2x3y40的交点在y轴上，则C的值为_答案(1)B(2)4解析(1)由于kAB2(m2)，则m8.(2)因为两直线的交点在y轴上，所以点在第一条直线上，所以C4.3直线x2y10关于x3对称的直线方程为_答案x2y70解析设M(x，y)为所求直线上的任意一点，则其关于x3对称的点为(6x，y)，从而有6x2

10、y10，即x2y70，所以直线x2y10关于x3对称的直线方程为x2y70.考法综述高考要求能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用平行或垂直求其中一条直线的方程或参数的取值范围，考查用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，求距离和对称问题等命题法1两条直线的平行、垂直关系、距离的计算典例1(1)已知两直线l1：ax2y60和l2：x(a1)y(a21)0.若l1l2，求实数a的值；试判断l1与l2是否平行(2)已知点P(2，1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？解(1)由直线l1的方程知其斜率为，当a1时，直线l2的斜率不存在

11、，l1与l2不垂直；当a1时，直线l2的斜率为.$来&源：由1a.故所求实数a的值为.由知，当a1时，l1、l2相交，当a1时，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为.由l1l2可得，解得a1或a2.当a2时，l1的方程为xy30，l2的方程为xy30，显然l1与l2重合当a1时，l1的方程为x2y60，l2的方程为x2y0，显然l1与l2平行所以，当a1时，l1l2；当a2时，l1与l2重合；当a1且a2时，l1与l2不平行(2)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存

12、在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.作图可得过P点与原点O的距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图由lOP，得klkOP1.所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50.即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.【解题法】两直线位置关系问题的解题策略(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1l2k1k2，l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是否存在一定要

13、特别注意(2)若直线l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则直线l1l2的充分条件是k1k21.设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.则l1l2A1A2B1B20.命题法2与直线有关的对称问题典例2已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A的对称直线l的方程解(1)设对称点A的坐标为(m，n)，由已知可得解得即A.(2)在直线m上取一点，如B(2,0)，则B关于l的对称点必在m上，设对称点为B(a，b)，则由得B.设m与l的交点为N，由得N

14、(4,3)又m过N点，由两点式得直线m的方程为，资*源%库 即9x46y1020.(3)解法一：在l：2x3y10上任取两点，如M(1,1)，N(4,3)则M，N关于点A的对称点M，N均在直线l上易知M(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.解法二：设直线l关于点A的对称直线l上的任意一点P(x，y)，则点P(x，y)关于点A(1，2)的对称点P(2x，4y)，点P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.【解题法】对称问题的解题策略(1)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称

15、点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解(2)光线的反射问题具有入射角等于反射角的特点，这样就有两种对称关系，一是入射光线与反射光线关于过反射点且与反射轴垂直的直线(法线)对称，二是入射光线与反射光线所在直线关于反射轴对称1.平行于直线2xy10且与圆x2y25相切的直线的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析设所求直线的方程为2xyc0(c1)，则，所以c5，故所求直线的方程为2xy50或2xy50.2已

16、知点A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0,1) B.C. D.答案B解析(1)当直线yaxb与AB，BC相交时(如图1)，由得yE，又易知xD，|BD|1，由SDBE，得b.(2)当直线yaxb与AC，BC相交时(如图2)，由SFCG(xGxF)|CM|，得b1(0a0恒成立，b，即b.故选B.3已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|0答案C解析若OAB为直角三角形，则A90或B90.当A90时，有ba3；当B90时，有1，得b

17、a3.故(ba3)0，选C.4在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_答案3解析yax2，y2ax，由题意可得$来&源：解得ab3.5设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_答案5解析易知A(0,0)，B(1,3)，且PAPB，|PA|2|PB|2|AB|210.|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时取“”)(1)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_(2)直线l：ax(a1)y20的

18、倾斜角大于45，则a的取值范围是_错解错因分析处忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x2y0而致错处忽视与x轴垂直的特殊情况，此时直线的斜率不存在，但倾斜角为90，从而导致漏解正解(1)当截距不为0时，设所求直线方程为1，即xya0.点P(2,3)在直线l上，23a0，a1，此时所求直线l的方程为xy10.当截距为0时，设所求直线方程为ykx，则有32k，即k，此时直线l的方程为yx，即3x2y0.综上，直线l的方程为xy10或3x2y0.(2)当a1时，直线l的倾斜角为90，符合要求；当a1时，直线l的斜率为，只要1或0即可，解得1a或a0.综上可知，实数a的取值范围是(0，)答

19、案(1)xy10或3x2y0(2)(0，)心得体会时间：50分钟基础组1.2016枣强中学热身已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2答案A解析直线x2y40的斜率为，直线l在y轴上截距为2，直线l的方程为yx2，故选A.22016衡水中学猜题设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为，若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45，得到直线的倾斜角为45，则()A0180 B0135C0180 D0135答案D解析01，且n1 Bmn0，且n0 Dm0，且n0，0，n0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mnkA1F，

20、即kFD(4，)12. 2016武邑中学猜题设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若a1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求OMN面积取最小值时，直线l的方程解(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a20，解得a2，此时直线l的方程为xy0，即xy0；当直线l不经过坐标原点，即a2且a1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2a，解得a0，此时直线l的方程为xy20.所以直线l的方程为xy0或xy20.(2)由直线方程可得M，N(0，2a)，因为a1，所以SOMN(2a)2，当且仅当a1

21、，即a0时等号成立此时直线l的方程为xy20.能力组13.2016冀州中学仿真已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2xy0和xay0上，且AB线段的中点为P，则线段AB的长为()A11 B10C9 D8答案B解析依题意，a2，P(0,5)，设A(x,2x)、B(2y，y)，故则A(4,8)、B(4,2)，|AB|10，故选B.资*源%库14. 2016武邑中学预测l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_答案x2y30解析当两条平行直线与A、B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大因为kAB2，所以两条平行直线的斜率为，

22、所以直线l1的方程是y1(x1)，即x2y30.152016衡水二中模拟已知直线：xy1(a，b为给定的正常数，为参数，0,2)构成的集合为S，给出下列命题：当时，S中直线的斜率为；S中所有直线均经过一个定点；当ab时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；当ab时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b；S中的所有直线可覆盖整个平面其中正确的是_(写出所有正确命题的编号)答案解析直线方程可化为bsinxacosyab.当时，S中直线的斜率为，故错误；由直线方程易知所有直线不经过一个定点，故错误；当ab时，直线方程为sinxcosya，显然原点(0,0)到直线的距离da(定值)，故正确；设两平行直线为bsin1xacos1yab0，