人教版八年级数学下册专题复习(三)勾股定理与数学文化

1、思维特训(三)勾股定理与数学文化 方法点津 1勾股定理的证明，采用的方法是对图形进行切割和拼接，再从两个不同角度(整体与 部分)表示同一个图形的面积，从而建立等式，化简得到 2勾股定理的应用，主要体现在我国古代数学专著九章算术 ，在其“勾股”章收集 有关勾股定理的应用问题共24 个 图 3S1 典题精练 类型一勾股定理证明的数学文化 1阅读下面的材料： 勾股定理神秘而美妙， 它的证法多种多样， 下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理 的方法(邹元治证明法)先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜 1 边为 c，然后按图 3S2的方法将它们摆成正方形由图可以得到(ab)24

2、ab 2 c2，整理，得 a22abb22abc2，所以 a2b2c2. 如果把图中的四个全等的直角三角形摆成图所示的正方形(赵爽证明法)，请你参照 上述方法证明勾股定理 图 3S2 2美国第二十届总统加菲尔德也曾经给出了勾股定理的一种证明方法，如图 3S3， 他用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼出了一个直角梯形， 请你利用此图形验 证勾股定理 图 3S3 3关于勾股定理，有很多种证法，在我国都是用拼图法来证明的下面的证法是欧几 里得证法如图3S4 所示，在 RtABC 的外侧，以 RtABC 的各边为边分别作正方形 ABDE，正方形 BCHK，正方形 ACFG，它们的面积分别是 c

3、2，a2，b2. (1)叙述勾股定理并结合图形写出已知、求证； (2)根据图中所添加的辅助线证明勾股定理 图 3S4 类型二勾股定理应用的数学文化 4我国古代数学专著九章算术中有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二 丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何 ”题意是：如图3S 5 所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺， 有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 多少尺？ 图 3S5 5 “引葭赴岸”是九章算术中的一道题： “今有池一丈，葭生其中央，出水一尺， 引葭赴岸，适与岸

4、齐问水深、葭长各几何 ”题意是：有一个边长为10 尺的正方形池塘， 一棵芦苇 AB 生长在它的中央，高出水面部分 BC 为 1 尺如果把该芦苇沿与水池边垂直的 方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B 恰好碰到岸边的 B (如图 3S6)则水深和芦苇长各为 多少？(画出几何图形并解答) 图 3S6 6 九章算术中有一道关于勾股定理的题：今有垣高一丈 ，倚木于垣，上与垣齐引 木却行一尺，其木至地问木长几何 这道题的大致意思是：现有一墙高一丈，将一木杆靠于墙上，使木杆的上端与墙头平 齐把木杆的下端向后退，则木杆的上端会随着从墙上往下滑，当把木杆的下端向后退了一 尺长的时候，木杆的上端恰好落到地上，则木杆有

5、多长？(1 丈10 尺) 典题讲评与答案详析典题讲评与答案详析 1 1证明：S 大正方形c 2，S 大正方形4SS小正方形4 ab(ba) 2， 2 1 c24 ab(ba)2， 2 整理，得 2abb22aba2c2， a2b2c2. 111111 2 解： 因为 S 梯形 (ab) 2 (a22abb2)， 又因为 S 梯形 ab ba c 2 (2abc2)， 222222 11 所以 (a22abb2) (2abc2)，得 a2b2c2. 22 3解：(1)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 已知：如题图所示，在 RtABC 的外侧，以 RtABC 的各边为边分别作正方

6、形ABDE， 正方形 BCHK，正方形 ACFG，它们的面积分别是 c2，a2，b2. 求证：a2b2c2. (2)证明：过点 C 作 CMBD 交 BD 于点 M，交 AB 于点 L，连接 BG，CE. GACBAE90， GACCABBAECAB， 即GABCAE. 在ACE 和AGB 中，AEAB，CAEGAB，ACAG，ACEAGB(SAS) 11111 SACE AEEM S 长方形AEML，SAGB AGGF S正方形ACFG b 2， 22222 S 长方形AEMLb 2. 同理 S 长方形BLMDa 2， S 正方形ABDES长方形AEMLS长方形BLMDb 2a2， 则 a2b2c2. 4解：如图，在直角三角形 ABC 中， BC20 尺，AC5315(尺)， AB 15220225(尺) 答：葛藤的最短长度为 25 尺 5解：依题意画出图形，设芦苇长 ABABx 尺，则水深 AC(x1)尺， 因为 BE10 尺，所以 BC5 尺 在 RtABC 中，52(x1)2x2， 解得 x13. x112， 即芦苇长 13 尺，水深