折射定律的两种证明方法(详细)

1、/3700/3.7 几何中的一些极值问题折射定律 质点花时间最短运动轨迹 选址问题 实验演示 几何中一些求极值问题，可以用微分法求解，也可借助几何或物理概念寻求特殊的技巧解法。下面举几个例子。 问题一：(折射定律) 设有一质点从点A运动到点B ，该质点的运动速度在上半平面为常数v，下半平面为常数v.此质点应沿什么路径运动才能使花费时间最短?问题二：(质点花时间最短运动轨迹)设一质点从点A(x1,y1)运动到点B(x2,y2), 其运动速度是纵坐标的可微函数v(y).若要求所花时间最短，求它的运动轨迹。 问题三：(选址问题) 设有m个村庄各有小学生人，今要合建一所小学校，使全部学生所走的总路程最

2、短，问应如何选择校址？/3710一. 折射定律设有一质点从点A运动到点B ，该质点的运动速度在上半平面为常数v，下半平面为常数v.此质点应沿什么路径运动才能使花费时间最短? 显然该质点在上半平面和下半平面都应是直线。故从A到B应为折线，只需求出折点C即可。设AC、 BC与y轴的夹角分别为i, i, 我们来证明当 (*)时，所花费的时间最短。（*）式就是光的折射定律：当光从一种介质进入另一种介质时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等于光在两种介质中的速度比。证明：方法一（用几何方法）方法二（用微分方法） /sm3711用几何方法证明:任取另一路径ACB, 质点经路径ACB所花时间为 经ACB所花时

3、间为 只需证当 (*) 成立时, . 过C分别向AC延长线和CB作垂线CD和CD,则 , (*)/sm3712用微分方法证明: 设折点C的坐标为 则质点经ACB所花时间 等价于. 这与(*)等价.这就是光的折射定律：当光从一种介质进入另一种介质时入射角的正弦与折射角的正弦之比等于光在两种介质中的速度比./sm3720二、质点花时间最短的运动轨迹 问题：设一质点从点A(x1,y1)运动到点B(x2,y2), 其运动速度是纵坐标的可微函数v(y).若要求所花时间最短，求它的运动轨迹。 结论：其运动轨迹应满足：从到的定积分 (3)C1由，即曲线过B点决定，正负号的选择与y 的符号一致。 具体推导：/

4、转3721/例子：设一质点要在重力场上由原点运动到某一点，求花费时间最短的路径。（设 0 0）/转37/i1i2A1(x,y)A3xyA1A2A3放大/sm3721 在轨迹上取邻近的三点， 分别把和都看作直线，质点在这段路程上的速度也看作常量和。由折射定律得： (1) 用表示曲线的切线斜率。 在上, ，在上, 同理 把(1)式两边颠倒再减去1并通分得： (2)(2)式左边分子分母同除以sini1sini2得 (这里利用了公式, )(2)式右边 (只差的高阶无穷). 两边除以再令得两边乘以dx得，即 两边求不定积分得 (其中), 从到求定积分得 (3)C1由，即曲线过B点决定,正负号的选择与y

5、的符号一致./sm3722/例 设一质点要在重力场上由原点运动到某一点，求花费时间最短的路径。（设 0 0）yxo解：如图，取y轴向下，则对曲线上任一点质量为m的质点从O点降到B点时减少的势能 = 增加的动能 代入（3）式得（此时=0，=0，） (4)注：由于曲线上任一点的切线与x轴夹角是锐角,故0,从而(3)取正号.为了能把根号去掉，考虑作积分变换 设 即 即 （记） 对应 ， 对应 (4)式右边= =又取=t , 则u=y， y=综合得： 这是摆线方程，其中常数C1，由曲线通过点A唯一确定，为生成摆线的滚动圆的半径。注：其实C1的确定也不是太容易的 /转sm3723/sm3723例如=1,

6、 =1, C1=? 代入摆线方程得：可得 ,令 则 可知方程 在区间1.57,3.14 内有解。用二分查找法可求出近似解 t0=2.412代回（1）,(2 ) 得C1=22.458, /sm3730三选址问题设有m个村庄各有小学生人，今要合建一所小学校，使全部学生所走的总路程最短，问应如何选择校址？1.校址点应满足的条件设的坐标为 （i=1,2,3m）校址在 A(x,y)处，那么全部学生所走的总路程为：设 为方向上的单位向量。若令（ 即 反向 ）。则 =0 与 =0 等价于 (3.15)可知S 的最小值只能在Ai（i=1,2,3m）（在这些点S不可导）和满足（3.15）的点去找。2.若有A(x

7、,y)满足(3.15)，则S(A)达最小值。证明 /转3731/3.特例：费尔马点 /转3733/sm37312.若有A(x,y)满足(3.15)，则S(A)达最小值。证明：设AA, 要证S(A)S(A),对每一个i，.作AAiAAi,设i为AA与AAi的夹角 当AAAAi时,Ai=A以下记(即上的投影) 当0i/2时,AAiAiAi=AAi-AAi=AAi- AAi当/2i时AAiAiAi=AAi+AAi=AAi- AAi从而S(A)=niAAini(AAi- AAi) =niAAi-ni AAi = S(A)- = S(A)+ =S(A)() S(A)S(A).对（3.15）的注释 /转s

8、m3732/sm3732 (3.15)对（3.15）的注释：当A满足(3.15)式且A、A、A1、A2.Am共线时S(A)=S(A).但是，由于A是任意取的,故当它在此直线上趋于无穷远时,S(A).这又说明S(A)S(A)。即A不可能同时满足(3.15)式和“与A1、A2.Am共线”.而当A1、A2.Am共线时显然A也应在此直线上，说明此时A不可能满足(3.15)式，即A应等于某个Ai.当A1、A2.Am不共线时,若A满足(3.15)式，则它是唯一的.若在此模型中, 把Ai理解为各车间。A理解为公共原材料仓库。ni理解为各车间在一定时期内对原材料的需求量。则此问题化为如何选择仓库地址，使总运输

9、量是最小的问题。（3.15）看来很简单，但实际上十分难解。一般可考虑矩形区域minxixmaxxi，minyiymaxyi上用迭代法求数值解即的近似解。也可用物理模型模拟求近似解。（）在一块有坐标的板上相应于Ai的位置处钻上小孔（）每个小孔穿一细绳（）在每条细绳的下端系上一个与ni成比例的砝码（）全部绳的上端系在一小环上（）小环的平衡位置就是所求A点的坐标yx这是因为平衡时，该点受到各个方向的合力为0。与一致。注：当然要想办法减少孔与绳的摩擦力/sm3733AA1A3A23当m=3，ni =1，i=1，2，3时的特例即要在 所在平面上找一点A，使A到三顶点距离之和最小。显然A点不应在之外。（1）当的内角都小于120时，由上述（3.15）即得： （因此时） 注：此时，满足（3.15）的A点必唯一存在，并称为费尔马点。AA2A1A3S=小于任意两边边长之和，此结论可用于管道铺设中。（2）当的最大内角120时设想：原来最大内角 120 。则由（1）可知使S最小的A点在内出现，保持与不变。让逐渐张大，则A 当=120时，A与重合 显然A点不可能在之外，从而即使继续扩大仍然A=（3）费尔马点在工程上的应用A(0,0)B(0,6)C (6.78,4.25)867M电厂铺线问题 /转sm3734/sm3734电厂铺线问题设A为电厂，B和C为村庄。如何从A铺设电缆到B和