8.4.2 向量的应用(含答案)

1、第八章 平面向量的坐标表示 8.4.28.4.2 向量的应用向量的应用 【课堂例题】 例 1.利用不等式|ab|a|b|求解下列两小题： (1)已知R，求3cos 4sin的最大值； (2)若4x3y 1，求x2 y2的最小值. 例 2.已知ABCD是正方形，P是对角线BD上任意一点(不同于B,D), PFCE是矩形，求证：PA EF A P DF B E C 例 3.已知两个力(单位：牛)f 1, f2 的夹角为60，其中f 1 大小为 2 牛，正东方向.物体在这两 个力的共同作用下，向东北方向移动了2 米. 求：f 2 的大小及合理对该物体所做的功. (选用)例 4.如图，D,E,F分别为

2、ABC相应边的中点，求证：AD,BE,CF三线共点. A A F F E E B B D D C C 第八章 平面向量的坐标表示 8.4.28.4.2 向量的应用向量的应用 【基础训练】 1.两个粒子A,B从同一源发射出来，在某一时刻，他们的位移分别s A (4,3),s B (2,10) 则此时粒子B相对于粒子A的位移s . 2.已知2x3y 2，构造a (2,3),b (x, y)，则可求得x2 y2的最小值是 . 3.为了利用|ab|a|b|证明基本不等式 I：x, yR,x2 y2 2xy，则可以构造 a ，b . 4.已知三个力f 1, f2 , f 3 都作用于同一质点，且| f

3、1 | 20,| f 2 |30,| f 3 | 40(单位：牛).若三 个力的夹角都为120度， 则合力的大小为，合力与f 2 的夹角大小为 . 5.在直角三角形CAB中，AD是斜边BC上的中线， 用向量的坐标向量的坐标证明：| AD| 6.已知x 1,x2 , y 1, y2 是实数，利用向量，证明柯西不等式： 22(x 1x2 y 1 y 2 )2 (x 1 2 y 1 2)(x 2 y 2 ) 1 | BC | 2 C D AB 7.已知M是正方形ABCD的边AB的中点，L分对角线AC的比为AL : LC 3:1， 利用向量的坐标向量的坐标，求证：MLD为直角. DC L MAB 第八

4、章 平面向量的坐标表示 【巩固提高】 8.平面上三个力F 1,F2 ,F 3 作用于一点且处于平衡状态，| F 1 |1N,| F 2 | 6 2 N， 2 F 1,F2 的夹角为45，利用向量的坐标向量的坐标，求：(1)F 3 的大小；(2)F 3,F1夹角的大小. 9.已知ABC中，BC 2,BAC 60，建立适当的直角坐标系， 利用向量的坐标利用向量的坐标，求出 点A的坐标(x, y)所满足的等式.(不能使用正弦定理) A BC (选做)10.如图所示， 一根绳子穿过两个定滑轮且两端分别挂有3N,2N的重物， 在两个滑轮 之间的绳子上挂一个重量为m(N)的重物，恰好使得系统处于平衡状态，

5、求m的取值范围， 并说明理由. 【温故知新】 11.再次完成第 5 题，使用向量，但不使用向量的坐标. AB 3N O mN 2N 第八章 平面向量的坐标表示 【课堂例题答案】 例 1.(1)5;(2) 例 2.证：如图建系，设正方形边长为a,P(x,x) 易得AP (x,xa),FE (a x,x) 1 25 A P DF y B E APFE x(ax)(xa)x 0 证毕 例 3.| f 2 | 2 32，合力做功为6 2 2 6焦耳. 例 4.证：设BE,CF交于点G，如图建系. C ba cba c , ),F(, ) 设B(a,0), C(a,0), A(b,c)，则E( 2222

6、 根据定比分点公式： bacbac a 2222 ,)G(,)且G( 1111 1b c1 解得 ，因此G( , )，即DG DA. 证毕 33 33 a x 【习题答案】 1.(2,7) 4 13 3.(x, y),( y,x) 2. 4.10 3(N),90 5.证：以A为原点，B(c,0), C(0,b) c bc2b2 ，BC (c,b)| BC|c2b2AD ( , )| AD| 2 24 1 因此| AD| BC | 证毕 2 y 6.证：构造a (x 1, y1),b (x2 , y 2 )，|ab|a|b| D 22| x 1x2 y 1 y 2 |x 1 2 y 1 2x 2

7、 y 2 ， 222即(x 1x2 y 1 y 2 )2 (x 1 y 1 2)(x 2 y 2 ) 证毕 C L 7.证:如图建系，设边长为1，则M( ,0), L( , ), D(0,1). 1 2 3 3 4 4 311 3 444 4 因此MLD 90证毕 8.(1)| F 3 |31;(2)150 易得DL ( ,),ML ( , ),DLML 0 A y MB x A 3 2 43 2 4 ) (y 0)或x2(y) (y 0) 3333 提示：如图建系，B(1,0), C(1,0), A(x, y) 9.x (y 2 AB (1 x,y),AC (1 x,y) BOC x 第八章

8、 平面向量的坐标表示 AB ACx2 y21 cos60 2222| AB| AC |(x1) y (x1) y 平方化简得3x43y46x2y26x210y23 0 y A A 3(x4 y42x2y22x22y21)4y2 0 3(x2 y21)24y2 0 3(x4 y42x2y22x22y21)4y2 0 3(x2 y21)2y 3(x2 y21)2y 0 3(x2 y21)2y 0或3(x2 y21)2y 0 x2(y 3 2 43 2 4 ) 或x2(y) 3333 B BO OC C x 但由于中，分子必须大于零，故修正为： x2(y 点A的轨迹为右图蓝色实线. 10. 5 m 5 提示：如图建系， 3 2 43 2 4 ) (y 0)或x2(y) (y 0) 3333 y 记f 1, f2 与水平方向夹角分别为 1, 2 ，1,2(0, 2 A ) f 2 2 B f1 1 f 1 (2cos 1,2sin 1), f2 (3cos 2,3sin 2 ) G (0,m) 3N O mN 2N x f 1 f 2 G 0 m 2sin 1 3sin 2 m 2sin 1 54sin2 1 0 2cos1 3cos 2 显然m( 1) 为单调递增函数，因此 5 m 5 11.证：AD 2 11 (AB AC) AD (AB