数量关系难点解析：牛吃草问题

1、数量关系难点解析：牛吃草问题在每年的公务员考试中，听到抱怨最多的就是数量关系模块，有些人面对难题毫无头绪，干脆放弃；也有些人耗费了大量时间，最终也还是没有做对。为此，考仕网（ ）名师特别挑选并解析数量关系难题：牛吃草问题。牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，

2、新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是： （1）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 原有草量,牛头数，吃的天数，草的生长速度（2）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；如果一批草场够头牛吃天, 够头牛吃天,N那么满足两方程相减得（3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；（4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为1，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原

3、有草的数量，进而解答题总所求的问题。核心公式： 草场草量（牛数每天长草量）天数基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变， 一般用来列方程每头牛每天吃草量不变， 一般设为“1”单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“x”1基础计算 例1:一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供20头牛吃12天，那么25头牛几天可以吃完？解法1：草的生长速度=（1620-2012）（20-12）=10牛/天 原有草量=1620-1020=120牛 吃的天数=120（25-10）=8天解法2：设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃n天。根据核心公式：(16-x)20（20x）12（25x）n（

4、16x）20（20x）12，得x10，代入得n8例2:有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？A.20B.25 C.30D.35解析:设该牧场每天长草量恰可供x头牛吃一天，这片草场可供n头牛吃4天根据核心公式：（10x）20（15x）10（nx）4（10x）20（15x）10，得x5，代入得n302吃草的动物不同 已知一片草地够10头牛吃24天，够36只羊吃20天，1头牛一天的吃草量够3只羊吃一天，这类不同动物吃草问题，应根据题意转化成同一种动物的吃草问题。例3:一片牧草，每天生长速度相同，可供14头牛吃30天，也可以供70只羊吃16天（一头牛1天的吃草量够

5、4只羊吃一天），那么17头牛和20只羊几天可以将草吃完？解法: 14头牛吃30天相当于56只吃30天，够70只羊吃16天； 17头牛和20只羊相当于只羊，草的生长速度原有草量吃的天数(天)3草量持续减少这类问题的特点是每天草量没有增长，反而减少，即每天增长量是负值，同样可以根据前面的公式做出来。例4 :由于天气逐渐冷起来，牧场上的草除了不长，反而以固定速度减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算可供多少头牛吃10天？（）A.4 B.5 C.6 D.8答案：B解法: 草的生长速度 原有草量可供头牛吃10天。4大小草场例5:如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后

6、可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？A.50 B.46 C.38 D.35答案:D解析:设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为y，24天内吃尽40公亩牧场的草，需要n头牛 根据核心公式：33y（2233x）54， 得y（23x）183654x 28y（1728x）84，得y（1728x）35184x 解方程，得x1/2，y9， 因此，409（n20）24，得n35，选择D【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。5动物或增或减在牛吃草问题中，草场不变，但吃草的牛的数量或增或减，对于这类问题，我们只需记住最本质的公式就行了。例6:一片牧草，每天生长速度相同，可供9头牛吃12天吃完，也可以供可供8头牛吃16天吃完，现在一开始有4头牛，从第7天开始增加了若干头牛，再过6天吃完所有的草，请问增加了几头牛？（ ） A. 6 B. 8 C.10 D.9答案:C解析：假设增加了头牛，原有草量,牛头