2019北京各区初二(上)期末数学分类汇编——代数综合题

1、2019 北京各区初二（上）期末数学分类汇编代数综合题 2019 昌平八上 28. 阅读下面材料： 丽丽这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形 .类比这一特 性，丽丽发现像m+n，mnp，m2+n2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变 .太神奇了！ 于是她把这样的式子命名为神奇对称式. 她还发现像m n，(m-1)(n-1)等神奇对称式都可以用mn,m+ n表示.例如： 22 m2n2 (mn)22mn， (m1)(n 1) mn(mn)1.于是丽丽把mn和m+ n称为基本神奇对称 式 . . 请根据以上材料解决下列问题： （1）代数式

2、 1n 22 ， m n， ，xy+yz+zx中，属于神奇对称式的是_（填序号）； mnm 2 （2）已知(xm)(xn) x pxq. . q=_（用含m，n的代数式表示）； q= - 2，则神奇对称式 若p= 3， 11 +=_； mn 若 m3+1n3+1 +的最小值.p q 0，求神奇对称式 mn 2 2019 朝阳八上 28对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义： 若点P满足PA=PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0APB60时，称P为线段AB的“远轴 点”；当 60APB180时，称P为线段AB的“近轴点”. （1）如图 1，点A，B的坐标分别为（-2，0

3、），（2，0），则在P 3(0,1) ，P 1(1,3) ，P 2 (0,2)，P 4 (0,4)中，线 段AB的“近轴点”是. （2）如图 2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，且OAB=30. 若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围； 点C为y轴上的动点（不与点B重合且BCAB），若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最 小时，求点Q的坐标. 1 1 / 8 8 2019 大兴八上 27. 在同一平面内的图形图形 M M，N N，给出如下定义:P 为图形图形 M M 上任意一点，Q 为图形图形 N N 上任意一点，如果 P，Q 两点间 的距离有最小值

4、，那么称这个最小值为图形图形 M M，N N 间的闭距离，记作 d(M，N) . 如图，等腰直角三角形 ABC 的一条直角边 AB 垂直数轴于点 D，斜边 AC 与数轴交于点 E，数轴上点 O 表示的有 理数是 0， 若 AB=BC=8，AD=6，OD=2.点 O 到边 BC 的距离与线段 DB 的长相等. (1)求 d（点 O，点 E）; （2）求 d（点 O，ABC）. 2019 房山八上 29.阅读：阅读： 对于两个不等的非零实数a、b，若分式 图 1 图 2 (xa)(xb) 的值为零，则x a或x b.又因为 x ab(xa)(xb)x2(ab)xabab a b有两个解，分别为 x

5、(ab)，所以关于x的方程x xxxx x 1 a ，x2b. 应用上面的结论解答下列问题：应用上面的结论解答下列问题： （1）方程x （2）方程x p q的两个解分别为x 1 1、x 2 4，则P ，q ； x 3 4的两个解中较大的一个为； x n2 n 22x 1 2n的两个解分别为x 1 、x2（x 1 x 2 ），求（3）关于x的方程2x 的值. 2x 2 32x 1 2019 东城八上 26.（本小题 4 分）阅读下列材料,然后回答问题: 2 2 / 8 8 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 1 2 1 1 1( 2 1) ( 2 1)( 2 1

6、) 2 1 2 1. 21 3 2 3 2 .（一） 32 1( 3 2) ( 3 2)( 3 2)3 2 1 还可以用以下方法化简： 3 2 2213-2（ 3）-（ 2） （ 3+ 2）（ 3- 2） = 3- 2.(二) 3 232323 2 （1)请用不同的方法化简 参照（一）式得 2 . 5 3 2 _； 5 3 2 _； 5 3 参照（二）式得 （2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决： 1.求( 1111 .)( 2019 1)的值； 2 13 24 32019 2018 1111 . . 3 15 37 52n12n1 2.化简： 2019 海

7、淀八上 25. 已知ABC三条边的长度分别是x1,(5 x)2, 4( 4 x )2,记ABC的周长为C ABC . （1）当x2时，ABC的最长边的长度是_（请直接写出答案）; （2）请求出C ABC （用含x的代数式表示，结果要求化简）; （3）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： 1 22 a2b2c2 2S a b () .其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S. 42 若x为整数，当C ABC 取得最大值时，请用秦九韶公式求出ABC的面积. 2019 海淀八上 26.如图 1,E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一

8、点，且D与C不重合，若 EC=ED.则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心. 3 3 / 8 8 y y y y A A E E C C 123 A2 1 2 1 A A C C E 2 DB C 1O O 1 x x 2 图 2 1O O 1 123x x 备用图 1图 1 在平面直角坐标系xOy中, （1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为(2,0)，点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直 线OC上. 如图 2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标： _； 若AE=2，求点C关于等边三角形AOC的反称点

9、D的坐标； （2）若等边三角形ABC的顶点为B(n,0)，C(n+1,0)，反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且 2 AE0），则称点P叫做直线 l 1 和l2的“h距离点”. 例如图 1 所示，直线l1和l2互相垂直，交于O点，平面内一点P到两直线的距离都是 2， 则称点P叫做直线l1和l2的“2 距离点”. （1）若直线l1和l2互相垂直，且交于O点，平面内一点P是直线l1和l2的“7 距离点”，直接写出OP的长度为； （2）如图 2 所示，直线l1和l2相交于点O，夹角为 60，已知平面内一点P是直线l1和l2 的“3 距离点”，求出OP的长度； （3）已知三条直线两两相交后

10、形成一个等边三角形，如图3 所示，在等边ABC中，点P 是三角形内部一点，且点P分别是等边ABC三边所在直线的“2 3距离点”，请你 直接写出ABC的面积是. A P 2 2 l 1 60 l 2 O 图1 l 1 l 2 O B 图3 C 图2 2019 平谷八上 5 5 / 8 8 26我们规定正数的正分数指数幂的意义aa（a0，m，n是正整数，且n.1）如8 8 4于是， 在条件a0，m，n是正整数，且n.1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整 数指数幂的意义相仿，我们规定a m n m n nm 2 3 32 1 a m n (a 0,m,n是整数，且n

11、1)，规定了分数指数幂的意义以后，指数 的概念就从整数指数推广到了有理数指数整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用根据上述定义， 解答下面的问题： (1)求值：4 =_ ， _=5 ； (2)计算：9 8 _ ； (3)用分数指数幂的形式表：a2 3a2(a 0) (4)a a 2019 石景山八上 25小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二 次根式的运算规律 下面是小红的探究过程，请补充完整：下面是小红的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律 特例 1：1 1 2 1 2 1 2 1 3 3 2 32 5 ，求aa1(a 0) 1 3 1

12、4 1 5 31 3 81 4 1 5 4 1 3 1 4 2 1 3 1 4 ， 特例 2：29 3， 特例 3：3 4， 特例 4：（填写一个符合上述运算特征的例子） （2）观察、归纳，得出猜想 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： （3）证明你的猜想 （4）应用运算规律 化简：2018 1 2020 4040 ； 6 6 / 8 8 若a 1 b 9 1 b （a，b均为正整数），则ab的值为 2019 延庆八上 26阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如 1 3 ， 2 3 1 这一类式子，通常进行这样的化简： 2（23 1 ）3 ； 3 1，这种把分母中

13、的根号化去叫做分母有理 33 1( 3 1)( 3 1) 333 2 化 还有一种方法也可以将进行分母有理化： 3 1 1 13 例如： 2 3 1 ( 3)212 3 1 ( 3 1)( 3 1 ） 3 1 3 1 2 5 3 （2）化简请仿照上述方法解决下面问题：（1）化简 2019 燕山八上 28一般情况下， a b a b b13 1不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a1，b2 abab 我们称使得 b13 1成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为(a，b) abab (1) 判断数对(2，1)，(3，3)是否是“相伴数对”； (2) 若(k，1)是“相伴数对”，求k的值； 24m 3m 2(4m1) (3) 若(4，m)是“相伴数对”，求代数式 3m(m4) 的值 2019 丰台八上 27在学习平方根的过程中，同学们总结出：在ax N中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已 知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算. 小茗提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否 也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小茗善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对 数，感兴趣的同学可以课下自主探究. 小茗课后借助网络查到了对数的定义： 小茗根据对数的定义，尝试进行了下列探究： （1）21 2，log 22 1； 7 7 / 8