高考数学100个热点题型秒解技巧之隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用

1、化 难 为 易化 繁 为 简 2019 年 4 月版 秒秒解解高高考考数数学学 1 10 00 0 招招 选择、填空篇 例（例（20162016 山东理山东理 7 7）函数f(x) ( 3sinx cosx)( 3cosx sinx)的最小正周期是( ) 3 A. B. C. D.2 22 【秒解】【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知3sinx cosx以及3cosx sinx的周期 均为2,则f(x) ( 3sinx cosx)( 3cosx sinx)的周期为,选B. 四大特色助快速解题 100 个秒解技巧 80 个精妙二级结论 10 年高考真题为例 700 个例题深入剖析 1 目录

2、 CONTENTS 1、集合利用特值逆代法速解集合运算题2 2、集合利用对条件具体化巧解集合运算题 3、集合运用补集运算公式简化集合计算 4、简易逻辑利用韦恩图巧解集合与数量关系题 5、简易逻辑借助数轴法巧解充要条件问题 6、复数利用逆代法、特值法速解含参型复数题 7、复数利用公式速解有关复数的模的问题 8、复数利用结论快速判断复数的商为实数或虚数 9、复数利用公式快速解决一类复数问题 10、三视图柱体和锥体的三视图快速还原技巧 11、三视图利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图 12、不等式利用逆代法巧解求不等式解集问题 13、不等式利用特值法速解比较大小问题 14、不等式利用数轴标根法速解

3、高次不等式 15、不等式用代入法速解 f型不等式选择题 16、不等式利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式 17、不等式利用结论速解含双绝对值函数的最值问题 18、不等式利用“ 1 的代换”巧解不等式中的最值问题 19、不等式利用“对称思想”速解不等式最值问题 20、不等式利用柯西不等式速解最值问题 21、线性规划利用特殊法巧解线性规划问题 22、线性规划高考中常见的线性规划题型完整汇总 23、程序框图程序框图高效格式化解题模式 24、排列组合排列组合 21 种常见题型解题技巧汇总 25、排列组合利用公式法速解相间涂色问题 26、排列组合速解排列组合之最短路径技巧 27、二项式定理二项

4、式定理常见题型大汇总 28、二项式定理利用公式速解三项型二项式指定项问题 29、平面向量特殊化法速解平面向量问题 30、平面向量利用三个法则作图法速求平面向量问题 31、平面向量三点共线定理及其推论的妙用 32、平面向量平面向量等和线定理的妙用 33、平面向量向量中的“奔驰定理”的妙用 34、平面向量三角形四心的向量表示及妙用 35、平面向量利用极化恒等式速解向量内积范围问题 36、空间几何利用折叠角公式速求线线角 37、空间几何求体积的万能公式：拟柱体公式 38、空间几何空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用 39、空间几何利用空间余弦定理速求异面直线所成角 40、空间几何利用公

5、式速解空间几何体的外接球半径 41、函数用特值法速解分段函数求范围问题 42、函数数形结合法速解函数的零点与交点问题 2 43、函数数型结合法巧解带 f的函数型不等式 44、函数函数的周期性的重要结论的运用 45、函数利用特值法巧解函数图像与性质问题 46、函数通过解析式判断图像常用解题技巧 47、函数利用结论 速解“奇函数 C ”模型问题 48、函数利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题 49、函数巧用耐克函数求解函数与不等式问题 50、函数利用对数函数绝对值性质速解范围问题 51、函数巧用原型函数解决抽象函数问题 52、函数构造特殊函数巧解函数问题 53、导数特殊化与构造方法巧解导数

6、型抽象函数问题 54、导数极端估算法速解与导数有关选择题 55、导数用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题 56、导数隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用 57、三角函数利用口诀巧记诱导公式及其运用 58、三角函数利用结论速求三角函数周期问题 59、三角函数巧用特值法、估算法解三角函数图像问题 60、三角函数海伦公式及其推论在求面积中的妙用 61、三角函数借助直角三角形巧妙转换弦与切 62、三角函数特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用 63、三角函数齐次式中弦切互化技巧 64、三角函数利用射影定理秒解解三角形问题 65、三角函数三角形角平分线定理的妙用 66、三角函数三角形角平分线

7、长公式的妙用 67、三角函数三角形中线定理及其推论的妙用 68、三角函数利用测量法估算法速解三角形选择题 69、三角函数利用公式法速解三角函数平移问题 70、数列利用公式法速解等差数列an与Sn 71、数列利用列举法速解数列最值型压轴题 72、数列用特殊化法巧解单条件等差数列问题 73、数列等差数列性质及其推论的妙用 74、数列观察法速解一类数列求和选择题 75、数列巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式 76、数列代入法速解数列选项含 n 型选择题 77、数列一些数列选择填空题的解题技巧 78、统计与概率估算法速解几何概型选择题 79、直线与圆利用相交弦定理巧解有关圆的问题 80、直线与圆利用精

8、准作图估算法速解直线与圆选择题 81、直线与圆利用两圆方程作差的几何意义速解有问题 82、圆锥曲线利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题 83、圆锥曲线用点差法速解有关中点弦问题 84、圆锥曲线用垂径定理速解中点弦问题 85、圆锥曲线用中心弦公式定理速解中心弦问题 86、圆锥曲线焦点弦垂直平分线结论的妙用 87、圆锥曲线利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程 88、圆锥曲线用公式速解过定点弦中点轨迹问题 89、圆锥曲线巧用通径公式速解离心率等问题 90、圆锥曲线巧用三角形关系速求离心率 91、圆锥曲线构造相似三角形速解离心率 92、圆锥曲线用平面几何原理巧解圆锥曲线问题 93、圆锥曲线

9、利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题 94、圆锥曲线利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题 95、圆锥曲线椭圆焦点三角形面积公式的妙用 96、圆锥曲线双曲线焦点三角形面积公式的妙用 97、圆锥曲线离心率与焦点三角形底角公式的妙用 98、圆锥曲线用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围 99、圆锥曲线用特值法巧解圆锥曲线选填题 100、圆锥曲线用对称思想速解圆锥曲线问题 5 5 6 6 、导导数数隐隐函函数数求求导导在在函函数数与与圆圆锥锥曲曲线线切切线线问问题题中中的的妙妙用用 （1 1）隐函数概念）隐函数概念 我们知道,用解析法表示函数可以有不同的形式,如果函数 y 用含自变量 x 的算式表示,例

10、如 ysinx,yx21 等,这样的函数叫显函数 一般地,如果方程F(x,y) 0中,当令 x 在某一区间内任取一值时,总有满足此方程的 y 值存在,我们就说方 程 F(x,y)=0 在该区间上确定了 x 的隐函数 y.把一个隐函数化成显函数的形式,叫隐函数的显化,如从方程中 x2yyx0可解出显函数y 2 x 2 22y1x ;从方程中可解出 2 个显函数： (表示单 xy1 2x1 位圆的上半圆周),y 1x (表示单位圆的下半圆周).有些隐函数不能表示为显函数的形式,如方程 xysiny0就解不出yf(x)的形式. （2 2）隐函数求导法则）隐函数求导法则 当y是由方程F(x,y) 0所

11、确定的隐函数,并且y对x可导(即y( x)存在),在不解出y的情况下, 求导数 y( x)的方法是把y看成x的函数yf(x),方程F(x,f(x) 0看成关于x的恒等式,在等式两端同时对x求 导(左端要用到复合函数的求导法则),然后解出y即可. 例例 1 1 求曲线xy lny 1在点（1,1）处的切线方程. 【秒解】【秒解】xy lny 1是隐函数,把y看成x的函数yf(x),则xy lny 1表示为xf(x) lnf(x) 1,利用复 合函数求导法则,对式子两边求导得：xf(x) xf( x) 1 f( x)0 f(x) f(x) xf( x) yxf( x) 1 f( x)0 f(x)

12、21 f( x)0 f( x) yy , y1 xy 1 x y y2121 又曲线过点（1,1）,所以f( x) xy 11 1 12 3 切线斜率k 1 切线方程为x 2y 30. 2 熟练后可如下表达：熟练后可如下表达： xy lny1xyxy 1 y 0 y y211 切线斜率k y xy 122 切线方程为x 2y 30. 例例 2 2 求y 2x 在点（1,1）处的切线方程. x21 f(x) 型导数来求解,也可以用隐函数法来解： g(x) 【秒解】【秒解】本题可以按常规方法用 y 2x yx2y2xyx2y 2xy 2 2x1 22xy22xy22 1 1 ky0 切线斜率 22

13、2x1x111 y y 22xy22 1 1 0 切线方程为y 1. 22x111 x2y2 例例 3 3 设P(x 0 ,y 0 )是椭圆C : 22 1( a b 0)上一点,求过点 P 的椭圆 C 的切线方程. ab 【秒解】【秒解】利用隐函数求导的方法： 2x2yyx2y2 2 01( ab0) 222ab ab b2xb2x 0y 2 ky 2a ya y 0 b2x 0 切线方程为yy 0 2 (xx 0 ) a y o 切线方程为 x 0 xy 0 y 2 1 2ab 用此法还可以快速求过圆、双曲线、抛物线上一点的切线方程. 例例 4 4 已知抛物线y24x,P( 1, 2)是其图像上一点,则过点P且与抛物线相切的切线方程为 . 4 【秒解】【秒解】利用隐函数求导的方法：对隐函数y24x两边同时求导,得2yy 4y 斜率k1,从而切线方程为y2(x1)即：xy10 2 ,代入y2得切线的 y x2y22 5 1,M ( 2,)是椭圆上的一点,