数学归纳法与数列极限复习

1、课 题 数学归纳法与数列极限、等比数列的各项和教学目标1、 理解数列极限的概念，掌握极限的四则运算，会求数列极限；2、 掌握数学归纳法的步骤，并会用数学归纳法证明相应的命题；3、 会求等比数列的各项和。教学内容数学归纳法一知识点梳理：数学归纳法：数学归纳法是一种证明与正整数n有关的数学命题的重要方法.1.用数学归纳法证明命题的步骤为:验证当n取第一个值时命题成立,这是推理的基础;假设当n=k时命题成立.在此假设下,证明当时命题也成立是推理的依据;结论.2.探索性问题在数学归纳法中的应用（思维方式）: 观察归纳猜想推理论证.3.特别注意：(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立,注意不一定为

2、1;(2)在第二步中,关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由k到k+1时命题的变化二. 典型例题：【例1】在数列an中，a1=1，当n2时，an,Sn,Sn成等比数列 (1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；(3)求数列an所有项的和 命题意图 本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识 知识依托 等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤 采用的方法是归纳、猜想、证明 错解分析 (2)中，Sk=应舍去，这一点往往容易被忽视 技巧与方法 求通项可证明是以为首项，为公差的等差数列，进而求得通项公式 解 an,Sn,Sn成等比数列，Sn2=an(Sn)(

3、n2) (*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=由a1=1，a2=,S3=+a3代入(*)式得 a3=同理可得 a4=,由此可推出 an=(2)当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立 假设n=k(k2)时，ak=成立故Sk2=(Sk)(2k3)(2k1)Sk2+2Sk1=0Sk= (舍)由Sk+12=ak+1(Sk+1),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk)由知，an=对一切nN成立 (3)由(2)得数列前n项和Sn=,S=Sn=0 练习：1. 用数学归纳法证明n2 (nN,n5),则第一步应验证n= ;2.用数学归纳法证明:时, 第一步验证

4、不等式 成立；在证明过程的第二步从n=k到n=k+1成立时,左边增加的项数是 . 3、用数学归纳法证明“当为正奇数时,能被整除”第二步的归纳假设应写成( )A. 假设正确,再推正确B. 假设正确,再推正确C. 假设正确,再推正确D. 假设正确,再推正确4、用数学归纳法证明,在验证时,左边所得的项为( )A. 1 B. 1+ C. D. 5、用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n13（2n1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（ ）A.2k+1 B.2（2k+1） C. D.6、用数学归纳法证明“当是31的倍数”时,时的原式是 ,从到时需添加的项是 。【例2】已知,证明:(

5、该题主要考查了学生应用数学归纳法来证明的掌握情况)练习：1. 求证：【例3】 用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中nN* 【巩固练习】 1.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=（a1，nN*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是（ ） A.1B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a32 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A 30B 26C 36D 63 用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A n=1B n=2C n=3D n=44 观察下列式子 则可归纳出_ 5 已知a1=

6、,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_，由此猜想an=_极限一、知识回顾1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列an的项an无限地趋近于某个常数a，那么就说数列an以a为极限.注：a不一定是an中的项.2、几个常用的极限：（1）C=C（C为常数）;（2）=0; （3）qn=0（|q|1）.（4）=（kN *,a、b、c、dR且c0）;（5）3、数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当an=a,bn=b时 （anbn）=ab; （anbn）=ab; =（b0）.4、无穷等比数列：若无穷等比数列，其所有项的和（各项的和）为：5、常见的数列极限可以归纳为两大类:

7、第一类是两个关于自然数n的多项式的商的极限: 当时,上述极限不存在. 第二类是关于n的指数式的极限: 当或时,上述极限不存在.二、例题解析例1 、（）=_.巩固训练：1 ，则234、计算：_5、（卢湾4）计算：_6、（黄浦7） 7、（金山8）设数列(an)为等差数列，a1=1，公差为1，bn也是等差数列，b1=0，公差为2，则= 8、（崇明9）已知是数列前项和，（），则 .9、在数列中，且对任意大于1的正整数，点在直线 上，则_.例2、求下式的极限： 巩固练习：1 2、计算： 。例3、求下列各式的极限：1. 2. 3. 4、（嘉定9）若，则实数的取值范围是_ _注析：求极限时，把常数项提到极限

8、记号外面可以使运算变得很简洁。对于“指数型”的极限的解法要点是：分子分母同时除以最大（指绝对值最大）底数的n次方幂。当底数大小不确定时，应进行分类讨论。等比数列各项的和一、知识回顾1. 无穷等比数列通项公式:前n项和：2、 无穷等比数列各项和符号：显然：1），不存在2），不存在3），不存在4），3、定义：我们把的无穷等比数列前n项的和当时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，即S=() 。注：1、无穷等比数列前n项和与它的各项和S的区别与联系；前n项之和是数列中有限个项的和,而无穷等比数列各项的和是数列中所有的项的和,它们之间有着本质的区别。对有无穷多项的等比数列,我们是不可能把它们所有

9、的项一一相加的,而是通过对它的前n项之和取极限运算而求得,是用有限的手段解决无限的问题。2、求和前提：；公式表明它只求公比 的无穷等比数列各项的和.二、例题解析例4、是无穷等比数列，且所有项和存在，若，求的范围；巩固练习：1、“无穷等比数列和的极限存在”是“”的_条件。2、已知数列an中，a1=1，2an+1=an(n=1，2，3)，则这个数列前n项和的极限是（ ） A.2 B. C.3 D.3、一个无穷等比数列的各项和为9，各项平方的和为27，则4、在等比数列中，且前项和满足，那么的的取值范围是_.5、设数列是公比的等比数列，是它的前项和，若，那么的的取值范围是_.6、已知展开式的第7项为，

10、则 7、(浦东12)已知数列是等比数列，其前项和为，若，则_.8、（闵行12）已知无穷数列，其前项和为，且.若数列的各项和为，则 .解：9、在等比数列中，是数列前项和，公比，求.10、已知数列上无穷等比数列，且，则数列的 首项的取值范围是_11、已知等比数列，则 12、已知无穷数列前项和，则数列的各项和为 .13、（长宁15）无穷等比数列中，则首项的取值范围( ) . A B C D例5、已知各项均为正数的等比数列的首项，公比为，前n项和为，若，则公比为的取值范围是 。1、（卢湾13）若等比数列的前项和为，公比为，集合，则用列举法表示 2、设等比数列an(nN)的公比q=,且(a1+a3+a5+a2n-1)=,则a1= .作业：1、等差数列，的前n项和分别为Sn，Tn，若，则_。2、已知数列满足（），且，则（ ）(A) (B) (C) (D) 3、数列中，则（ ） (A) (B) (C) (D) 4、若数列的通项公式是，则（ ） (A) (B) (C) (D) 5、数列中， 则数列的极限值（） (A) 等于(B)等于 (C)