2018年秋七年级上思维特训(十五)含答案：以数轴为载体的方程问题

1、思维特训(十五)以数轴为载体的方程问题 方法点津 1如图 15S1，数轴上点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，则 A，B 两点之间 的距离可以表示为 AB|ab|，或用右边的数减去左边的数为ABba. 图 15S1 2通常利用数轴上距离(路程)之间的数量关系，列出一元一次方程，解决相遇与追及 问题 相遇问题的基本相等关系是“两点初始距离等于两点所走的路程和”； 追及问题的基 本相等关系是“两点的路程差等于两点的初始距离” 典题精练 类型一相遇问题 1如图 15S2，已知数轴上有 A，B，C 三点，分别表示有理数26，10，10， 动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度向

2、终点C 移动，设点 P 移动的时间为 t 秒 (1)用含 t 的式子表示点 P 对应的数：_；用含 t 的式子表示点 P 和点 C 的距离： PC_ (2)当点 P 运动到点 B 时，点 Q 从点 A 出发，以每秒 3 个单位的速度向点 C 运动，点 Q 到达点 C 后，再立即以同样的速度返回点A，探究点P，Q 同时运动的过程中能否相遇，若 相遇，请求出相遇时 t 的值 图 15S2 2已知数轴上有 A，B，C 三点，分别表示12，5，5，两只电子蚂蚁甲、乙分别 从 A，C 两点同时出发，甲的速度是每秒2 个单位，乙的速度是每秒3 个单位 (1)若甲、乙相向而行，则甲、乙在数轴上的哪个点相遇？

3、 (2)若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到A，B，C 三点的距离之和为 20 个单位？ (3)在(2)的条件下，当甲到 A，B，C 三点的距离之和为 20 个单位时，甲调头返回，则 甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由 3甲、乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶，为了确定汽车的位置，我们用数轴表示这 条公路，并规定向右为正方向，原点O 为 0 km 路标，并作如下约定：位置为正，表示汽车 位于 0 km 右侧；位置为负，表示汽车位于0 km 左侧，位置为 0，表示汽车位于 0 km 处 (1)根据题意，填写下列表格： 时间(h) 甲车位置(km) 乙车位置(km) 0 150

4、 3 30 70 5 150 x (2)甲、乙两车能否相遇？如能相遇，求出相遇时间及相遇时的位置；如不能相遇，请 说明理由 (3)甲、乙两车能否相距120 km？若能，求出两车相距120 km 时的时间；若不能，请说 明理由 4数学问题：如图 15S3，在数轴上点 A 表示的数为20，点 B 表示的数为 40， 动点 P 从点 A 出发以每秒 5 个单位的速度沿正方向运动，动点Q 从原点出发以每秒 4 个单 位的速度沿正方向运动，动点 N 从点 B 出发以每秒 8 个单位的速度先沿负方向运动，到达 原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N 回到点 B 时，三点停止运动 图 15S3 (1)三

5、个动点运动 t(0t5)秒时，P，Q，N 三点在数轴上所表示的数分别为_， _，_ (2)当 QN10 个单位时，求此时点P 在数轴上所表示的数 (3)尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题： 码头 C 位于 A，B 两码头之间，且知AC20 海里，AB60 海里，甲船从A 码头顺流 驶向 B 码头，乙船从C 码头顺流驶向 B 码头，丙船从B 码头开往 C 码头后立即调头返回 B 码头已知甲船在静水中的航速为5 海里/时，乙船在静水中的航速为4 海里/时，丙船在静 水中的航速为 8 海里/时，水流速度为2 海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B 码头停 止 在整个运动过程

6、中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间， 且与 两船的距离相等？若存在，请求出此时甲船离B 码头的距离；若不存在，请说明理由 类型二追及问题 5动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正方向运 动，3 秒后，两点相距 15 个单位已知动点 A，B 的速度比是 14.(速度单位：单位/秒) (1)求出两个动点运动的速度，并在如图15S4 所示的数轴上标出 A，B 两点从原点 出发运动 3 秒时的位置； (2)若 A，B 两点从(1)中的位置同时向数轴负方向运动，则几秒后原点恰好处在两个动 点正中间？ (3)在(2)中 A，B 两点继续同时向数轴负方向

7、运动时，另一动点C 同时从 B 点位置出发 向 A 点运动，当遇到 A 后，立即返回向B 点运动，遇到 B 点后立即返回向 A 点运动，如此 往返，直到 B 追上 A 时，点 C 立即停止运动若点C 一直以 20 单位/秒的速度匀速运动， 则点 C 从开始到停止运动，运动的路程是多少单位？ 图 15S4 详解详析详解详析 1解：(1)26t36t (2)点 Q 返回前相遇：3(t16)t， 解得 t24； 点 Q 返回后相遇：3(t16)t362. 解得 t30. 综上所述，点 P，Q 同时运动的过程中能相遇，相遇时t 的值是 24 或 30. 2解：(1)设甲、乙行驶 x 秒时相遇 根据题意

8、，得 2x3x17，解得 x3.4，23.46.8， 126.85.2. 答：甲、乙在数轴上表示5.2 的点处相遇 (2)设 y 秒后甲到 A，B，C 三点的距离之和为 20 个单位， 点 B 距 A，C 两点的距离之和为 7101720，点 A 距 B，C 两点的距离之和为 7 172420，点C 距 A，B 两点的距离之和为 17102720，故甲应位于A，B 或 B，C 之间 当甲位于 A，B 之间时，得 2y(72y)(72y10)20，解得 y2； 当甲位于 B，C 之间时，得 2y(2y7)(172y)20，解得 y5. 答：若甲、乙相向而行，2 秒或 5 秒后甲到 A，B，C 三

9、点的距离之和为 20 个单位 (3)能甲从点 A 向右运动 2 秒时返回，设 a 秒后与乙相遇此时甲、乙在数轴上对 应同一点，所表示的数相同 甲表示的数为12222a；乙表示的数为 5323a， 依据题意，得12222a5323a， 解得 a7， 相遇点表示的数为12222a22； 甲从点 A 向右运动 5 秒时返回，设 b 秒后与乙相遇 此时甲表示的数为12252b；乙表示的数为 5353b， 依据题意，得12252b5353b， 解得 b8(不合题意，舍去) 即甲从点 A 向右运动 2 秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为22. 3解：(1)填表如下： 时间(h) 甲车位置(km

10、) 乙车位置(km) 0 150 50 3 30 70 5 150 150 x 15060 x 5040 x (2)能相遇由题意，得 15060 x5040 x， 解得 x2，15060230. 答：相遇时间为 2 h，且位于 0 km 路标右侧 30 km 处 (3)能15060 x1205040 x，解得 x3.2； 15060 x1205040 x，解得 x0.8. 答：两车相距 120 km 时的时间为 0.8 h 或 3.2 h. 4解：(1)205t4t408t 10 (2)点 Q，N 相遇的时间为秒，点 Q 到点 B 的时间为 10 秒，点 N 到点 O 的时间为 5 3 秒，点

11、 N 从出发到返回到点 B 的时间为 10 秒 点 N 到点 O 前，点P 所表示的数为205t；点Q 所表示的数为 4t；点N 所表示的数 为 408t. 点 Q，N 相遇前，如图(a)：408t4t10，解得 t2.5， 此时点 P 所表示的数为2052.57.5； 25 点 Q，N 相遇后，点 N 到达点 O 前，如图(b)，4t(408t)10，解得 t， 6 255 此时点 P 所表示的数为205 ； 66 点 Q，N 相遇后，点 N 到达点 O 后，如图(c)， 点 P 所表示的数为205t；点 Q 所表示的数为 4t；点 N 所表示的数为 8(t5)， 4t8(t5)10，解得

12、t7.5， 此时点 P 所表示的数为2057.517.5. (3)存在由数学问题的解题经验可建立如图(d)所示的数轴，点 A 所表示的数为20， 点 C 所表示的数为 0， 点 B 所表示的数为 40.甲从点 A 出发以每秒 7 个单位的速度向点B 运 动，乙从点 C 出发以每秒 6 个单位的速度向点 B 运动，丙从点 B 出发以每秒 6 个单位的速 度向点 C 运动，到达点 C 后立即以每秒 10 个单位速度返回，甲、乙、丙同时出发，当甲、 乙、丙都运动到点 B 时，运动停止甲到 C 的时间为20 60 秒，甲到 B 的时间为秒，乙到 B 77 202032 的时间为秒，丙到 C 的时间为秒

13、，丙从出发到返回到 B 的时间为秒，甲遇丙的时间 333 6010140 为秒， 乙遇丙的时间为秒， 甲追上乙的时间为 20 秒(舍)， 丙追上甲的时间为秒(舍) 丙 1339 到达 C 前，甲所表示的数为207t；乙所表示的数为 6t；丙所表示的数为 406t. 乙、丙相遇前：6t(207t)406t6t，解得 t 20520 为 40(207)(海里)； 1111 甲、丙相遇前：406t(207t)6t(406t)，解得 t4，所以甲船离B 码头的 距离为 40(2074)32(海里)； 40 甲、丙相遇后，丙到达 C 前：6t(207t)207t(406t)，解得 t，所 7 40 以甲船离 B 码头的距离为 40(207)20(海里)； 7 20，所以甲船离 B 码头的距离 11 甲、丙相遇后，丙到达C 后：甲所表示的数为207t；乙所表示的数为6t；丙所表 20204032 示的数为 10(t).6t(207t)207t10(t)，解得 t(舍) 3333 2040 综上所述，在整个运动过程中，分别在小时、4 小时、小时时，这三艘船中的一艘 117 恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B 码头的距离分别为 海里、20 海里 5解：(1)设点 A 的运动速度为 x 单位/秒，则点 B 的运动速度为 4x 单位/秒 由题意得 3x34x15， 解得 x