2014年全国高考理科数学试题及答案-重庆卷

1、20142014 年重庆高考数学试题（理）年重庆高考数学试题（理） 一一. .选择题：本大题共选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. . 1.在复平面内表示复数i(12i)的点位于（） A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 2.对任意等比数列an,下列说法一定正确的是（） A.a 1,a3,a9成等比数列 B.a 2 ,a 3,a6成等比数列 C.a 2 ,a 4 ,a 8成等比数列 D.a 2 ,a 3,a9成

2、等比数列 3. 已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数x 2.5， y 3.5，则由观测的数据得 线性回归方程可能为（） A.y 0.4x2.3B.y 2x2.4 C.y 2x9.5C.y 0.3x4.4 4.已知向量 a (k,3),b (1,4), c (2,1) ，且2a3bc，则实数 k= A. 9 B.0 2 C.3 D. 15 2 5. 执行如题（5）图所示的程序框图，若输出k 的值为 6，则判 断框内可填入的条件是。 As 6.已知命题 xp:对任意xR，总有2 0 ； 1374 B. s C. s D.s 21055 x 2的充分不必要条件 q: x 1是

3、则下列命题为真命题的是（） 1 A.pqB. p qC. p qD. p q 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A.54B.60C.66D.72 x2y2 2 1(a 0,b 0) 2 F，F ab 2分别为双曲线 8. 设 1 的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得 | PF 1 | | PF 2 | 3b,| PF 1 | PF 2 | 9 ab, 4 则该双曲线的离心率为（） 459 A.3B.3C.4D.3 9. 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则类节目 不相邻的排法种数是（） A.72B.120C.144D.

4、3 10.已知 ABC的 内角 A，B,C满足sin 2Asin(A BC) sin(C A B) 1 2 ，面积 满足 1 S 2，记a,b,c分别为A,B,C 所对的边，则下列不等式成立的是（） A.bc(bc) 8B. ac(a c) C.6 abc 12D.12 abc 24 二、填空题二、填空题 本大题共本大题共 6 6 小题，考生作答小题，考生作答 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分，把答案填在答题卡相应位分，把答案填在答题卡相应位 置上。置上。 11.设全集U nN |1 n 10, A1,2,3,5,8,B 1,3,5,7,9,则(CUA)B

5、_. 12.函数 f (x) logx log 2(2x)的最小值为_. B 两 点 ， 且13. 已 知 直 线 ax y 2 0 与 圆 心 为 C 的 圆 x1 ya 4 相 交 于 A， 22 2 ABC 为等边三角形，则实数a _. 考生注意：考生注意：1414、1515、1616 三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. . 14. 过圆外一点P作圆的切线PA（A为切点） ，再作割线PB， PC 分别交圆于B，C， 若PA 6，AC=8，BC=9，则 AB=_. x 2t l 15. 已知直线 的参数

6、方程为y 3t（t为参数） ，以坐标原点为极点，x正半轴为极轴 线l与曲线C的公共点的极经 _. 1 2x1 x 2 a2a 2 2 16. 若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 _. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算过程解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. . 17. （本小题 13 分， （I）小问 5 分， （II）小问 8 分） 已知函数f (x) 3sin(x)( 0, 相邻两个最高点的距离为. （I）求和的值； 2 2 )的图像关于直线x 3 对称，且图像上 （II）若f (

7、) 2 332 ()，求cos()的值. 2463 18.（本小题满分 13 分） 一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中4 张卡片上的数字是 1,3 张卡片上的数字 是 2,2 张卡片上的数字是 3，从盒中任取 3 张卡片. （1）求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; （2）X表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求X的分布列（注：若三个数a,b,c满足 a b c，则称b 为这三个数的中位数）. 19.（本小题满分 12 分） 如图（19） ，四棱锥 P ABCD ，底面是以 O 为中心的菱形， PO 底面 ABCD， 3 ，M为 BC 上一点，且BM 1 ,MP AP. AB

8、 2,BAD 3 2 （1）求 PO 的长； （2）求二面角A PM C的正弦值。 20.（本小题满分 12 分， （1）问 4 分， （2）问 3 分， （3）问 5 分） 2x2xf (x) aebecx(a,b,cR) 的导函数 f (x) 为偶函数， 且曲线 y f (x) 已知函数 在点 (0, f (0) 处的切线的斜率为4c. （1）确定 a,b 的值； （2）若c （3）若 21. 3，判断 f (x) 的单调性； f (x) 有极值，求c的取值范围. x2y2 1,F2，点 D 在椭圆上，如题（21）图，设椭圆 2 2 1(a b 0)的左右焦点分别为 F ab | F 1F

9、2 | 2 2 2 DF 1 F 1F2， | DF 1 | 1F2的面积为 2 .， DF （1）求该椭圆的标准方程； （2）是否存在圆心在 y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两 条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径. 4 22.（本小题满分 12 分， （1）问 4 分， （2）问 8 分） 设 a 1 1,a 2 n1 a n 2a n 2 b(nN*) （1）若b 1，求 a 2 ,a 3及数列an的通项公式； （2）若b 1，问：是否存在实数c使得a2n c a2n1对所有nN*成立？证明你的结论。 5 参考答案参考答案 一、选择题：本题考

10、查基本知识和基本运算。每小题5 分，满分 50 分。 1.A2.D3.A4.C5.C6.D7.B8.B9.B10.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5 分，满分 25 分。 11. |7，9|12. 1 4 13. 4 15 14. 415. 5 16. -1， 1 2 三、解答题：满分 75 分。 17. （本题 13 分） 解： （）因f (x)的图像上相邻两个最高点的距离为，所以f (x)的最小正周期T ，从 而 2 2； T 又因f (x)的图像关于直线x 3 对称，所以 2 因为 3 k 2 ,k 0,1,2,. 2 2 ，得k 0， 所以 2 2 36 （）由（）得

11、f ( ) 3sin(2 2 3 ) 264 所以sin( 由 6 ) 1 4 6 2 得0 ， 362 所以cos( 因此cos( 115 ) 1sin2() 1( )2 6644 3 ) sin 2 sin() 66 sin()coscos()sin 6666 1315 1 4242 6 18.（本题 13 分） 3 15 8 解： （）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 33C 4 C 3 5 p 3C 9 84 （）的所以可能值为 1，2，3，且 213C 4 C 5 C 4 17 P(1) 3C 9 42 11113C 3C4C2 C 3 2C 6 C 3 43 P( 2) 3C

12、 9 84 21C 2 C1 P(3) 3 7 C 9 12 故的分布列为 123 17 P 42 17431 23 从而E() 1 428412 19.（本题 13 分） 43 84 47 28 1 12 解： （） 如答 （19） 图， 连结 AC， BD， 因 ABCD 为菱形，则AC BD O，且AC BD，以 O为坐标原点，OA,OB,OP的方向分别为x 轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系 O xyz。 因BAD 3 ， 故OA ABcos 6 3，OB ABsin 6 1， 所以O(0,0,0,), A( 3,0,0), B(0,1,0),C( 3,0,0)，OB (0,1

13、,0)，BC ( 3,1,0)， 7 由BM 1131 ,BC2，知BMBC(,0)， 2444 从而OMOBBM( 3 33 3 , ,0)，即M (, ,0)， 4444 33 ,a)， 44 设P(0,0, a), a0，则AP(3,0, a), MP( 因为MP AP ， 所以MP AP0，即 3333 a20，所以a （舍去） ，即PO ,a 4222 （）由（）知AP(3,0, 33333 ), MP(,), CP( 3,0,)，设平面APM 的法 24422 向量为n 1 (x 1,y1,z1)，平面 PMC 的法向量为n 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 )， 3 z 1 0,

14、3x 15 3 2 由n 1 AP0,n 2 MP0，得 故可取n 1 (1,2)， 3 3 x 3 y 3 z0, 111 442 333 xyz0, 4 2 4 2 2 2 由n2MP0,n2CP0，得故可取n2(1 ,3, 2)， 3x 3 z0, 22 2 从而法向量n 1,n2 的家教的余弦值为 cosn 1,n2 n 1 n 2 15 ， |n 1 | |n 2 |5 10 。 5 故所求二面角A PMC的正弦值为 20. （本题 12 分） 2x2x 解： （）对f(x)求导得f (x)2ae2bec， 2x2x 由f (x)为偶函数，知f ( x) f (x)，即2(ab)(

15、ee)0， 8 因为e2xe2x 0，所以a b， 又f (0) 2a2bc 4c，故a 1,b 1 （）当c 3时，f (x) e2xe2x3x，那么 f (x) 2e2x 2e2xc 2 2e2x2e2x3 1 0 故f (x)在R上为增函数。 2x （）由（）知f (x) 2ae2x2be2xc，而2e2x2e2x2 2e2x2e 4 ，当x 0时等 号成立。 下面分三种情况进行讨论。 当c 4时，对任意xR, f (x) 2e2x2e2xc 0，此时f (x)无极值； 当c 4时，对任意x 0, f (x) 2e2x2e2x4 0，此时f (x)无极值； 2cc216 ) 0 当c 4

16、时， 令e t， 注意到方程2t c 0有两根t 1,2 即f (x 0， t4 2x 有两个根x 1 11 lnt 1 或x2 lnt 2 。 22 当x 1 x x 2 时，f (x) 0；又当x x2时，f (x) 0，从而f (x)在x x2处取得极小值； 综上，若f (x)有极值，则c的取值范围为(4,)。 21.（本题 12 分） 解： （）设F 1(c,0), F2 (c,0)，其中c a b ， 由 222 | F 1F2 | FF |2 2 2，得| DF 1 |12c， | DF 1 |22 2 12 2 2 | DF 1 | F 1F2 |c ，故c 1， 222 923

17、 2 222| DF | | DF | | FF | | DF | ，由DF得，因此。 FF 21122112 222 从而SDF 1F2 从而| DF 1 | 222 所以2a | DF 1 | DF 2 | 2 2，故a 2,b a c 1 9 因此，所求椭圆的标准方程为 x2 y21 2 x2 y21 （） 如答 （21） 图， 设圆心在y轴上的圆 C 与椭圆 2 相交，P 1(x1, y1),P2 (x 2 , y 2 )是两个交点，y 1 0，y 2 0，F 1P1， F 2P2 是圆 C 的切线，且F 1P1 F 2P2 。由圆和椭圆的对称性，知 x 2 x 1, y1 y 2 ,

18、| PP 12 | 2| x 1 |， 由 （ ）知F,0), F 2 (1,0) ， 所 以F 1 P 1, y 1) ， 1(11 ( x 1 22 ，再由得FP F P(x 1) y 0，F 2P (x 1, y )1 12211211 x 1 2 2 (x 1 1) 由椭圆方程得1，即3x 1 24x 1 0，解得 2 4 x 1 或x 1 0， 3 当x 1 0时，P 1,P2 重合，此时题设要求的圆不存在； 当x 1 4 时，过P 1,P2 分别与F 1P1,F2 P 2 垂直的直线的交点即为圆心C； 3 由F 1P1,F2 P 2 是圆 C 的切线，且F 1P1 F 2P2 ，知

19、CP 1 CP 2 ，又|CP 1 |CP 2 |，故圆 C 的半径 |CP 1 | 24 2 。 | PP |2 | x | 121 23 22.（本题 12 分） （）解法一：a2 2,a3 2 1， 再由题设条件知 (a n1 1)2 (a n 1)21 从而|(a n 1) |是首项为 0 公差为 1 的等差数列， 故(a n 1)2 n1，即a n n11(nN*) 2 10 解法二：a 2 2,a 3 2 1， 可写为a 1 111，a 2 211，a 3 311，因此猜想a n n11 下面用数学归纳法证明上式： 当n 1时结论成立， 假设n k时结论成立，即a k k 11，则

20、 a k1 (a k 1)211(k 1)11(k 1)11 这就是说当n k 1时结论成立 所以a n n11(nN*) （）解法一：设f (x) (x1)211，则a n1 f (a n )， 令c f (c)，即c (c1)211，解得c 1 4 ， 下面用数学归纳法证明加强命题a 2n c a 2n1 1 当n 1时，a2 f (1) 0，a 3 f (0) 2 1，所以a 2 1 4 a 3 1，结论成立。 假设n k时结论成立，即a2k c a2k11 易知f (x)在(,1上为减函数，从而 c f (c) f (a 2k1) f (1) a2 ，即 1 c a 2k2 a 2 再由f (x)在(,1上为减函数得c f (