2018-2019学年贵州省贵阳一中高二(下)期中数学试卷-(解析版)

1、2 14. 设抛物线 y =4x的焦点为 F，A，B 两点在抛物线上，且 A，B，F 三点共线，过 AB 的中点 M 作 y轴的 2018-20192018-2019学年贵州省贵阳一中高二（下）期中数学试卷学年贵州省贵阳一中高二（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 1212小题，共 36.036.0分） 2 1.若函数 f （x）=4x -kx-8在5，8上是单调函数，则 k的取值范围是（） A.B.C.D. 2.满足集合 M1，2，3，4，且 M 1 ，2，4=1，4的集合 M 的个数为（） A.1B.2C.3D.4 3.等比数列an满足 a1=3，a1+a3+a5=21，则 a2a6=

2、（） A.6B.9C.36D.72 4.双曲线=1（m Z）的离心率为（） 垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若| PF |=，则 M 点的横坐标为_ 15. 在 ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a=bcosC+csin B，则角 B 为_ 2 16. 若函数 f （x）=x -（2a-1）x+a+1 是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是_ 17. 将边长为1的正三角形薄铁片， 沿一条平行于某边的直线剪成两块， 其中一块是梯形， 记S= 梯形的周长 梯形的面积 ， 则 S的最小值是_ 18. 设全集 U =0，1，2，3，4，集合 A=0，1，2，集

3、合 B=2，3，则（ U A） B=_ 三、解答题（本大题共6 6 小题，共 72.072.0分） 19. 已知椭圆 G ：=1（ab0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为 1 的直线 l与椭圆 G A.B.2C.D.3 5.若 f （x）为定义在区间G 上的任意两点 x1，x2和任意实数 （0，1），总有f （ x1+（1- ）x2）f （x1） +（1- ）f （x2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（） f （x）=，f （x）=，f （x）= ，f （x）= A.4B.3C.2D.1 D.不能判断 q的真假 6.若命题“p q”为假，且“p”为假，则（）

4、 A.p 或 q 为假B.q 假C.q 真 7.数列an满足 a1= ，=-1（n N*），则 a10=（） A. A.程序流程图 B. B.工序流程图 C. C.知识结构图 D. D.组织结构图 8.某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（） 9.如图，在正方体ABCD -A 1B1C1D1中，E、F 分别为 BC 、BB1的中点，则下列直 线中与直线 EF 相交的是（） A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 10. 设函数 F（x）= 交与 A、B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2） （）求椭圆 G 的方程； （）求 PAB 的面积

5、 20. 某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500 元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应， 此时每台空调器仅获利润200元 n N） （） 若该商场周初购进 20台空调器， 求当周的利润 （单位： 元） 关于当周需求量 n （单位： 台， 的函数解析式 f （n）； （）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量 n（单位：台），整理得表： 周需求量 n 频数 18 1 19 2 20 3 21 3 22 1 是定义在 R 上的函数，其中f （x）的导函数为f （x），满足f （x）f （x

6、）对于x R 恒成立，则（） A.，B.， C.，D.， 11. 在张邱建算经中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，末一 日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10 日时，大约已经完成三十日织布总量的（） A.B.C.D. 12. P 是双曲线 以 10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X 表示当周 的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望 21. 设 M 是焦距为 2 的椭圆 E：+=1（ab0）上一点，A、B 是椭圆 E 的左、右顶点，直线 MA 与 =1（a0，b0）右支上一点，F 1、F2分别是左、右焦点，

7、且焦距为2c，则 PF1F2 的内切圆圆心的横坐标为（） A.aB.b 二、填空题（本大题共6 6 小题，共 18.018.0分） MB 的斜率分别为 k1，k2，且 k1k2=- C.cD. （1）求椭圆 E 的方程； （2）已知椭圆 E：+=1（ab0）上点 N（x0，y0）处切线方程为+=1，若 P 是直线 x=2 上 x2-ax+a）在区间（2，+ ）上是减函数，则实数a的取值范围是_13. 已知函数 y=（ 任意一点，从 P 向椭圆 E 作切线，切点分别为 C、D ，求证直线 CD 恒过定点，并求出该定点坐标 第 1 页，共 8 页 （）在（）抽取的 6人中随机抽取 2 人，求所抽取

8、的人中恰好没有第3组人的概率 22. 如图，点 A是单位圆与 x轴正半轴的交点，B（- ， ） （I）若AOB=，求 cos+sin的值；24. 某班 50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩 （II） 设点 P为单位圆上的一个动点， 点 Q满足 =+ 若AOP=2，分组区间是： 表示|，并求|的最大值40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100 （）求图中 x 的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数； （） 从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人， 求这 2 人成绩均不低于 90分的概率 23. 为了了解湖南各景

9、点在大众中的熟知度，随机对1565岁的人群抽样了 n 人，回答问题“湖南省有哪 几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表 组号分组回答正确的人数 回答正确的人数 占本组的频率 第 1组15，25）a0.5 第 2组25，35）18x 第 3组35，45）b0.9 第 4组45，55）90.36 第 5组55，653y （）分别求出 a，b，x，y 的值； （）从第 2，3，4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第 2，3，4 组每组各抽取多少 人？ 第 2 页，共 8 页 答案和解析 1.【答案】C 【解析】 4.【答案】B 【解析】 2 解：由题意，m -40且 m0，mZ，m=1

10、解：根据二次函数的性质知对称轴， 22 双曲线的方程是 y -x =1 22 a =1，b =3， 222 c =a +b =4 在5，8上是单调函数则对称轴不能在这个区间上 ，或， 得 k40，或 k64 故选：C 根据二次函数的性质知对称轴 ，或 ，在5，8上是单调函数则对称轴不能在这个区间上， a=1，c=2， 离心率为 e=2 故选：B 由双曲线方程求出三参数 a，b，c，再根据离心率 e=求出离心率 本题的考点是双曲线的简单性质，考查由双曲线的方程求三参数，考查双曲线中三参数的关系： c2=a2+b2 5.【答案】B 【解析】 ，解出不等式组求出交集 本题考查二次函数的性质，本题解题

11、的关键是看出二次函数在一个区间上单调，只有对称轴不 在这个区间上，本题是一个基础题 2.【答案】B 【解析】 解：M1，2，4=1，4， 1，4 是 M 中的元素，2 不是 M 中的元素 M1，2，3，4， M=1，4或 M=1，3，4 故选：B 根据 M1，2，4=1，4得到 1，4M，即可得到结论 本题主要考查集合的基本运算，根据集合关系是解决本题的关键，是基础题 3.【答案】D 【解析】 解：由区间 G上的任意两点 x1，x2和任意实数 （0，1）， 总有 f（x1+（1-）x2）f（x1）+（1-）f（x2）， 等价为对任意 xG，有 f（x）0成立（f（x）是函数 f（x）导函数的导

12、函数）， f（x）= f（x）= f（x）= 成立， 故为“上进”函数； f（x）=的导数 f（x）= ，f（x）=，当 x（2，3）时，f（x）0恒成立 的导数f（x）= 的导数 f（x）= ，f（x）= ，f（x）=- ，故在（2，3）上大于0恒成立，故为“上进”函数； 0 恒成立，故不为“上进”函数； ，f（x）= 0 恒的导数 f（x）= 解：设等比数列an的公比为 q， 242 a 1=3，a1+a3+a5=21，3（1+q +q ）=21，解得 q =2 则 a2a6=9q6=72 故选：D 利用等比数列的通项公式即可得出 本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属

13、于中档题 故为“上进”函数 故选：B 第 3 页，共 8 页 由新定义可得函数在区间 G上即为严格下凸函数，求 f（x0恒成立即可判断 本题考查新定义的理解和运用，同时考查导数的运用，以及不等式恒成立问题，属于中档题 6.【答案】B 【解析】 解：用来描述系统结构的图示是结构图， 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示 故选：D 用来描述系统结构的图示是结构图，某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组 织结构图表示 本题考查结构图和流程图的概念，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 9.【答案】D 【解析】 解：因为“p”为假， 所以 p 为真； 又因为“pq”为假

14、， 所以 q 为假 对于 A，p或 q 为真， 对于 C，D，显然错， 故选：B 根据复合命题的真值表，先由“p”为假，判断出 p为真；再根据“pq”为假，判断 q 为假 本题考查复合命题的真假与构成其两个简单命题的真假的关系：“pq”全真则真；：“pq”全假 则假；“p”与 p真假相反 7.【答案】C 【解析】 解：根据异面直线的概念可看出直线 AA1，A1B1，A1D1都和直线 EF 为异面直线； B1C1和 EF在同一平面内，且这两直线不平行； 直线 B1C1和直线 EF 相交，即选项 D正确 故选：D 根据异面直线的定义便可判断选项 A，B，C 的直线都和直线 EF异面，而由图形即可看

15、出直线 B1C1和直线相交，从而便可得出正确选项 考查异面直线的概念及判断，平行直线和相交直线的概念及判断，并熟悉正方体的图形形状 解： 数列 a n=1- a 10= - =-1（nN*）， =-1， 是等差数列，首项为=-2，公差为-1 10.【答案】D 【解析】 解：F（x）= ，因为 f（x）f（x）， 所以 F（x）0，所以 F（x）为减函数， 因为 20，20170， 所以 F（2）F（0），F（2017）F（0）， 即 2 ，所以 f（2）e f（0）； =-2-（n-1）=-n-1， = ，即 f（2017）e 故选：D 2017f（0）； 故选：C 两条等差数列的通项公式即可

16、得出 对f（x）求导，利用f（x）f（x）得到单调性，利用单调性求2与0以及2017与0的函数值的大小 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 8.【答案】D 【解析】 本题考查了利用函数的单调性判断函数值的大小关系；关键是正确判断F（x）的单调性，并正确 运用 第 4 页，共 8 页 11.【答案】B 【解析】故有，解得 a4， 解：由题意可得：每日的织布量形成等差数列an，且 a1=5，a30=1， 设公差为 d，则 1=5+29d，解得 d=- 10+ S 10=5 S30=90 0.49=49% = 故实数 a的取值范围是 a4， 故答案为：a4 2 令 t

17、=x -ax+a，则由题意可得函数 t 在区间2，+）上为增函数且 t（2）0，故有 该女子到第 10 日时，大约已经完成三十日织布总量的 故选：B 利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 ，由此解得实数 a的取值范围 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题 14.【答案】2 【解析】 2 解：抛物线方程为 y =4x，本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12.【答案】A 【解析】 抛物线的焦点为 F（1，0），准线为 l：x=-1， 设 A（x1 ，y1），B（x2，y2），直线 AB的方程为 y=k（x-

18、1）， 2 222 代入抛物线方程消去 y，得 k x -（2k +4）x+k =0， 解：如图设切点分别为 M，N，Q， 则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与 Q横坐标相同 由双曲线的定义，PF1-PF2=2a 由圆的切线性质 PF1-PF2=FIM-F2N=F1Q-F2Q=2a， F 1Q+F2Q=F1F2=2c， F 2Q=c-a，OQ=a，Q横坐标为 a 故选：A 将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点 Q的横坐标，PF1-PF2=F1Q-F2Q=2a， F1Q+F2Q=F1F2解出 OQ 本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义 13.【答案】a4 【解析】 2 解：令

19、t=x -ax+a，则由函数 f（x）=g（t）= x 1+x2= ，x1x2 =1， 过 AB的中点 M 作准线的垂线与抛物线交于点 P， 设 P 的坐标为（x0，y0），可得 y0= （y1+y2）， y 1=k（x1-1），y2=k（x2-1）， y 1+y2=k（x1+x2）-2k=k 得到 y0=，所以 x0= |PF|=， 因此 x1+x2= =，解之得 k2=2， =4， -2k=， ，可得 M（，） t 在区间2，+）上为减函数， M 点的横坐标为（x1+x2）=2， 故答案为：2 求出抛物线焦点为 F（1，0），准线为 l：x=-1设 A（x1，y1）、B（x2，y2），直线

20、 AB的方程为 y=k 第 5 页，共 8 页 可得函数 t 在区间2，+）上为增函数且 t（2）0， （x-1），由 AB方程与抛物线方程消去 y得关于 x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出算 2 出 P 的坐标，根据|PF|=，利用点到两点间的距离公式解出 k =2，从而算出 x1+x2=4，进而得到 实数 a的取值范围 本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想 17.【答案】 答案 本题主要考查了抛物线的性质利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，把线段 长度的转化为点的横坐标的问题 15.【答案】 【解析】 【解析】 解：设剪成的小正三角形的边长为 x，则梯形的周

21、长为 3-x， 梯形的面积为 S= S= ， （0x1）， ， 解：因为 a=bcosC+csinB，由正弦定理知 sinA=sinBcosC+sinCsinB， 在ABC中，A=-（B+C）， 由和得 sinBsinC=cosBsinC， 而 C（0，）， 所以 sinC0， 所以 sinB=cosB， 又 B（0，）， 所以 B= 故答案为： 已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出 tanB 的值，由 B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 B的度数； 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属 于基础

22、题 16.【答案】a| 或 【解析】 2 解：二次函数 f（x）=x -（2a-1）x+a+1 的对称轴为 x=a-， 令 S=0，0x1，x=， 当 0x时，S0，当x1 时，S0， x=时，S 取极小值，也为最小值，且为 故答案为： 先设剪成的小正三角形的边长为x，用x表示出梯形的周长和面积，从而得到S的解析式，对函 数 S 进行求导，令导函数等于 0求出 x 的值，根据导函数的正负判断函数的单调性进而确定最 小值 本题考查函数中的建模应用，以及函数的最值求法，考查导数知识的运用，属于中档题 18.【答案】2，3，4 【解析】 解：全集 U=0，1，2，3，4，集合 A=0，1，2， C

23、UA=3，4， 又 B=2，3， （CUA） B=2，3，4， 故答案为：2，3，4 f（x）=x2-（2a-1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧， a-2，或 a- 1，a，或 a， 故答案为：a|a，或 a 先求出二次函数的对称轴，由题意知，区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧，列出不等式解出 先有补集的定义求出 CUA，再再交集的定义求出（CUA） B 本题考查交、并、补集的混合运算，解题的关键是根据集合运算的定义进行运算，求出（CUA） B，本题考查了集合运算的能力 第 6 页，共 8 页 19.【答案】解：（）由已知得，c=， ， 222

24、解得 a=，又 b =a -c =4， P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1， X 的分布列为 X P 8800 0.1 9400 0.2 10000 0.3 10200 0.3 10400 0.1 所以椭圆 G的方程为 （）设直线 l的方程为 y=x+m， 得 4x2+6mx+3m2-12=0由 0.1+94000.2+100000.3+102000.3+104000.1=9860EX=8800 【解析】 （I）对 n 分类讨论，利用利润与周需求量的关系即可得出 （II）利用频率估计概

25、率，利用随机变量的分布列即可得出 本题考查了利润与需求量的关系、频率估计概率、随机变量的分布列及其期望，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 +=1，21.【答案】（1）解：设 A（-a，0），B（a，0），M（m，n），则 22 即 n =b 设 A，B 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1x2），AB的中点为 E（x0，y0）， 则 x0=- ， y0=x0+m= ， 因为 AB 是等腰PAB的底边， 所以 PEAB， 所以 PE 的斜率 k=， 解得 m=2 2 此时方程为 4x +12x=0 解得 x1=-3，x2=0， 所以 y1=-1，y2=2， 所以|AB|=3，此

26、时，点 P（-3，2） 到直线 AB：y=x+2距离 d= ， 由 k1k2=- ，即 =- ， 即有=- ， ， 22222 即为 a =2b ，又 c =a -b =1， 22 解得 a =2，b =1 2 即有椭圆 E的方程为 +y =1； 所以PAB的面积 s= |AB|d= 【解析】 （）根据椭圆离心率为，右焦点为（ ，0），可知 c= 222 ，可求出 a的值，再根据 b =a -c （2）证明：设点 P（2，t），切点 C（x1，y1），D（x2，y2）， 则两切线方程 PC，PD分别为：+y1y=1，+y2y=1， 求出 b 的值，即可求出椭圆 G的方程； （）设出直线 l 的

27、方程和点 A，B的坐标，联立方程，消去 y，根据等腰PAB，求出直线 l 方程 和点 A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出PAB 的 面积 此题是个中档题考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位 置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力 20.【答案】解：（I）当 n20 时，f（n）=50020+200（n-20）=200n+6000， n-100当 n19时，f（n）=500（20-n）=600n-2000， （II）由（1）得 f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000

28、，f（21）=10200，f（22）=10400， 由于 P点在切线 PC，PD上，故 P（2，t）满足+y1y=1，+y2y=1， 得：x1+y1t=1，x2+y2t=1， 故 C（x1，y1），D（x2，y2）均满足方程 x+ty=1， 即 x+ty=1为 CD的直线方程 令 y=0，则 x=1， 故 CD过定点（1，0） 【解析】 （1）设A（-a，0），B（a，0），M（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理，注意整体 代入，解方程即可求得 a，b，进而得到椭圆方程； （2）设点P（2，t），切点C（x1，y1），D（x2，y2），运用椭圆上一点的切线方程，再代入P点，可

29、得直 线 CD 的方程，再令 y=0，即可得到定点 第 7 页，共 8 页 本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运 算能力和综合解题能力解题时要注意运算能力的培养 22.【答案】（本小题 13分） 解：（）点 A是单位圆与 x轴正半轴的交点，B（- ， ） 可得 sin= ，cos=，cos+sin= = （）因为 P（cos2，sin2），A（1，0）所以 =（1+cos2，sin2）， =2|cos|，因为，所以 =2|cos|， 所以 |的最大值 | 【解析】 的值； （II）因为第 2，3，4组回答正确的人数共有 54 人，抽取比例为 组每组应抽取的人数； （III）列出从 6人中随机抽取 2人的所有可能的结果，共 15基本事件，其中恰好没有第 3组人共 3个基本事件，利用古典概型概率公式计算 本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频 率分布直方图 24.【答