2017北京海淀北理工附中高二(上)期中数学(理)

1、2017 北京海淀北理工附中高二（上）期中数学（理） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1抛物线y2 x的焦点坐标为（） 1 A ,0 2 1 B ,0 2 1 C ,0 4 1 D0, 4 x2y2 1(a 0)的渐近线方程为3x2y 0，则a的值为（）2设双曲线 2 a9 A1B2C3D4 3已知直线l 1 :(a3)x2y 10，直线l 2 :ax y 3 0，则“a 2”是“l 1 l 2 ”的（） A充分不必要

2、条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件 4方程mx ny2 0与mx2 ny21(|m|n| 0)的曲线在同一坐标系中的示意图应是（） y AB y C y D y OxOxOx Ox x2y2 5已知椭圆 2 2 1(a b 0)的长轴端点为A 1 ，A 2 ，短轴端点为B 1 ，B 2 ，焦距为2，若B 1AB12 为等边三角形， ab 则椭圆的方程为（） x2y22x23x2x2y2 221 B3y 1D12y 1CA 62416123 6已知圆C与 y 轴相切于点(0,2)，x轴正半轴截圆C所得线段的长度为4 3，则圆C的圆心坐标为（） A(2 3,2)B(2,2 3

3、)C(4,2)D(2,4) x2 7已知椭圆C: y21，直线l: y x 2 3，则椭圆C上的点到直线l的最大距离为（） 2 3 6 C 3 D3 3 2 8曲线C是平面内与定点F(2,0)和定直线x 2的距离的积等于4的点的轨迹给出下列四个结论：曲线C过 A 6 2 B 坐标原点；曲线C关于x轴对称；曲线C与 y 轴有3个交点；若点M在曲线C上，则|MF |的最小值为 2( 2 1)，其中，所有正确结论为（） ABCD 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 9已知命题p:

4、xR R，x2 x10，则p:_ 22 ( y 2) r2r ( 相0)切，则直线l方程为_；10经过点(0,1)和点(1, 3)的直线l与圆C : (x 1) r _ 5 11已知抛物线C : y2 4x的焦点为F，A(x 0 ,y 0 )是C上一点，| AF |x0，则x 0 _ 4 12已知长方形ABCD，AB4，BC 3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_ x2y2 13已知双曲线 2 2 1(a 0,b 0)的左焦点为F，离心率为 2，若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线 ab 的一条渐近线，则双曲线的方程为_ 1 1 / 8 8 x2y2 )，使| FP1的

5、右焦点，且椭圆上至少有10个不同的点P14设F是椭圆 i (i 1,2,3, 1 |，| FP 2 |，| FP 3 |， 2516 组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 4 小题，共小题，共 4444 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15已知直线l经过点P(2,4)，直线l 1 :x y 1 0 （）若直线l的斜率为2，求直线l方程 （）若ll 1 ，直线l与x轴、 y 轴分别交于点A、B，求AOB（O为坐标原点）的面积 16已知定点M(2,4)及抛物线C : y2 2px(p 0)，抛物线

6、C的焦点为F且准线l恰好经过圆K :x2 2x y2 0的 圆心K （）求抛物线C的标准方程 （）过点F作MK的平行线交抛物线C于A、B两点，求| AB|的长 17在平面直角坐标系xOy中，点P到两点( 3,0)，( 3,0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C （）写出C的方程 （）设直线y k(x1)与C交于A，B两点，k为何值时OAOB？此时| AB|的值是多少？ x2y2x2y2 18如图，曲线由曲线C 1 : 2 2 1(y0)和曲线C 2 : 2 2 1(y 0)组成，其中a b 0，点F 1 ，F 2 为曲线 abab C 1 所在圆锥曲线的焦点，点F 3 ，F 4 为曲线C2所在

7、圆锥曲线的焦点，F 2 (2,0)，F 3(6,0) （）求曲线的方程 （）若直线l 1 过点F 4 交曲线C 1 于点A、B，求ABF 1 面积的最大值 y F2 O F4 x F3F1 2 2 / 8 8 数学试题答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 【答案】C 【解析】根据题意，抛物线开口向右，焦点在x轴的正半轴上，且2p 1， p1 24 1 抛物线y2 x的焦点坐标是 ,0， 4 故选C 2 【答案】B

8、x2y2 1(a 0)得双曲线的焦点在x轴上，b29，【解析】由双曲线的标准方程 2 a9 b 渐近线方程为y x， a 3 即y x， a 3 由已知条件渐近线方程为y x，所以a 2， 2 故选B 3 【答案】A 【解析】若l 1 l 2 ，则 解得a 1或a 2， 所以“a 2”是“l 1 l 2 ”的充分不必要条件， 故选A 4 【答案】A 2 【解析】方程mx ny2 0及y a3 (a) 1，即a23a2 0， 2 m x，表示抛物线， n 方程mx2 ny21(|m|n| 0)表示椭圆或双曲线， 当m和n同号时，抛物线开口向左， 方程mx2 ny21(|m|n| 0)表示焦点在

9、y 轴的椭圆，无符合条件的选项； 2 当m和n异号时，抛物线y m x开口向右， n 方程mx2 ny21(|m|n| 0)表示双曲线， 故选A 5 【答案】B 3 3 / 8 8 【解析】B 1A1B2 为等边三角形， a 3b，又c 1，a2b2c2， 2 解得a 3 ，b21，c21， 2 x2y2 1 则椭圆的方程为31， 22 2x2 2y21，即 3 故选B 6 【答案】A 【解析】设圆心为(a,b)，由于圆于 y 轴相切于(0,2)，故b2 又x轴正半轴截圆C所得线段的长度为4 3， 故a 2 3，则圆C的圆心坐标为(2 3,2)， 故选A 7 【答案】B 【解析】设椭圆平行于直

10、线y x 2 3的切线为y xm，代入椭圆方程得3x24mx2m22 0， 则 16m212(2m22) 0，解得m 3， 则切线方程为y x3 由于y x 2 3在椭圆上方，故直线y x 2 3与直线y x3之间的距离即为椭圆C上的点到直线l的最大距 离， dmax 3 33 6 ， 22 故选B 8 【答案】D 【解析】设动点的坐标为(x,y)，则(x2)2 y2| x2|4 当x 0时，y 0， 曲线C过坐标原点，故正确； 将(x2)2 y2| x2|4中的 y 用y代替，该等式不变， 曲线C关于x轴对称，故正确； 令x 0，则y 0，故曲线C与 y 轴只有1个交点，故错误； (x2)2

11、 y2| x2|4， 2 y 16 (x2)20，解得2 2x2 2， 2(x2) 44 2( 2 1)，故正确 | x2|22 2 22 若点M在曲线C上，则|MF | (x2) y 综上所述，所有正确的结论为， 4 4 / 8 8 故选D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 9 【答案】xR R，x2 x10 【解析】 对于含有全称量词命题的否定， 需将全称量词改为存在量词， 同时否定结论， 故p:xR R，x2 x10 10 5 5 【解析】直线l经过(0,1)和(1

12、,3)， 【答案】2x y 10； k l 31 2， 10 直线l的方程为y 1 2(x0)，即2x y 10， 直线l与圆C :(x 1)2(y 2)2 r2(r 0)相切， 圆心(1,2)到直线2x y 10的距离，d 11 【答案】4 【解析】根据抛物线的定义可得，A到焦点F的距离等于其到准线x 1的距离， 故x 0 1 |221|5 r 55 5 x 0 4 解得x0 4 12 1 2 【解析】AB4，BC 3，A、B为焦点，且椭圆过C，D两点， 【答案】 b2 c 2，3， a 又a2b2c2可得a 4，b 2 3， 故椭圆的离心率e 13 c1 a2 x2y2 【答案】1 88

13、【解析】设点F(c,0)(c 0)， 因为该双曲线的离心率为 2，所以 c 2， a 又经过F和D(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线， 所以kFP 40b ， 0(c)a 联立，解得b 2 2 又a2b2 c2，即a28 c2，联立，解得a28，c216， 5 5 / 8 8 x2y2 故双曲线的方程为1 88 14 2 2 【答案】 ,0 0, 3 3 【解析】椭圆中a 5，b4，c 3， | a c 2，a 10 | P若这个等差数列是增数列，则d 0，a 1 | PF 110F | a c 8 ， 2 a 10 a 1 9d 6，解得d ， 3 2 0 d 3 2 同理，若这个

14、等差数列是减数列，则d 0 3 2 2 故d的取值范围是 ,0 0, 3 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 4 4 小题，共小题，共 4444 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15 【答案】见解析 【解析】 （）直线l的斜率是2，且经过点P(2,4)，则由点斜式可得： 直线l的方程为y 4 2(x2)，即2x y 0 1 （）若直线ll 1 ，则kl k 1， l1 直线l的方程为y 4 (x2)，即x y 6 0， 令x 0，则y 6，令y 0，则x 6，故A(6,0)，B(0,6)， 1 S AOB 6618 2 16 【答案】

15、见解析 【解析】解： （）由已知圆K :x2 2x y2 0的圆心K(1,0)， 抛物线y2 2px的准线l恰好经过点k(1,0)， p 1，p 2 2 404 ， 2(1)3 故抛物线C的标准方程为y2 4x （）由已知kMK 直线AB过点(1,0)，且斜率为 4 ， 3 4 直线AB的方程为y (x1)，将AB的方程代入抛物线得 3 4x217x40， 设A(x 1,y1) ，B(x 2,y2 )，则x 1 x 2 17 ， 4 6 6 / 8 8 故| AB| x 1 x 2 p 17 【答案】见解析 1725 2 44 【解析】解： （）设P(x,y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以

16、( 3,0)，( 3,0)为焦点，以长半轴为2的椭圆， c 3，a 2，b a2c21 x2 故椭圆C的方程为 y21 4 y k(x1) （）联立 x 2，消去 y ，整理得：(4k21)x28k2x 4k24 0， 2 y 1 4 8k24k24 设A(x 1,y1) ，B(x 2,y2 )，则x 1 x 2 2 ，x 1x2 2 ， 4k 14k 1 3k2 y 1y2 k(x 1 1)k(x 2 1) k (x 1x2 x 1 x 2 1) 2 ， 4k 1 2 4k243k2k24 0，若OAOB，则x 1x2 y 1 y 2 24k 14k214k21 解得k 2 x 1 x 2 3212 ，x 1x2 1717 22 322 124 65 | AB|(1 k )(x 1 x 2 ) 4x 1x2 5 4 171717 故当k 2时，OAOB，此时| AB| 18 【答案】见解析 4 65 17 【解析】解： （）F 2 (2,0)，F 3(6,0) ， a 2b2 36 a 2 20 2 ，解得 2 ， 2a b 4b 16 x2y2x2y2 1(y0)和1(y 0)故曲线的方程为 20162016 x2y2 1(y0)，点F 4 (6,0)（）由（）知，曲线C 1 : 2016 设直线l 1 的方程为x my 6(m 0)， 联立