数列的通项公式与求和-2017年高考数学二轮核心考点总动员

1、热点11 数列的通项公式与求和【热点考法】本热点考题形式为选择题、填空题或解答题，求数列通项公式主要考查构造法、叠加法、叠乘法及第n项与前n项和公式法，解答题主要考查分组求和法、拆项法、错位相减法、并项法，考查运算求解能力、转化与化归思想，难度为中档难度，分数为5至12分.【热点考向】考向一 数列的通项公式【解决法宝】求数列的通项公式的常见类型和解法：（1）观察法：对已知数列前几项或求出数列前几项求通项公式问题，常用观察法，通过观察数列前几项特征，找出各项共同构成的规律，横向看各项的关系结构，纵向看各项与项数的关系时，分解所给数列的前几项，观察这几项的分解式中，哪些部分是变化的，哪些部分是不变

2、化的，变化部分与序号的关系，归纳出的通项公式，再用数学归纳法证明.（2）累加法：对于可转化为形式数列的通项公式问题，化为，通过累加得= =，求出数列的通项公式，注意相加等式的个数（3）累积法：对于可转化为形式数列的通项公式问题，化为，通过累积得= =，求出数列的通项公式，注意相乘等式的个数（4）构造法：对于化为（其中是常数）型，常用待定系数法将其化为，由等比数列定义知是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式先求出通项公式，再求出的通项公式.（5）利用前项和与第项关系求通项：对递推公式为与的关系式(或)，利用进行求解.注意=成立的条件是2，求时不要漏掉=1即=的情况，当=适合=时，=；当=不适合

3、=时，用分段函数表示.例1【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，18】（本小题满分12分）设数列的前和为,已知.（1）求出数列的通项公式；（2）求数列的前和为 .【分析】（1）由和项求通项时，要注意分类讨论：当时, ，得；当时, ，（2）先根据绝对值定义知当时, 而，因此求和需分类讨论：，当时,利用分组求和法得【解析】（1）由题意得,当时, 由,得.考向二 数列求和【解决法宝】数列求和的主要方法：（1）分组求和：若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为等比或等差数列，分组利用等比或等差数列的前n和公式求前n项和.（2）拆项相消法：若数列的每一项

4、都可拆成两项之差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n项和转化为首尾若干项和，注意未消去的项是哪些项. 常用拆相公式: 若是各项都不为0公差为的等差数列，则= =（3）倒序相加法：如果一个数列与首尾两相距离相等的两项之和等于首尾两项之和，则正着写和与到序写和的两式对应项相加，就转化为一个常数列的前n项和.推导等差数列的前项和公式正是应用了此法，体现了转化与化归数学思想（4）错位相减法：若数列是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，则在数列的前项和= ，两边同乘以公比得= ，式与式错位相减得= = ，转化为等比数列，的前n项和问题，注意转化出的等比数列的首项及项数.（5）并项求和法：若数列

5、某项组合相加可将其化为等比数列或等差数列的和问题，常用并项法，即通过并项化为特殊数列，利用公式求和例2【山东省实验中学2017届高三第一次诊，18】已知等比数列的前项和为，公比，（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和【分析】（1）确定等比数列通项公式，基本方法为待定系数法，两个独立方程可解两个未知数，涉及和项，一般利用作差转化为通项：，进而可求出公比，回代可得（2）数列求和，首先分析通项特征，由于为等差乘等比型，所以利用错位相减法求和：注意项的符号变化、项的个数、最后结果形式，最好代入验证所求结果.（2）由（1）知7分.9分错位相减.11分.12分例3【湖北省黄石市2017届高三年级九月

6、份调研，17】（本小题满分12分）数列的前项和满足，且成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【分析】（1）由通项与和项关系求数列通项公式，需注意分类讨论，即，而由得数列成等比是不充分的，需强调每一项不为零，这就必须求出首项（2）因为，所以一般利用裂项求和：，即【解析】（1）由已知，有，即，即数列是以2为公比的等比数列，又成等差数列，即：，6分（2）由（1）知，12分【热点集训】1.【湖南百所重点中学2017届高三上学期阶段诊测，4】已知为数列的前项和，若且，则等于（ ）A6 B12 C.16 D24【答案】B【解析】由得，故选B.2.【江西抚州七校2017届高三上学期联考，

7、10】若数列满足，且，则数列的第100项为（ ）A2 B3 C D【答案】B3.【河南百校联盟2017届高三11月质检，5】已知正项数列中，（），记数列的前项和为，则的值是（ ）A. B. C. D.3【答案】D【解析】（），数列为等差数列，首项为1，公差为，故数列的前项和为则.故选D4.【河南中原名校2017届高三上学期第三次质检，5】记数列的前项和为，若，则（ ）A B C. D【答案】A5.【安徽淮北一中2017届上学期第4次模拟,5】已知数列满足，则（ ）A B C. D【答案】D【解析】依此类推，故.6.【天津六校2017届高三上学期期中联考，7】已知数列满足：，若，且数列是单调递增

8、数列，则实数的取值范围是（ ） A B C D【答案】D7.【山西省运城市2017届高三上学期期中，14】设数列的前项和为，已知，则的通项公式为 【答案】【解析】当时，当时，所以通项公式为8.【江西抚州七校2017届高三上学期联考，16】 在数列及中，设，则数列的前项和为_【答案】【解析】,同理易得：，两式相加得：，故为常数列，所以，所以数列的前项和为.9.【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，16】设为数列的前项和，且满足，则 ； 【答案】 【解析】由，当时，有，得当时，即，若为偶数，则（为正奇数）；.10.【福建厦门一中2017届上学期期中，15】为数列的前项和，已知则的通项公式_ ，

9、由得，当时，由两式相减得：，即得，则，故答案为.11.【河南八市重点高中2017届上学期第三次测评，15】已知数列中，则数列的前20项和为_【答案】【解析】由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公差为的等差数列，故数列的前20项和为.12.【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，16】已知数列的前项和为，则的最小值为 【答案】13【云南大理2017届高三第一次统测，16】若数列的首项，且；令，则_【答案】【解析】由可知，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，因此14.【江西南昌市2017届摸底考试，14】已知数列的通项为，则数列的前50项和 .【答

10、案】100【解析】，所以15【河北石家庄2017届高三上学期第一次质检，15】已知数列的前项和为，数列为，若，则 【答案】【解析】因为，所以数列，是首项为公差为的等差数列，所以数列的前和令，解得，所以16.【重庆八中2017届高三上学期二调，17】已知数列中，（，）（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求的前和【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，又，故是以为首项，为公差的等差数列，（2），令，则，得：，17【湖北孝感2017届高三上学期第一次联考，17】（本小题满分12分）设正项等比数列的前项和为，且满足，.（）求数列的通项公式；（）设数列，求的前项和.【答案】（）；（）

11、. （）由（）知： 故当时，当时，当时，.18【山东省枣庄市2017届高三上学期期末，17】（本小题满分12分）已知为各项均为正数的数列的前项和,.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为,若对恒成立，求实数的最大值.【答案】(1)；(2)1 (2)由，可得.因为，所以，所以数列是递增数列，所以，所以实数的最大值是. 19【江门市2017届普通高中高三调研测试】已知是等差数列，求数列的通项公式；对一切正整数，设，求数列的前项和【答案】【解析】依题意，设数列的公差为，则，解得数列的通项公式由得，时，时，也符合上式，20【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试，17】（本小题满分12分）已知数列的前项和为.（）求的通项公式；（）若恰好依次为等比数列的第一、第二、第三项，求数列的前项和.【答案】（）;（）.【解析】（）当时，.当时，.检验时，上式符合.（）由题知成等比数列，即，解得.，公比.，.即上式两边乘以，得得.21【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，17】（本小题满分12分）为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【