2019年山东省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)(解析版)

1、20192019 年山东省高考数学试卷（理科）年山东省高考数学试卷（理科） （全国新课标）（全国新课标） 一、选择题（本大题共 1212小题，共 60.060.0分） 2 1.已知集合 M=x|-4x2，N=x|x -x-60，则 MN=（） A.B.C. 2.设复数 z 满足|zi|1，z在复平面内对应的点为（x，y），则( ) D. D. D. A.B.C. C. 0.20.3 3.已知 a=log20.2，b=2，c=0.2，则（） A.B. 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此 此外，

2、最美人体 的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割 A. B. C. D. 记 Sn为等差数列an的前 n 项和已知 S 40，a55，则（ ）9. 比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm 5.函数 f（x）=在-，的图象大致为（） A.B.C.D. A.B. B两点.若 ，过F2的直线与C交于A，10.已知椭圆C的焦点为， 则 C 的方程为（） A.B.C.D. 11. 关于函数 f（x）sin|x|sinx|，有下述四个结论： f（x）是偶函数f（x

3、）在区间（ ，）上单调递增 C.D. f（x）在，上有 4个零点f（x）的最大值是 2 其中所有正确结论的编号是 6.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻 组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦 在所有重卦中随机取一重 卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是（） A.B.C.D. A. A. 8.如图是求 B. B. C. C. D. D. ，|=2|-与7.已知非零向量满足|，且（） ，则的夹角为（） 12. 已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PAPBPC， ABC 是边长为 2 的正三角形，E， F 分别是 PA，AB的中点，CE

4、F90，则球 O的体积为（） A.B.C.D. 二、填空题（本大题共4 4 小题，共 20.020.0分） 13. 曲线 y3（x2x）ex在点（0，0）处的切线方程为_ 14. 记 Sn为等比数列an的前 n 项和，若 ，则 S5_ 的程序框图，图中空白框中应填入（） 15. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据 前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取 胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是_ 第 1 页，共 10 页 16. 已知双曲线 C： -=1（a0，

5、b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与 C 的两条渐近线分 = 别交于 A，B 两点若， =0，则 C的离心率为_ 三、解答题（本大题共7 7 小题，共 82.082.0分） 17.ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c设（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC （1）求 A； （2）若a+b=2c，求 sinC 20. 已知函数 f（x）=sinx-ln（1+x），f（x）为 f（x）的导数证明： （1）f（x）在区间（-1， ）存在唯一极大值点； （2）f（x）有且仅有 2 个零点 E，M， N分别是 BC，18. 如图， 直四棱柱 ABCDA1B1C

6、1D1的底面是菱形， AA14，AB2， BAD60 BB1，A1D的中点 21. 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多 4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验， 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则

7、两种药均得0 分甲、 乙两种药的治愈率分别记为和 ，一轮试验中甲药的得分记为X （1）求 X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，pi（i=0，1，8）表示“甲药的累计得分为i时，最 p8=1， pi=api-1+bpi+cpi+12，7）终认为甲药比乙药更有效”的概率， 则 p0=0，（i=1， ， ， 其中 a=P （X=-1） ， b=P（X=0），c=P（X=1）假设 =0.5，=0.8 （i）证明：pi+1-pi（i=0，1，2，7）为等比数列； （ii）求 p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 AMA1

8、N的正弦值 19. 已知抛物线 C：y2=3x的焦点为 F，斜率为 的直线 l与 C 的交点为 A，B，与 x轴的交点为 P （1）若|AF|+|BF|=4，求 l的方程； =3 （2）若，求|AB| ， t为参数）以坐标原点O为极点，x 轴的（22.在直角坐标系 xOy中，曲线 C 的参数方程为 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2cos+sin+11=0 （1）求 C和 l的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l距离的最小值 第 2 页，共 10 页 23. 已知 a，b，c为正数，且满足 abc=1证明： 222 （1） + + a +b +c ； 333 （2）（a+

9、b） +（b+c） +（c+a） 24 第 3 页，共 10 页 答案和解析 1.【答案】C 【解析】 解：M=x|-4x2，N=x|x2-x-60=x|-2x3， MN=x|-2x2 故选：C 利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出 本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题 2.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基础题 由 z 在复平面内对应的点为（x，y），可得 z=x+yi，然后根据|z-i|=1即可得解 【解答】 解：z 在复平面内对应的点为（x，y）， z=x+yi， z-i=x+（y-1）i， |

10、z-i|= ， x 2+（y-1）2=1， 故选：C 3.【答案】B 【解析】 解：a=log20.2log21=0， b=20.220=1， 00.20.30.20=1， c=0.20.3（0，1）， acb， 故选：B 由指数函数和对数函数的单调性易得 log20.20，20.21，00.20.31，从而得出 a，b，c的大 小关系 本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，属基础题 4.【答案】B 【解析】 解：头顶至脖子下端的长度为 26cm， 说明头顶到咽喉的长度小于 26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是0.618， 可得咽喉至肚脐的长度小于42c

11、m， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是， 可得肚脐至足底的长度小于=110， 即有该人的身高小于 110+68=178cm， 又肚脐至足底的长度大于 105cm， 可得头顶至肚脐的长度大于 1050.61865cm， 即该人的身高大于 65+105=170cm， 故选：B 充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高 本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题 5.【答案】D 【解析】 解：f（x）=，x-， f（-x）=- =-f（x）， f（x）为-，上的奇函数，因此排除 A； 又 f（）=，因此排除 B，C； 故选：D 第 4 页，共 10 页 由 f（x）

12、的解析式知 f（x）为奇函数可排除 A，然后计算 f（），判断正负即可排除 B，C 本题考查了函数的图象与性质，解题关键是奇偶性和特殊值，属基础题 6.【答案】A 【解析】 解：在所有重卦中随机取一重卦， 6 基本事件总数 n=2 =64， 8.【答案】A 【解析】 解：模拟程序的运行，可得： A=，k=1； 满足条件 k2，执行循环体，A= 满足条件 k2，执行循环体，A= ，k=2； ，k=3； 该重卦恰有 3 个阳爻包含的基本个数 m= 则该重卦恰有 3 个阳爻的概率 p= 故选：A = =20， 此时，不满足条件 k2，退出循环，输出 A的值为 观察 A的取值规律可知图中空白框中应填入

13、 A= =20，由此能求出该重卦 故选：A 模拟程序的运行，由题意，依次写出每次得到的 A的值，观察规律即可得解 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论， ， 6 基本事件总数 n=2 =64，该重卦恰有 3个阳爻包含的基本个数 m= 恰有 3 个阳爻的概率 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 7.【答案】B 【解析】 解：（ = -）， ， 是基础题 9.【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，设等差数列an的公差为 d，则有 式和前 n 项和即可 本题考查等差数列的通项公式以及前 n项和公式，关键是求

14、出等差数列的公差以及首项，属于 ， 基础题 【解答】 解：设等差数列an的公差为 d， 由 S4=0，a5 =5， ，求出首项和公差，然后求出通项公 = =， 故选：B 由（ 可 本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属基础题 -），可得，进一步得到，然后求出夹角即 得 ， ， 第 5 页，共 10 页 a n=2n-5， 故选：A 10.【答案】B 【解析】 ，误. 当 sin|x|=1，|sinx|=1时，f（x）取得最大值 2，故正确， 故正确的结论是， 故选 C 根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以

15、及利用三角函数的性 质是解决本题的关键 12.【答案】D 【解析】 解：如图， 解：|AF2|=2|BF2|，|AB|=3|BF2 |， 又|AB|=|BF1|，|BF1|=3|BF2 |， 又|BF1|+|BF2|=2a，|BF2|= ， |AF2|=a，|BF1|= a， 在 Rt AF2O中，cosAF2O=， 在 BF1F2中，由余弦定理可得 cosBF2F1= 根据 cosAF2O+cosBF2F1=0，可得+ b2=a2-c2=3-1=2 所以椭圆 C 的方程为： 故选：B 根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得 a= 本题考查了椭圆的性质，属中档题 11.【答案】C 【解析】 解

16、：f（-x）=sin|-x|+|sin（-x）|=sin|x|+|sinx|=f（x），则函数 f（x）是偶函数，故正确. 当 x（，）时，sin|x|=sinx，|sinx|=sinx， 则 f（x）=sinx+sinx=2sinx 为减函数，故错误. 当 0x 时，f（x）=sin|x|+|sinx|=sinx+sinx=2sinx， 由 f（x）=0得 2sinx=0,得 x=0 或 x=， 由f（x）是偶函数，得在-，）上还有一个零点x=-，即函数f（x）在-，上有3个零点，故错 ，b=，可得椭圆的方程 +=1 ， =0，解得 a2=3，a= 由 PA=PB=PC，ABC是边长为 2的

17、正三角形可知，三棱锥 P-ABC为正三棱锥， 则顶点 P 在底面的射影 O为底面三角形的中心.连接 BO并延长，交 AC 于 G， 则 ACBG，又 POAC，POBG=O，可得 AC平面 PBG，则 PBAC. E，F 分别是 PA，AB 的中点，EFPB. 又CEF=90，即 EFCE，PBCE，得 PB平面 PAC， 正三棱锥 P-ABC的三条侧棱两两互相垂直. 把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为 D= 半径为 故选 D 由题意画出图形，证明三棱锥 P-ABC为正三棱锥，且三条侧棱两两互相垂直，再由补形法求外 ，则球 O的体积为 , 第 6 页，共 10

18、页 接球球 O的体积 本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档 题 13.【答案】y=3x 【解析】 【分析】 本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础 题 对 y=3（x2+x）ex求导，可将 x=0 代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程 【解答】 解：y=3（x +x）e ， y=3e（x +3x+1）， 当 x=0 时，y=3， y=3（x +x）e 在点（0，0）处的切线斜率 k=3， 切线方程为：y=3x 故答案为：y=3x 15.【答案】0.18 【解析】 解：甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主

19、” 设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以 4：1 获胜包含的情况有： 0.60.50.50.6=0.036，前 5 场比赛中，第一场负，另外 4 场全胜，其概率为：p1=0.4 0.40.50.50.6=0.036，前 5 场比赛中，第二场负，另外 4 场全胜，其概率为：p2=0.6 0.60.50.50.6=0.054，前 5 场比赛中，第三场负，另外 4 场全胜，其概率为：p3=0.6 0.60.50.50.6=0.054，前 5 场比赛中，第四场负，另外 4 场全胜，其概率为：p3=0.6 则甲队以 4：1 获胜的概率为： p=p1+

20、p2+p3+p4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18 故答案为：0.18 甲队以 4：1 获胜包含的情况有：前 5场比赛中，第一场负，另外 4 场全胜，前 5场比赛中， 第二场负，另外 4场全胜，前 5 场比赛中，第三场负，另外 4场全胜，前 5场比赛中，第四 场负，另外 4 场全胜，由此能求出甲队以 4：1 获胜的概率 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基 2x x2 2x 14.【答案】 【解析】 础题 16.【答案】2 【解析】 解：如图， 【分析】 本题主要考查等比数列前 n 项和的计算，结合条件建立方程组求出 q 是

21、解决本题的关键 根据等比数列的通项公式，建立方程求出 q 的值，结合等比数列的前 n 项和公式进行计算即可 【解答】 2625 解：在等比数列中，由 a4=a6，得 q a1=q a10， 即 q0，q=3， 则 S5= 故答案为：. 第 7 页，共 10 页 =， =，且=0，OAF1B， 则 F1B：y= ，【答案】（1） 证明： 如图， 过N作NHAD， 则NHAA1， 且，18. MB=，又 MBAA1，四边形 NMBH为平行四边形， 则 NMBH， 由 NHAA1，N为 A1D中点，得 H为 AD中点，而 E为 BC中点， BEDH，BE=DH，则四边形 BEDH为平行四边形，则 B

22、HDE， NMDE， NM平面 C1DE，DE平面 C1DE， MN平面 C1DE； （2）解：以 D为坐标原点，以垂直于DC得直线为 x 轴，以 DC所 在直线为 y 轴，以 DD1所在直线为 z轴建立空间直角坐标系， 则 N（，2），M（，1，2），A1（，-1，4）， ， ， 联立 ，解得 B（，）， 则 ， =4c2， ， 2222222 整理得：b =3a ，c -a =3a ，即 4a =c ， ，e= 故答案为：2 由题意画出图形，结合已知可得F1BOA，写出F1B的方程，与 y= 勾股定理求解 本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题 17.

23、【答案】解：（1） ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 设（sinB-sinC） =sin A-sinBsinC 222 则 sin B+sin C-2sinBsinC=sin A-sinBsinC， 222 由正弦定理得：b +c -a =bc， cosA= 22 设平面 A1MN的一个法向量为 ， ， 联立求得B点坐标，再由 ，取 x=，得 由， 又平面 MAA1的一个法向量为 ， ， =cos，= 二面角 A-MA1-N 的正弦值为 【解析】 = ，本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空 间角，是中档题 0A ，A= （2）a+

24、b=2c，A= ， 由正弦定理得， （1）过 N作 NHAD，证明 NMBH，再证明 BHDE，可得 NMDE，再由线面平行的判定可得 MN平面 C1DE； （2）以 D为坐标原点，以垂直于 DC 得直线为 x 轴，以 DC 所在直线为 y轴，以 DD1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 A1MN与平面 MAA1的一个法向量，由两法向量所成 角的余弦值可得二面角 A-MA1-N的正弦值 19.【答案】解：（1）设直线 l的方程为 y= （x-t），将其代入抛物线 y2=3x得： x2-（ t+3）x+ t2=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x2= 解得

25、 sin（C- ）=，C- = ，C=， sinC=sin（ 【解析】 =sin cos +cos sin =+=） 222 （1）由正弦定理得：b +c -a =bc，再由余弦定理能求出 A （2）由已知及正弦定理可得：sin（C-）= 解 ，可解得 C 的值，由两角和的正弦函数公式即可得=2t+ ，x1x2=t2， 本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|=x1+x2+p=2t+ + =4，解得 t=， 第 8 页，共 10 页 直线 l的方程为 y= x- =3 （2）若（x2-t），化简得 x1=-3x2+

26、4t，则 y1=-3y2， （x1-t）=-3 由解得 t=1，x1=3，x2= ， |AB|= = x（-1，0） 0（0，x1） x1 0 + 0 增函数 0 （，） - （，） - 小于0 f（x） - f（x）减函数 大于0 减函数大于0 减函数 结合单调性可知，函数 f（x）在（-1， 上有且只有一个零点 0， 由函数零点存在性定理可知，f（x）在（ ，）上有且只有一个零点x2， 当 x，+）时，f（x）=sinx-ln（1+x）1-ln（1+）1-ln30，因此函数f（x）在，+）上无零点 综上，f（x）有且仅有 2个零点 【解析】 【解析】 （1）很具韦达定理以及抛物线的定义可得

27、 （2）若=3，则y1=-3y2，x1=-3x2+4t，再结合韦达定理可解得t=1，x1=3，x2=，再用弦长 （1）f（x）的定义域为（-1，+），求出原函数的导函数，进一步求导，得到 f（x）在（-1，）上为减 函数，结合 f（0）=1，f（）=-1+-1+1=0，由零点存在定理可知，函数 f（x）在（-1，） 公式可得 本题考查了抛物线的性质，属中档题 上存在唯一得零点 x0，结合单调性可得，f（x）在（-1，x0）上单调递增，在（x0， ）上单调递减， 20.【答案】证明：（1）f（x）的定义域为（-1，+）， f（x）=cosx，f（x）=-sinx+， 令 g（x）=-sinx+，

28、则 g（x）=-cosx 0在（-1， ）恒成立， f（x）在（-1， ）上为减函数， 又f（0）=1，f（ ）=-1+-1+1=0，由零点存在定理可知， 可得 f（x）在区间（-1，）存在唯一极大值点； （2）由（1）知，当 x（-1，0）时，f（x）0，f（x）单调递减；当 x（0，x0）时，f（x）0，f（x）单调递增； 由于f（x）在（x0，）上单调递减，且f（x0）0，f（ ）0，可得函数f（x）在（x0，）上存在唯一 零点 x1，结合单调性可知，当 x（x0，x1）时，f（x）单调递增；当 x（ ）时，f（x）单调递减当 函数 f（x）在（-1， ）上存在唯一的零点 x0，结合单调

29、性可得，f（x）在（-1，x0）上单调递增， 在（x0， ）上单调递减，可得 f（x）在区间（-1， ）存在唯一极大值点； （2）由（1）知，当 x（-1，0）时，f（x）单调递增，f（x）f（0）=0，f（x）单调递减； 当 x（0，x0）时，f（x）单调递增，f（x）f（0）=0，f（x）单调递增； 由于 f（x）在（x0， ）上单调递减，且 f（x0）0，f（ ）= 0， x（，）时，f（x）单调递减，再由f（ ）0，f（）0然后列x，f（x）与f（x）的变化情况表得答 案 本题考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法，考查函数与 方程思想，考查逻辑思维能力与推

30、理运算能力，难度较大 21.【答案】（1）解：X的所有可能取值为-1，0，1 P（X=-1）=（1-），P（X=0）=+（1-）（1-），P（X=1）=（1-）， X 的分布列为： X -1 0 1 P （1-） +（1-）（1-） （1-） （2）（i）证明：=0.5，=0.8， 由（1）得，a=0.4，b=0.5，c=0.1 因此 pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1（i=1，2，7）， 故 0.1（pi+1-pi）=0.4（pi-pi-1），即（pi+1-pi）=4（pi-pi-1）， 又p1-p0=p10，pi+1-pi（i=0，1，2，7）为公比为 4，首项为 p 1的等

31、比数列； （ii）解：由（i）可得， p8=（p8-p7）+（p7-p6）+（p1-p0）+p0= 由零点存在定理可知，函数f（x）在（x0， ）上存在唯一零点 x1，结合单调性可知， 当 x（x0，x1）时，f（x）单调递减，f（x）f（x 1）=0，f（x）单调递增； 当 x（，）时，f（x）单调递减，f（x）f（x1）=0，f（x）单调递减 当 x（ ，）时，cosx0，-0，于是 f（x）=cosx-0，f（x）单调递减， 其中 f（ ）=1-ln（1+ ）1-ln（1+）=1-ln2.61-lne=0， f（）=-ln（1+）-ln30 于是可得下表：， 第 9 页，共 10 页 p

32、 8=1，p1= ， P4=（p4-p 3）+（p3-p2）+（p2-p1）+（p1-p0）+p0= P4表示最终认为甲药更有效的概率 由计算结果可以看出， 在甲药治愈率为0.5， 乙药治愈率为0.8时， 认为甲药更有效的概率为， 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理 【解析】 p1= （1）把曲线 C 的参数方程变形，平方相加可得普通方程，把 x=cos，y=sin代入 2cos+ sin+11=0，可得直线 l 的直角坐标方程； （2）写出与直线 l 平行的直线方程为，与曲线 C 联立，化为关于 x 的一元二次 方程，利用判别式大于 0求得 m，转化为两平行线间的距离求 C

33、上的点到 l 距离的最小值 本题考查间单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用， 训练了两平行线间的距离公式的应用，是中档题 （1）由题意可得X的所有可能取值为-1，0，1，再由相互独立试验的概率求P（X=-1），P（X=0），P （X=1）的值，则 X的分布列可求； （2）（i）由 =0.5，=0.8 结合（1）求得 a，b，c的值，代入 pi=api-1+bpi+cpi+1，得到（pi+1-pi）=4 （pi-pi-1），由 p1-p0=p10，可得p i+1-pi（i=0，1，2，7）为公比为 4，首项为 p1 的等比数列； （ii）由（i）可得，p8=（p8-p7）+（p7-p6）+（p1-p0）+p0，利用等比数列的前 n 项和与 p8=1，得 p1= ，进一步求得 p4=P4表示最终认为甲药更有