高中数学必修二：直线与圆、圆与圆的位置关系

1、高中数学必修二第四节:直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点000几何观点drdrdr2圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x

2、2y24x2y10的公切线有且仅有2条()答案：(1)(2)(3)(4)2直线l：xy10与圆C：x2y24x2y10的位置关系是()A相离B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆心解析：选D将圆C的方程化为标准方程得C：(x2)2(y1)24，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为2，所以直线l与圆相交又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心3圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C外切 D相离解析：选B两圆心距离d，r1r2235，|r1r2|1，|r1r2|0，所以直线l与圆相交法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d1r或d4，点M在圆C外部

3、当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心C到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x30或3x4y50.|MC| ，过点M的圆C的切线长为1.解题师说1解题关键正确判断点与圆的位置关系是求切线方程的关键一步若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在2解题方法(1)求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心

4、连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为yy0；若k0，则结合图形可直接写出切线方程为xx0；若k存在且k0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式可写出切线方程(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程两方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出注意当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况(如典题领悟(2)

5、3常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2；(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2；(3)过圆x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0xy0yr2；(4)过圆(xa)2(yb)2r2(r0)外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.冲关演练1(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay

6、2ab0相切，则C的离心率为()A.B.C. D.解析：选A以线段A1A2为直径的圆的方程为x2y2a2，由原点到直线bxay2ab0的距离da，得a23b2，所以C的离心率e .2(2018湖南四地联考)若圆C：x2y22x4y30关于直线2axby60对称，过点(a，b)作圆的切线，则切线长的最小值是()A2 B3C4 D6解析：选C圆C的标准方程为(x1)2(y2)22，所以圆心为点(1,2)，半径为.因为圆C关于直线2axby60对称，所以圆心C在直线2axby60上，所以2a2b60，即ba3，点(a，b)到圆心的距离d.所以当a2时，d取最小值3，此时切线长最小，为4，所以选C.题

7、点全练角度(一)已知直线与圆的方程求圆的弦长1若a2b22c2(c0)，则直线axbyc0被圆x2y21所截得的弦长为()A.B1C. D.解析：选D因为圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ，所以弦长为.题型技法解决圆的弦长问题的2种方法几何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|2代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB| |yAyB|(其中k0)特别地，当k0时，|AB|xAxB|；当斜率不存在时，|AB|yAyB|角度(二)已知圆的弦长求直线

8、和圆的方程中的参数2已知圆C：(x1)2(y2)22截y轴所得线段与截直线y2xb所得线段的长度相等，则b()A BC D解析：选D记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，|CA|CB|可知，圆心C(1,2)到直线2xyb0的距离也等于1才符合题意，于是1，解得b.3(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_解析：圆C：x2y22ay20化为标准方程为x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r，因为|AB|2，点C到直线yx2a的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为2

9、24.答案：4题型技法1解题突破口当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形是解决此类问题的突破口2常用结论当直线与圆相交时，讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型，此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用：(1)垂直于弦的直径平分这条弦；(2)圆心与弦的中点连线垂直于这条弦；(3)d22r2.3常用方法在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“点差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，由得k.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题题“根”探求求解与圆有关的弦长问题，其关键是建立半径、半弦、弦心距之间的关系，其解题

10、流程为：确定圆心求圆心到直线的距离d建立方程r2d22.冲关演练1(2017全国卷)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为()A2 B.C. D.解析：选A依题意，双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为bxay0.因为直线bxay0被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，所以，所以3a23b24b2，所以3a2b2，所以e2.2若直线l：xym与曲线C：y有且只有两个公共点，则m的取值范围是_解析：画出图象如图，当直线l经过点A，B时，m1，此时直线l与曲线y有两个公共点，当直线l与曲线相切时，m，因此当1m时，直线l：xym与曲线y有

11、且只有两个公共点答案：1，)3(2017全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值解：(1)不能出现ACBC的情况，理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立可得所以过A，B，

12、C三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为2 3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值圆与圆的位置关系是每年高考的重点，主要考查两圆位置关系的判断或已知两圆位置关系求参数，题型多为选择题，难度适中，属于中低档题.典题领悟已知圆C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r24，两圆圆心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，|r1r2|d0，a2.圆M的方程为x2y24y0，

13、即x2(y2)24，圆心M(0,2)，半径r12.又圆N：(x1)2(y1)21，圆心N(1,1)，半径r21，|MN|.r1r21，r1r23,1|MN|r2，且圆心到直线axbyr2的距离为d，则d0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A3 B.C2 D2解析：选D圆C：x2y22y0的圆心为(0,1)，半径r1.由圆的性质，知S四边形PACB2SPBC.四边形PACB的最小面积是2，SPBC的最小值为1，则rdmin1(d是切线长)，dmin2.圆心到直线的距离就是PC的最小值，|PC|min.k0，k2.故

14、选D.7圆x2y250与圆x2y212x6y400的公共弦的长度为_解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2xy150，原点到该直线的距离为d3，则公共弦的长度为222.答案：28已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，则点A的横坐标的取值范围为_解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当BAC60时，MA4.设A(x，6x)，所以(x1)2(6x1)216，解得x1或x5，因此点A的横坐标的取值范围为1,5答案：1,59已知直线xya0与圆心为C的圆x2y22x4y40相交

15、于A，B两点，且ACBC，则实数a的值为_解析：由x2y22x4y40得(x1)2(y2)29，所以圆C的圆心坐标为C(1,2)，半径为3，由ACBC，可知ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线xya0的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得a0或a6.答案：0或610在圆C：x2y22x2y70上总有四个点到直线l：3x4ym0的距离是1，则实数m的取值范围是_解析：圆的标准方程为(x1)2(y1)29.若圆上有四个点到直线3x4ym0的距离是1，则圆心到直线的距离小于2，即d2，解得17m3.答案：(17,3)B级中档题目练通抓牢1已知圆心(a，b)(a0，b0)，则解得

16、所以圆的方程为(x2)2(y3)29.故选B.2已知圆C：(x)2(y1)21和两点A(t,0)，B(t,0)(t0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则实数t的最小值为()A4 B3C2 D1解析：选D由APB90得，点P在圆x2y2t2上，因此由两圆有交点得|t1|OC|t1|t1|2t11t3，即t的最小值为1.3已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,3)，B(2，1)，C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为()Ax2y21Bx2y24Cx2y2Dx2y21或x2y237解析：选D如图所示，因为A(2,3)，B(2，1)，C(6，1)过A，C的直线方程为

17、，化为一般式为x2y40.点O到直线x2y40的距离d1，又|OA|，|OB|，|OC|.以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，圆的半径分别为1或，则圆的方程为x2y21或x2y237.4(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.解析：由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2，得2()212，解得m.又直线l 的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE.在RtCDE中

18、，可得|CD|24.答案：45设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45，则x0的取值范围是_解析：由题意可知M在直线y1上运动，设直线y1与圆x2y21相切于点P(0,1)当x00，即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(1，0)符合要求；当x00时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有OMNOMP，故要存在OMN45，只需OMP45.特别地，当OMP45时，有x01.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为1,1答案：1,16已知圆C经过点A(2，1)，和直线xy1相切，且圆心在直线y2x上(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆

19、C截得的弦长为2，求直线l的方程解：(1)设圆心的坐标为C(a，2a)，则.化简，得a22a10，解得a1.C(1，2)，半径r|AC|.圆C的方程为(x1)2(y2)22.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，由题意得1，解得k，直线l的方程为yx，即3x4y0.综上所述，直线l的方程为x0或3x4y0.7已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若|OM|ON|，求圆C的方程解：(1)证明

20、：由题意知圆C过原点O，半径r|OC|.又|OC|2t2，设圆C的方程为(xt)22t2.令y0，得x10，x22t，则A(2t,0)令x0，得y10，y2，则B.SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)|OM|ON|，|CM|CN|，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC，直线OC的方程为yx.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，r|OC|，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4不相交圆C的方程为(x2)2(y1)25.C级重难题目自主选做1已知点G(5,4)，圆C1：(x1)2(y4)225，过点G的动直线l与圆C1相交于E，F两点，线段

21、EF的中点为C，且C在圆C2上(1)若直线mxny10(mn0)经过点G，求mn的最大值；(2)求圆C2的方程；(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M.l1与l2：x2y20的交点为N，求证：|AM|AN|为定值解：(1)点G(5,4)在直线mxny10上，5m4n1,5m4n2(当且仅当5m4n时取等号)，180mn，即mn，(mn)max.(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4)，半径为5，设C(x，y)，则(x1，y4)，(5x,4y)，由题设知0，(x1)(5x)(y4)(4y)0，即(x3)2(y4)24，C2的方程是(x3)2(y4)24.(3

22、)证明：当直线l1的斜率不存在时，直线l1与圆C2相切，当直线l1的斜率为0时，直线l1与圆C2相离，故设直线l1的方程为kxyk0(k0)由直线l1与圆C2相交，得.由得N，又直线C2M与l1垂直，由得M，|AM|AN| 6(定值)2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|OA|，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围解：圆M的标准方程为(x

23、6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.因为|BC|OA|2，而MC2d22，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)因为A(2,4)，T(t,0)，所以因为点Q在圆M上，所以(x26)2(y27)225. 将代入，

24、得(x1t4)2(y13)225.于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，所以55 55，解得22t22.因此，实数t的取值范围是22，22 (二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1若直线l：ykx1(k0)与圆C：x24xy22y30相切，则直线l与圆D：(x2)2y23的位置关系是()A相交B相切C相离 D不确定解析：选A因为圆C的标准方程为(x2)2(y1)22，所以其圆心坐标为(2,1)，半径为，因为直线l与圆C相切所以，解得k1，因为k0，所以k1，所以直线l的方程为xy10.圆心

25、D(2,0)到直线l的距离d，所以直线l与圆D相交2直线y1k(x3)被圆(x2)2(y2)24所截得的最短弦长等于()A. B2C2 D.解析：选C直线y1k(x3)过定点M(3,1)，此点在圆内，圆(x2)2(y2)24的圆心为C(2,2)，半径为r2，弦长最短时，直线与CM垂直，|CM|，则最短弦长l222.故选C.3一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或 B或C或 D或解析：选D点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，故可设反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.反射光线与圆(x3)2(y2)21相

26、切，圆心(3,2)到直线的距离d1，化简得24k250k240，解得k或.4在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2y22x30相交于A，B两点，则ABC面积的最大值是()A2 B4C. D2解析：选A过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2y22x30相交于A，B两点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为x0，在y轴上所截得的线段长为d22，所以SABC21.当直线的斜率存在时设圆心到直线的距离为d，则所截得的弦长l2.所以SABC2d2，当且仅当d时成立所以ABC面积的最大值为2.5已知AC，BD为圆O：x2y24的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，)，则四边形ABCD面

27、积的最大值为()A5 B10C15 D20解析：选A如图，作OPAC于P，OQBD于Q，则|OP|2|OQ|2|OM|23，|AC|2|BD|24(4|OP|2)4(4|OQ|2)20.又|AC|2|BD|22|AC|BD|，则|AC|BD|10，S四边形ABCD|AC|BD|105，当且仅当|AC|BD|时等号成立，四边形ABCD面积的最大值为5.故选A.6若圆B：x2y2b0与圆C：x2y26x8y160没有公共点，则实数b的取值范围是_解析：圆B的圆心B(0,0)，半径R，圆C的圆心C(3，4)，半径r3，根据两点间距离公式，得|BC|5.由题意两圆相离或相内含，当两圆相离时，有|BC|

28、Rr，即2，解得4b0；当两圆相内含时，有|BC|8，解得b64，综上，实数b的取值范围为(，64)(4,0)答案：(，64)(4,0)7已知直线l1：x2ya2和直线l2：2xy2a1分别与圆(xa)2(y1)216相交于A，B和C，D，则四边形ACBD的内切圆的面积为_解析：因为直线l1：x2ya2和直线l2：2xy2a1互相垂直且交于点(a,1)，而(a,1)恰好是圆(xa)2(y1)216的圆心，所以四边形ACBD是边长为4的正方形，因此其内切圆半径是2，面积是8.答案：88(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D

29、两点若|AB|2，则|CD|_.解析：由直线l：mxy3m0知其过定点(3，)，圆心O到直线l的距离为d.由|AB|2，得2()212，解得m.又直线l 的斜率为m，所以直线l的倾斜角.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CEBD，则DCE.在RtCDE中，可得|CD|24.答案：49已知圆C经过点A(2，1)，和直线xy1相切，且圆心在直线y2x上(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程解：(1)设圆心的坐标为C(a，2a)，则.化简，得a22a10，解得a1.C(1，2)，半径r|AC|.圆C的方程为(x1)2(y2)22.(2)当直线l的斜率

30、不存在时，直线l的方程为x0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，由题意得1，解得k，直线l的方程为yx，即3x4y0.综上所述，直线l的方程为x0或3x4y0.10已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若|OM|ON|，求圆C的方程解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，半径r|OC|.又|OC|2t2，设圆C的方程为(xt)22t2.令y0，得x10，x22t，则A(2t,0)令x0，得y10，y2，则B.SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)|OM|ON|，|CM|CN|，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC，直线OC的方程为yx.t，解得t2或t2.