人教版八年级数学下册专题复习(四)最短路径问题与勾股定理

1、思维特训(四)最短路径问题与勾股定理 方法点津 1解决最短路径问题的基本原理有：两点之间，线段最短；垂线段最短 2平面最短问题可构建“对称模型”来解决，空间最短问题可将空间图形转化成平面 图形来解决 典题精练 类型一平面内最短路径问题 1如图 4S1，A，B 两个村子在河的同侧，A，B 两村到河边 CD 的距离分别为 AC 1 km，BD3 km，CD3 km.现要在河边 CD 上建一水厂向 A，B 两村输送自来水，铺设 水管的费用为 20000 元/km. (1)请你在河边 CD 上作出水厂位置 O，使铺设水管的费用最省； (2)求出铺设水管的总费用 图 4S1 2如图 4S2，在 1010

2、 的网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格 点 A，B 和直线 l. (1)求作点 A 关于直线 l 的对称点 A1； (2)P 为直线 l 上一点，连接 BP，AP，求ABP 周长的最小值 图 4S2 3如图4S3，A，B 两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线 l1，l2是街道两边 沿)，现准备合作修建一座过街人行天桥 (1)天桥应建在何处才能使由 A 经过天桥走到 B 的路程最短？在图中作出此时桥 PQ 的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹(注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直)； (2)根据图中提供的数据计算由A 经过天桥走到 B 的最短路程(单位：米) 图 4S3 类型二几

3、何体上最短路径问题 4如图 4S4，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离 容器上沿 3 cm 与饭粒相对的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是多少？ 图 4S4 5 如图 4S5 是一个三级台阶， 它的每一级的长、 宽、 高分别为 20 dm、 3 dm、 2 dm， A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到 B 点的最短路程是多少？ 图 4S5 典题讲评与答案详析典题讲评与答案详析 1解：(

4、1)水厂的位置 O 如图所示 (2)由(1)可知，铺设水管的总长度为 AOBOAOOBAB，如图，作出以 AB 为斜 边的直角三角形 ABE. AC1 km，BD3 km，CD3 km， AECD3 km，BE314(km)， 由勾股定理，得 AB 32425(km)， 200005100000(元) 答：铺设水管的总费用为100000 元 2解：(1)如图所示，点 A1就是所求作的点 (2)ABP 周长的最小值ABA1B， A1B 2262210，AB4， ABP 周长的最小值为 42 10. 3解：(1)作法：将点 A 竖直向下平移到点 A，使 AAPQ； 连接 AB，与 l2交于点 P；

5、 过点 P 作 PQl1于点 Q； 连接 AQ，BP. 则天桥建在 PQ 处能使由 A 经过天桥走到 B 的路程最短，如图. (2)如图，AAPQ，AAPQ， 四边形 AAPQ 是平行四边形， AQAP， AQPBAPPBAB. 过点 B 作 AA的垂线，垂足为 C. 在ABC 中，C90，BC60 米， ACACAA1520102025(米)， 则 AB BC2AC265 米， AQPQPBABPQ652085(米) 故由 A 经过天桥走到 B 的最短路程为 85 米 4解：如图，将容器侧面(一部分)展开，作点 A 关于 EF 的对称点 A， 连接 AB，则 AB 的长就是蚂蚁吃到饭粒爬行的最短路程AD5 cm，BD123 312(cm)， AB AD2BD213(cm) 即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程是13 cm. 5解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20 dm，宽为(23)3 dm， 则蚂蚁沿着台