高三数学理科模拟试题及答案

1、一、选择题：1. A. B. C. D. 解：原式.故选A.2. 设集合，则=A. B. C. D. 解：.故选B.3. 已知中， 则A. B. C. D. 解：已知中，. 故选D.4.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D. 解：,故切线方程为,即 故选B.5. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为A. B. C. D. 解：令则,连 异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C6. 已知向量，则A. B. C. D. 解：。故选C7. 设，则A. B. C. D. 解： .故选A.8. 若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为A

2、 B. C. D. 解：，又.故选D9. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A. B. C. D. 解：设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种解：用间接法即可.种. 故选C11. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为m A B. C. D. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜

3、角为,由双曲线的第二定义有.又 故选A12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A. 南 B. 北C. 西 D. 下解：展、折问题。易判断选B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。13. 的展开式中的系数为 6 。解：，只需求展开式中的含项的系数：14. 设等差数列的前项和为，若则 9 .解：为等差数列，15.设是球的半径，是的中点，过且与成45角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .解：设球半径为，圆的半径为， 因为。由得

4、.故球的表面积等于.16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。解：设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积三、解答题： 17设的内角、的对边长分别为、，求。分析：由，易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。18（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面（I）证明：（II）设二面角为60，求与平面所成的角的大小。（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， 为的中点，。又平面，（

5、射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）。分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证，得也可。分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。以下略。19（本小题满分12分）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。解：（I

6、）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以20（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。（II）在第

7、一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（III）的可能取值为0，1，2，3，21（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值； （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。解:(I）设，直线，由坐标原点到的距离为 则，解得 .又.（II）由(I）知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然。由韦达定理有：.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点，点P在椭圆上，即。整理得。又在椭圆上，即.故将及代入解得,=,即.当;22.(本小题满分12分)设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：解: （I） 令，其对称轴为。由题