lingo教程 有图.ppt

1、A,1,LINGO软件,Hanguang Xiao Chongqing University of Technology,2,A,主要内容,LINGO软件 LINGO中建模语言（集合、运算符和函数等） LINGO编程实例 露天矿生产的车辆安排,3,A,LINGO软件,（1）美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage（莱纳斯.施拉盖 ）教授于1980年前后开发。 （2） LINGO: Linear Interactive General Optimizer (线性交互式通用优化器)。 （3）用来求解的优化模型（连续优化和整数规划（IP）。 类型：线性规划（LP）、二次规划(QP

2、)、非线性规划(NLP)。,4,A,LINDO/LINGO软件能求解的模型,优化,线性规划,非线性规划,二次规划,连续优化,整数规划,LINDO,LINGO,5,A,学习LINGO需掌握的方面,LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V12.0) 求解数学规划问题 Min Z = f (x) s.t x D ( Rn ) 需要掌握： 软件操作 基本语法结构 掌握集合(SETS)的应用 正确阅读求解报告 正确理解求解状态窗口 学会设置基本的求解选项(OPTIONS),6,A,LINGO软件界面,7,A,LINGO软件菜单FILE,1新建（New）

3、 单击“新建”按钮或直接按F2键可以创建一个新的“Model”窗口。在这个新的“Model”窗口中能够输入所要求解的模型。 2 打开（Open） 单击“打开”按钮或直接按F3键可以打开一个已经存在的文本文件。这个文件可能是一个Model文件。 3 保存(Save) 单击“保存”按钮或直接按F4键用来保存当前活动窗口（最前台的窗口）中的模型结果、命令序列等保存为文件。 4 另存为(Save As) “另存为”命令或按F5键可以将当前活动窗口中的内容保存为文本文件，其文件名为你在“另存为”对话框中输入的文件名。利用这种方法你可以将任何窗口的内容如模型、求解结果或命令保存为文件。 5 关闭（Clos

4、e） 在文件菜单中选用“关闭”(Close)命令或按F6键将关闭当前活动窗口。如果这个窗口是新建窗口或已经改变了当前文件的内容，LINGO系统将会提示是否想要保存改变后的内容 6 打印(Print) “打印” (Print)命令、单击“打印”按钮或直接按F7键可以将当前活动窗口中的内容发送到打印机 7 打印设置(Print Setup) “打印设置”命令或直接按F8键可以将文件输出到指定的打印机。 8 打印预览(Print Preview) “打印预览”命令或直接按Shift+F8键可以进行打印预览。 9 输出到日志文件(Log Output) 从文件菜单中选用“Log Output”命令或按

5、F9键打开一个对话框，用于生成一个日志文件，它存储接下来在“命令窗口”中输入的所有命令。 10提交LINGO命令脚本文件(Take Commands) “Take Commands”命令或直接按F11键就可以将LINGO命令脚本（command script）文件提交给系统进程来运行。 11引入LINGO文件(Import Lingo File) 从文件菜单中选用“Import Lingo File”命令或直接按F12键可以打开一个LINGO格式模型的文件，然后LINGO系统会尽可能把模型转化为LINGO语法允许的程序。 12退出（Exit） 从文件菜单中选用“Exit”命令或直接按F10键可

6、以退出LINGO系统。,8,A,LINGO软件菜单EIDT,1 恢复(Undo) 从编辑菜单中选用“恢复”（Undo）命令或按Ctrl+Z组合键，将撤销上次操作、恢复至其前的状态。 2 剪切(Cut) 从编辑菜单中选用“剪切”（Cut）命令或按Ctrl+X组合键可以将当前选中的内容剪切至剪贴板中。 3 复制(Copy) 从编辑菜单中选用“复制”（Copy）命令、单击“复制”按钮或按Ctrl+C组合键可以将当前选中的内容复制到剪贴板中。 4 粘贴(Paste) 从编辑菜单中选用“粘贴”（Paste）命令、单击“粘贴”按钮或按Ctrl+V组合键可以将粘贴板中的当前内容复制到当前插入点的位置。 5

7、粘贴特定.（Paste Special。） 与上面的命令不同，它可以用于剪贴板中的内容不是文本的情形. 6 全选(Select All) 从编辑菜单中选用“Select All”命令或按Ctrl+A组合键可选定当前窗口中的所有内容。 7 匹配小括号(Match Parenthesis) 从编辑菜单中选用“Match Parenthesis”命令、单击“Match Parenthesis”按钮或按Ctrl+P组合键可以为当前选中的开括号查找匹配的闭括号。 8 粘贴函数(Paste Function) 从编辑菜单中选用“Paste Function”命令可以将LINGO的内部函数粘贴到当前插入点。

8、,9,A,LINGO软件菜单LINGO,1 求解模型（Slove） 从LINGO菜单中选用“求解”命令、单击“Slove”按钮或按Ctrl+S组合键可以将当前模型送入内存求解。 2 求解结果（Solution） 从LINGO菜单中选用“Solution”命令、单击“Solution”按钮或直接按Ctrl+O组合键可以打开求解结果的对话框。这里可以指定查看当前内存中求解结果的那些内容。 3灵敏性分析（Range，Ctrl+R） 用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解

9、模型时灵敏性分析是激活状态，但是默认是不激活的。为了激活灵敏性分析，运行LINGO|Options，选择General Solver Tab， 在Dual Computations列表框中，选择Prices and Ranges选项。灵敏性分析耗费相当多的求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它。 4选项（Options） 从LINGO菜单中选用“Options”命令、单击“Options”按钮或直接按Ctrl+I组合键可以改变一些影响LINGO模型求解时的参数。该命令将打开一个含有7个选项卡的窗口，你可以通过它修改LINGO系统的各种参数和选项。 5 模型通常形式（Generate）

10、从LINGO菜单中选用“Generate”命令或直接按Ctrl+G组合键可以创建当前模型的代数形式、LINGO模型或MPS格式文本。 6. 图片（Picture） 7. 调试（Debug） 8. 模型统计（Model Statistics） 6查看（Look） 从LINGO菜单中选用“Look”命令或直接按Ctrl+L组合键可以查看全部的或选中的模型文本内容。,10,A,LINGO软件菜单WINDOW,1 命令行窗口（Open Command Window） 从窗口菜单中选用“Open Command Window”命令或直接按Ctrl+1可以打开LINGO的命令行窗口。在命令行窗口中可以获得

11、命令行界面，在“:”提示符后可以输入LINGO的命令行命令。 2 状态窗口（Status Window） 从窗口菜单中选用“Status Window”命令或直接按Ctrl+2可以打开LINGO的求解状态窗口。 回到模型窗口（Sent To Back） Ctrl+B 关闭所有窗口（Close All） Ctrl+3 并行放置窗口 (Tile) Ctrl+4 层叠放置窗口（Cascade） Ctrl+5 放置图标(Arrange Icons) Ctrl+6,11,A,LINGO软件菜单HELP,1 帮助主题（Help Menu） 从帮助菜单中选用“Help Menu”可以打开LINGO的帮助文件

12、。 注册信息（Register） 填写注册信息。 自动更新（AutoUptate） 自动升级。 2 关于LINGO(About Lingo) 关于当前LINGO的版本信息等。,A,12,打开文件：F3,打印文件：F7,复制：Ctrl+C,取消操作：Ctrl+Z,查找：Ctrl+F,显示解答:Alt+O,匹配括号:Ctrl+P,选项设置: Ctrl+I,关闭所有窗口:Alt+X,在线帮助:F1,新建文件：F2,保存文件：F4,剪切：Ctrl+X,粘贴：Ctrl+V,恢复操作：Ctrl+Y,定位某行：ctrl+T,求解模型:Ctrl+S,模型图示:Ctrl+K,窗口后置:Ctrl+B,平铺窗口:A

13、lt+T,上下文相关的帮助,LINGO软件工具栏,A,13,LINGO软件文件保存类型,A,14,Variables（变量数量）： 变量总数（Total）、 非线性变量数（Nonlinear）、 整数变量数（Integer）。,Constraints（约束数量）： 约束总数（Total）、 非线性约束个数(Nonlinear)。,Nonzeros（非零系数数量）： 总数（Total）、 非线性项系数个数(Nonlinear)。,Generator Memory Used (K) (内存使用量),Elapsed Runtime (hh:mm:ss)（求解花费的时间）,LINGO软件运行状态窗口的

14、参数解释,A,15,LINGO软件运行状态窗口的参数解释,求解器(求解程序)状态框,当前模型的类型 :LP，QP，ILP，IQP，PILP， PIQP，NLP，INLP，PINLP （以I开头表示IP，以PI开头表示PIP）,当前解的状态 : Global Optimum, Local Optimum, Feasible, Infeasible“(不可行), Unbounded“(无界), Interrupted“(中断), Undetermined“(未确定),解的目标函数值,当前约束不满足的总量(不是不满足的约束的个数):实数（即使该值=0，当前解也可能不可行，因为这个量中没有考虑用上下界

15、命令形式给出的约束）,目前为止的迭代次数,A,16,运行状态窗口,扩展的求解器(求解程序)状态框,使用的特殊求解程序 : B-and-B (分枝定界算法) Global (全局最优求解程序) Multistart(用多个初始点求解的程序),目前为止找到的可行解的最佳目标函数值,目标函数值的界,特殊求解程序当前运行步数： 分枝数(对B-and-B程序)； 子问题数(对Global程序)； 初始点数(对Multistart程序),有效步数,17,A,主要内容,LINGO软件简介 LINGO建模语言（集合、运算符和函数等） LINGO编程实例 露天矿生产的车辆安排,18,A,一个简单的LINGO程序

16、,例 直接用LINGO来解如下二次规划问题：,输入窗口如下：,目标函数,约束条件,变量取整,每个语句以“；”结束,顺序无关,程序: eg1.lg4,19,A,输出结果：,运行菜单命令“LINGO|Solve”,最优整数解 X=(35，65),最大利润=11077.5,一个简单的LINGO程序,A,20,例1 SAILCO公司需要决定下四个季度的帆船生产量。下四个季度的帆船需求量分别是40条，60条，75条，25条，这些需求必须按时满足。每个季度正常的生产能力是40条帆船，每条船的生产费用为400美元。如果加班生产，每条船的生产费用为450美元。每个季度末，每条船的库存费用为20美元。假定生产提

17、前期为0，初始库存为10条船。如何安排生产可使总费用最小？,21,A,集合及其属性,quarters/1,2,3,4/:dem,rp,op,inv;,22,A,LINGO中定义集合及其属性,以“MODEL：”开始,以“END”结束,给出优化目标和约束,程序: eg2.lg4,23,A,目标函数的定义方式,对语句中冒号“：”后面的表达式，按照“：”前面的集合指定的下标（元素）进行求和。,本例中目标函数也可以等价地写成 SUM(QUARTERS(i): 400*RP(i) +450*OP(i) +20*INV(i) ) “SUM”相当于求和符号“”， 由于本例中目标函数对集合QUARTERS的所有

18、元素(下标) 都要求和，所以可以将下标i省去。,SUM(集合（下标）：关于集合的属性的表达式),24,A,约束条件的定义方式,循环函数 FOR(集合(下标)：关于集合的属性的约束关系式),对冒号“：”前面的集合的每个元素（下标），冒号“：”后面的约束关系式都要成立,本例中，每个季度正常的生产能力是40条帆船，这正是语句“FOR(QUARTERS(I):RP(I)=40);”的含义。 这个语句可以简化成“FOR(QUARTERS:RP40);” 。,25,A,问题求解：运行菜单命令“LINGO|SOLVE”,最小成本=78450,26,A,LINGO模型最基本的组成要素,（1）集合段（SETS）

19、：以“ SETS:” 开始， “ENDSETS”结束，定义必要的集合变量（SET）及其元素（MEMBER，含义类似于数组的下标）和属性（ATTRIBUTE，含义类似于数组）。,（2）目标与约束段：目标函数、约束条件等，没有段的开始和结束标记，因此实际上就是除其它四个段(都有明确的段标记)外的LINGO模型。 这里一般要用到LINGO的内部函数，尤其是与集合相关的求和函数SUM和循环函数FOR等。,27,A,LINGO模型最基本的组成要素,（3）数据段(DATA)：以 “DATA:” 开始, “ENDDATA”结束，对集合的属性(数组)输入必要的常数数据。 格式为：“attribute(属性)

20、= value_list(常数列表);” 常数列表(value_list)中数据之间可以用逗号“,”分开，也可以用空格分开(回车等价于一个空格),如上面对DEM的赋值也可以写成“DEM=40 60 75 25；”。,28,A,LINGO模型最基本的组成要素,（4）初始段(INIT)：以“INIT: ”开始， “ENDINIT”结束，对集合的属性(数组)定义初值(因为求解算法一般是迭代算法，所以，如果能给出一个比较好的迭代初值，对提高算法的计算效果是有益的)。 如果有一个接近最优解的初值，对LINGO求解模型是有帮助的。定义初值的格式为： “attribute（属性） = value_list（

21、常数列表）；”,（5）计算段(CALC)：以“CALC: ”开始， “ENDCALC”结束，对一些原始数据进行计算处理。,29,A,基本集合与派生集合,例2 建筑工地的位置(用平面坐标a, b表示，距离单位：公里)及水泥日用量d(吨)下表给出。有两个临时料场位于P (5,1), Q (2, 7),日储量各有20吨。从A, B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。两个新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？,30,A,基本集合与派生集合,建立模型,记工地的位置为 ，水泥日用量为 ；料场位置为 ，日储量为 ；从料场 向工地 的运送量为 。,31,A,基本集合与派生集合,本例中集合

22、的概念,利用集合的概念，可以定义需求点DEMAND和供应点SUPPLY两个集合，分别有6个和2个元素(下标)。,集合的属性相当于以集合的元素为下标的数组。这里的 相当于二维数组。它的两个下标分别来自集合DEMAND和SUPPLY，因此可以定义一个由二元对组成的新的集合，然后将 定义成这个新集合的属性。,link(demand,supply):c;,32,A,基本集合与派生集合,定义了三个集合，其中LINK在前两个集合DEMAND 和SUPPLY的基础上定义,表示集合LINK中的元素就是集合DEMAND 和SUPPLY的元素组合成的有序二元组， 从数学上看LINK是DEMAND 和SUPPLY的

23、笛卡儿积，也就是说 LINK=（S，T）|SDEMAND，TSUPPLY 因此，其属性C也就是一个6*2的矩阵（或者说是含有12个元素的二维数组）。,LINGO建模语言也称为矩阵生成器（MATRIX GENERATOR）。类似DEMAND 和SUPPLY直接把元素列举出来的集合，称为基本集合(primary set),而把LINK这种基于其它集合而派生出来的二维或多维集合称为派生集合(derived set)。由于是DEMAND 和SUPPLY生成了派生集合LINK，所以DEMAND 和SUPPLY 称为LINK的父集合。,程序: eg3.lg4,33,A,基本集合与派生集合,初始段,LING

24、O对数据是按列赋值的 语句的实际赋值顺序是 X=(5,2), Y=(1,7), 而不是X=(5,1), Y=(2,7) 等价写法： “X=5,2； Y=1,7；”,同理，数据段中对常数数组A，B的赋值语句也可以写成 A, B=1.25 1.25 8.75 0.75 0.5 4.75 5.75 5 3 6.5 7.25 7.75；,34,A,基本集合与派生集合,35,A,基本集合与派生集合,解答:运行菜单命令“LINGO|Solve”,局部最优解X(1)=7.249997， X(2)=5.695940，Y(1)=7.749998， Y(2)=4.928524，C（略）， 最小运量=89.8835

25、(吨公里)。,问题:最小运量89.8835是不是全局最优,使用“LINGO|Options”菜单命令打开选项对话框，在“Global Solver”选项卡上选择“Use Global Solver”, 激活全局最优求解程序。,36,A,基本集合与派生集合,问题:最小运量89.8835是不是全局最优,为减少计算工作量，对X，Y的取值再做一些限制。虽然理论上新建料场的位置可以是任意的，但显然最佳的料场位置不应该离工地太远，至少不应该超出现在6个工地所决定的坐标的最大、最小值决定的矩形之外，即: 0.5=x=8.75, 0.75=y=，大于等于) (在优化模型中约束一般没有严格小于、严格大于关系),

26、A,52,运算符的优先级,53,A,基本的数学函数,ABS(X)：绝对值函数，返回X的绝对值。 COS(X)：余弦函数，返回X的余弦值（X的单位是弧度）。 EXP(X)：指数函数，返回,FLOOR(X)：取整函数，返回X的整数部分(向最靠近0的方向取整)。 LGM(X) ：返回X的伽玛(gamma)函数的自然对数值(当X为整数时 LGM(X) = LOG(X-1)！； 当X不为整数时，采用线性插值得到结果)。 LOG(X)：自然对数函数，返回X的自然对数值。,的值(其中e=2.718281.)。,MOD(X,Y)：模函数，返回X对Y取模的结果，即X除以Y的余数， 这里X和Y应该是整数。 POW

27、(X,Y)：指数函数，返回XY的值。,54,A,基本的数学函数,SIGN(X)：符号函数，返回X的符号值（X = 0时返回+1）。 SIN(X)：正弦函数，返回X的正弦值（X的单位是弧度）。 SMAX(list)：最大值函数，返回一列数(list)的最大值。 SMIN(list)：最小值函数，返回一列数(list)的最小值。 SQR(X)：平方函数，返回X的平方（即X*X）的值。 SQRT(X)：开平方函数，返回X的正的平方根的值。 TAN(X)：正切函数，返回X的正切值（X的单位是弧度）。,55,A,集合循环函数,FOR(集合元素的循环函数)： 对集合setname的每个元素独立地生成表达式

28、，表达式由expression_list描述（通常是优化问题的约束）。 MAX (集合属性的最大值函数) ：返回集合setname上的表达式的最大值。 MIN (集合属性的最小值函数) ：返回集合setname上的表达式的最小值。 PROD (集合属性的乘积函数) ： 返回集合setname上的表达式的积。 SUM(集合属性的求和函数):返回集合setname上的表达式的和。,56,A,集合操作函数,INDEX( set_name, primitive_set_element) 给出元素primitive_set_element在集合set_name中的索引值(即按定义集合时元素出现顺序的位置

29、编号)。省略set_name，LINGO按模型中定义的集合顺序找到第一个含有该元素的集合，并返回索引值。如果没有找到该元素，则出错。,IN( set_name, primitive_index_1 , primitive_index_2 .) 判断一个集合中是否含有某个索引值。如果集合set_name中包含由索引primitive_index_1 , primitive_index_2 .所对应元素，则返回1(逻辑值“真”)，否则返回0(逻辑值“假”)。,WRAP(I,N) 此函数对N1无定义 当I位于区间1, N内时直接返回I；一般地，返回 J = I - K *N , 其中J位于区间1,

30、N ， K为整数。,SIZE (set_name) 返回数据集set_name中包含元素的个数。,57,A,变量定界函数,BND(L, X, U) ：限制L =70; x2+x3=60; x3+x4=50; x4+x5=20; x5+x6=30; END,得到的解为:,配备的司机和乘务人员最少为150人.,x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5=30,x6=0;,A,64,例2. 某地区有三个农场共用一条灌渠，每个农场的可灌溉地及分配到的最大用水量如下表：,各农场均可种植甜菜、棉花和高粱三种作物，各种作物的用水量、净收益及国家规定的该地区各种作物种植总面积最高限额如下表：,三个农场

31、达成协议，他们的播种面积与其可灌溉面积相等，而各农场种何种作物并无限制.问如何制定各农场种植计划才能在上述限制条件下，使本地区的三个农场的总净收益最大.,A,65,解,设农场1种植的甜菜、棉花和高粱分别为,亩，农场2种植的甜菜、棉花和高粱分别为,设三个农场可耕地分别为,其最大用水量分别为,其甜菜、棉花和高粱的种植限额分别为,A,66,根据题目条件，可建立如下线性模型：,其净收益分别为,其耗水量分别为,A,67,LINGO编程如下：,MODEL: SETS: place/1.3/:a,b; kind/1.3/:c,d,e; plan(place,kind):x; ENDSETS DATA: a=

32、400,600,300; b=600,800,375; c=600,500,325; d=3,2,1; e=400,300,100; ENDDATA max=sum(kind(j):e(j)*sum(place(i):x(i,j); for(kind(j):sum(place(i):x(i,j)=c(j); for(place(i):sum(kind(j):x(i,j)=a(i); for(place(i):sum(kind(j):d(j)*x(i,j)=b(i); END,A,68,得到结果如下：,X(1,1)=0,X(1,2)=300,X(1,3)=0 X(2,1)=258.3333,X(

33、2,2)=12.5,X(2,3)=0 X(3,1)=0,X(3,2)=187.5,X(3,3)=0,最大总净收益为253333.3元.,对本题来说，由于数据少，可以不采用数组形式，而直接采用变量表示，建立模型如下：,亩.,设农场1种植的甜菜、棉花和高粱分别为,亩，农场2种植的甜菜、棉花和高粱分别为,亩，农场3种植的甜菜、棉花和高粱分别为,A,69,根据题目条件，可建立如下线性模型：,A,70,LINGO程序如下：,MODEL: max=400*(x1+x2+x3)+300*(y1+y2+y3)+100*(z1+z2+z3); x1+x2+x3=600; y1+y2+y3=500; z1+z2+

34、z3=325; x1+y1+z1=400; x2+y2+z2=600; x3+y3+z3=300; 3*x1+2*y1+z1=600; 3*x2+2*y2+z2=800; 3*x3+2*y3+z3=1; !至少有一名后卫上场; x(1)+x(4)+x(6)=2; !如果1号和4号上场，则6号不上场; x(2)+x(8)=x(1); !若选择任务1，必须同时选择任务2; x(3)+x(4)=1; !任务3和任务4不能同时选择; FOR(mat(i):BIN(x(i); !使各变量为0-1变量; END,解为：x(1)=1,x(2)=1,x(3)=1,x(4)=0,x(5)=0. 选择设计任务1,

35、2,3，最大报酬为35万元.,LINGO程序如下：,A,85,例6. 固定费用,有四种资源A,B,C,D被用于生产三种产品I, II,单耗量及组织三种商品生产的固定费用见下表.现要,求制定一个生产计划，使总收益最大.,A,86,解,可引入用0-1变量来解决是否需要固定费用问题.,A,87,第I种产品销售一件可收入7-4=3元，第II种产品,销售一件可收入10-6=4元，第III种产品销售一件可,收入20-12=8元.,则问题的整数规划模型为：,A,88,.,A,89,LINGO程序.,MODEL: DATA: M=150; ENDDATA max=3*x1+4*x2+8*x3-100*y1-1

36、50*y2-200*y3;!目标函数; 2*x1+4*x2+8*x3=500; 2*x1+3*x2+4*x3=300; x1+2*x2+3*x3=100; 3*x1+5*x2+7*x3=700; x1=M*y1; x2=M*y2; x3=M*y3; GIN(x1);GIN(x2);GIN(x3); !指定产品件数为整数; BIN(y1);BIN(y2);BIN(y3); !指定0-1变量; end,最大值为Z=200元.,A,90,例7. 某企业和用户签定了设备交货合同，已知该,企业各季度的生产能力、每台设备的生产成本和每,季度末的交货量见下表，若生产出的设备当季度不,交货，每台设备每季度需要

37、支付保管费0.1万元，试,问在遵守合同的条件下，企业应如何安排生产计划，,才能使年消耗费用最低？,A,91,解法1,A,92,LINGO程序如下：,MODEL: SETS: QUART/1.4/:x,y,p,d,c; ENDSETS DATA: !指定数据; p=25,35,30,20; d=15,20,25,20; c=12.0,11.0,11.5,12.5; ENDDATA min=sum(QUART(i):c(i)*x(i)+0.1*y(i); !目标函数; FOR(QUART(i):x(i)=p(i); !生产能力限制; FOR(QUART(i)|i#GT#1:y(i)=y(i-1)+

38、x(i)-d(i); y(1)=x(1)-d(1); end,得到的结果如下：,x1=15，x2=35，x3=30，x4=0；y1=0，y2=15， y3=20，y4=0.,年消耗最小费用为913.5万元.,A,93,解法2,下面条件：,根据交货量的规定，应满足如下条件：,其值如下表：,A,94,则该模型表示如下：,A,95,LINGO程序如下：,MODEL: SETS: QUART/1.4/:p,d; LINK(QUART,QUART)| End,A,96,得到的结果如下：,年消耗最小费用为913.5万元.,为0台，与前面方法得到的结果一样.其最小费用也,可以看出，第1季度生产量为15台，第2季度生产,量为35台，第3季度生产量为30台，第4季度生产量,一样.,A,97,例8. 旅行售货商问题(TSP问题),设有一个售货员从10个城市中的某一个城市出发，,去其它9个城市推销产品. 10个城市相互距离如下表.,要求每个城市到达一次仅一次后，回到原出发城市.,回到原出发城市.问他应如何选择旅行路线，使