高中数学必修一函数大题(含详细解答)

1、高中函数大题专练高中函数大题专练 、已知关于x的不等式(kxk 4)(x4) 0，其中kR。 试求不等式的解集A； 对于不等式的解集A，若满足AI Z B（其中Z为整数集） 。试探究集合B能否为有 限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合 2 B；若不能，请说明理由。 、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x)称为G函数。 对任意的x0, 1，总有f (x) 0； 当x 1 0,x 2 0,x 1 x 2 1时，总有f (x 1 x 2 ) f (x 1) f (x2 )成立。 已知函数g(x) x与h(x) a2 1是定义在0, 1上的函

2、数。 （1）试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h(x)是G函数，求实数a的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程g(2 1)h(x) m(mR)解的个数情况。 x 2x 1 . 2|x| （1）若f (x) 2，求x的值； 3.已知函数f (x) 2x （2）若2tf (2t) mf (t) 0对于t 2, 3恒成立，求实数m的取值范围. 1 1,x 0; 4.设函数f (x)是定义在R上的偶函数.若当x 0时，f (x) x 0, x 0. （1）求f (x)在(,0)上的解析式. （2）请你作出函数f (x)的大致图像. （3）当0 a b时，若f (a) f (b)

3、，求ab的取值范围. （4）若关于x的方程f (x) bf (x) c 0有 7 个不同实数解，求b,c满足的条件. 5已知函数f (x) a 2 b (x 0)。 | x| （1）若函数f (x)是(0,)上的增函数，求实数b的取值范围； （2）当b 2时，若不等式f (x) x在区间(1,)上恒成立，求实数a的取值范围； （3）对于函数g(x)若存在区间m,n(m n)，使xm,n时，函数g(x)的值域也是 m,n，则称g(x)是m,n上的闭函数。若函数f (x)是某区间上的闭函数，试探 求a,b应满足的条件。 6、 设f (x) 求满足下列条件的实数a的值： 至少有一个正实数b， 使函数

4、f (x)ax2bx， 的定义域和值域相同。 7对于函数f (x)，若存在x0 R，使f (x0) x0成立，则称点(x 0 ,x 0 )为函数的不动点。 （1）已知函数f (x) ax bx b(a 0)有不动点（1，1）和（-3，-3）求a与b的值； （2）若对于任意实数b，函数f (x) ax bx b(a 0)总有两个相异的不动点，求a的 取值范围； （3）若定义在实数集R 上的奇函数g(x)存在（有限的）n个不动点，求证：n必为奇数。 8设函数f (x) x 2 2 1 ，(x 0)的图象为C 1 、C1关于点 A（2，1）的对称的图象为C2， x C 2 对应的函数为g(x). （

5、1）求函数y g(x)的解析式； （2）若直线y b与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标. 9设定义在(0,)上的函数f (x)满足下面三个条件： 对于任意正实数a、b，都有f (ab) f (a) f (b)1； f (2) 0； 当x 1时，总有f (x) 1. （1）求f (1)及f ( )的值； （2）求证：f (x)在(0,)上是减函数. 10 已知函数f (x)是定义在2,2上的奇函数， 当x2,0)时，f (x) tx 常数） 。 （1）求函数f (x)的解析式； （2）当t 2,6时，求f (x)在 2,0上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f (x) 在0,2上的单

6、调递增区间（不必证明） ； （3）当t 9时，证明：函数y f (x)的图象上至少有一个点落在直线y 14上。 1 2 1 3x （t为 2 11.记函数f x 2 x 7 的定义域为A，gx lg 2x b ax 1b 0,a R的定 x 2 义域为B， （1）求A： （2）若A B，求a、b的取值范围 ax1 a 0,a 1。 12、设f x 1 ax 1 （1）求f x的反函数 f x： x在 1. 上的单调性，并加以证明： （3）令gx1 log a x，当 m,n 1,m n时， gn ,gm，求a 的取值范围。 （2）讨论f 1 f1x在m,n上的值域是 13集合 A 是由具备下列

7、性质的函数f (x)组成的： (1) 函数f (x)的定义域是0,)； (2) 函数f (x)的值域是2,4)； (3) 函数f (x)在0,)上是增函数试分别探究下列两小题： （）判断函数f1(x) x 2(x 0)，及f 2 (x) 46( )x(x 0)是否属于集合 A？并简 要说明理由 （）对于（I）中你认为属于集合 A 的函数f (x)，不等式f (x) f (x2) 2f (x1)， 是否对于任意的x 0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论 14、设函数 f(x)=ax +bx+1（a,b 为实数）,F(x)= 2 1 2 f (x)(x 0) f (x) (x 0)

8、（1）若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) 0成立，求 F(x)表达式。 （2）在（1）的条件下,当 x 2,2时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。 （3） （理）设 m0,n0,a0 且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0。 15函数 f(x)= x (a，b 是非零实常数)，满足 f(2)=1，且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax b (1)求 a、b 的值； (2)是否存在实常数 m，使得对定义域中任意的 x，f(x)+f(mx)=4 恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离

9、|AP|的最小值。 函数大题专练答案函数大题专练答案 、已知关于x的不等式(kxk 4)(x4) 0，其中kR。 试求不等式的解集A； 对于不等式的解集A，若满足AI Z B（其中Z为整数集） 。试探究集合B能否为有 限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合 2 B；若不能，请说明理由。 解： （1）当k 0时，A (,4)；当k 0且k 2时，A (,4) U (k 4 ,)； k 当k 2时，A (,4) U (4,)； （不单独分析k 2时的情况不扣分） 4 ,4)。 k （2）由（1）知：当k 0时，集合B中的元素的个数无限； 当k 0时，集合B中的元

10、素的个数有限，此时集合B为有限集。 4 因为k 4，当且仅当k 2时取等号， k 所以当k 2时，集合B的元素个数最少。 此时A4,4，故集合B 3,2,1,0,1,2,3。 、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数f (x)称为G函数。 对任意的x0, 1，总有f (x) 0； 当x 1 0,x 2 0,x 1 x 2 1时，总有f (x 1 x 2 ) f (x 1) f (x2 )成立。 当k 0时，A (k 已知函数g(x) x与h(x) a2 1是定义在0, 1上的函数。 （1）试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由； （2）若函数h(x)是G函数，求实数a的值； （3

11、）在（2）的条件下，讨论方程g(2 1)h(x) m(mR)解的个数情况。 解： （1） 当x0,1时，总有g( (x) ) x 0，满足， 2 x 2x 当x 1 0,x 2 0,x 1 x 2 1时， g( (x 1 x 2 ) ) x 1 2 x 2 2 2x 1x2 x 1 2 x 2 2 g( (x 1 ) )g( (x 2 ) )，满足 （2）若a 1时，h( (0) ) a 1 0不满足，所以不是G函数； 若a 1时，h( (x) )在x 0, ,1 上是增函数，则h( (x) ) 0，满足 由h( (x 1 x 2 ) ) h( (x 1 ) )h( (x 2 ) ) ，得a2

12、 即a 1( (2 1 1)( )(2 x xx2 x1x21 a2x11a2x21， 1) )1， 因为 x 1 0,x 2 0,x 1 x 2 1 所以 0 2 1 110 2 2 11x 1 与x 2 不同时等于 1 0 ( (2 1 1)( )(2 1 1) ) 1 xxx a 1 1( (2x11)( )(2x11) ) 1 ) ) minmin 1a 1， 当x 1 x 2 0时，( (1( (2 x11)( )(2x11) ) 综合上述：a 1 （3）根据（）知：a=1，方程为4 2 m， xx 0 2x11 由得x 0, ,1 0 x 1 1 2 1 x2 令2 t 1, ,2

13、 ，则m t t ( (t ) ) 24 由图形可知：当m 0, ,2 时，有一解； 当m( (, ,0) )( (2, ,) )时，方程无解。 1 . |x| 2 （1）若f (x) 2，求x的值； .已知函数f (x) 2x （2）若2tf (2t) mf (t) 0对于t 2, 3恒成立，求实数m的取值范围. 解 （1）当x0时，f (x) 0；当x0时，f (x) 2x 由条件可知2x 1 2，即22x 22x1 0， x 2 1 . x 2 解得2x12. 2x 0，x log 2 12. （2）当t1, 2时，2t 2 2t 即m22t1 24t1. 22t1 0，m 22t1 .

14、 故m的取值范围是17, ). 1 t 1 m 2 t 0 ， 2t 22 Qt 2, 3,1 22t 65, 17 ， 1 1,x 0; .设函数f (x)是定义在R上的偶函数.若当x 0时，f (x) x 0, x 0. （1）求f (x)在(,0)上的解析式. （2）请你作出函数f (x)的大致图像. （3）当0 a b时，若f (a) f (b)，求ab的取值范围. （4）若关于x的方程f (x) bf (x) c 0有 7 个不同实数解，求b,c满足的条件. 2 解（1）当x(,0)时，f (x) f (x) 1 （2）f (x)的大致图像如下：. 11 1. xx 4 3 2 1

15、-4-2246 -1 2 （3）因为0 a b，所以f (a) f (b) 1111 1 1 1 1 1 1 2， abab a b a b 2ab 2 ab 解得ab的取值范围是 (1,) . （4）由（2） ，对于方程 f (x) a ，当a 0时，方程有3 个根；当0 a 1时，方程 有 4 个根，当a 1时，方程有 2 个根；当a 0时，方程无解.15 分 2f x 所以，要使关于的方程 (x) bf (x) c 0 有 7 个不同实数解，关于 f (x) 的方程 2 f2(x) bf (x) c 0 有一个在区间 (0,1) 的正实数根和一个等于零的根。 所以 c 0, f (x)

16、b(0,1) ，即 1 b 0,c 0 . 已知函数f (x) a b (x 0)。 | x| （1）若函数f (x)是(0,)上的增函数，求实数b的取值范围； （2）当b 2时，若不等式f (x) x在区间(1,)上恒成立，求实数a的取值范围； （3）对于函数g(x)若存在区间m,n(m n)，使xm,n时，函数g(x)的值域也是 m,n，则称g(x)是m,n上的闭函数。若函数f (x)是某区间上的闭函数，试探 求a,b应满足的条件。 解： （1） 当x(0,)时，f (x) a b x 设x 1,x2 (0,)且x 1 x 2 ，由f (x)是(0,)上的增函数，则 f (x 1) f (

17、x2 ) f (x 1) f (x2 ) b(x 1 x 2 ) 0 x 1x2 由x 1 x 2 ，x 1,x2 (0,)知x 1 x 2 0,x 1x2 0，所以b 0，即b(0,) （2）当b 2时，f (x) a 22 x在x(1,)上恒成立，即a x | x|x 因为x 22 2 2，当x 即x 2时取等号， xx 2 2 (1,)，所以x 在x(1,)上的最小值为2 2。则a 2 2 x （3） 因为f (x) a b 的定义域是(,0) U (0,)，设f (x)是区间m,n上的闭函 | x| 数，则mn 0且b 0 （4）若0 m n f (m) m b 当b 0时，f (x)

18、 a是(0,)上的增函数，则， | x|f (n) n 所以方程a 2 b x在(0,)上有两不等实根， x 即x axb 0在(0,)上有两不等实根，所以 a 24b 0 2 x 1 x 2 a 0，即a 0,b 0且a 4b 0 x x b 0 12 当b 0时 ， f (x) a f (m) n bb a 在(0,)上 递 减 ， 则， 即 | x|x f (n) m ba n a 0m ，所以a 0,b 0 a b m mn b n 若m n 0 f (m) n bb a 是(,0)上的减函数，所以当b 0时， f (x) a ，即 | x|xf (n) m ba n a 0m ，所以

19、a 0,b 0 bmn b a m n 、设f (x) ax2bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数 f (x)的定义域和值域相同。 解： （1）若a 0，则对于每个正数b，f (x) bx的定义域和值域都是0,) 故a 0满足条件 （2） 若a 0， 则对于正数b，f (x) b ax2bx的定义域为D , 0, ， a 但f (x)的值域A 0, ，故D A，即a 0不合条件； （3）若a 0，则对正数b，定义域D 0, ( f (x) max b a b 2 a ， a 0bb ， a 4f (x)的值域为0, a2 a2 a 2 a a b 综上所述：a的值为 0

20、 或4 对于函数f (x)， 若存在x0 R， 使f (x0) x0成立， 则称点(x 0 ,x 0 )为函数的不动点。 （1）已知函数f (x) ax bx b(a 0)有不动点（1，1）和（-3，-3）求a与b的值； （2）若对于任意实数b，函数f (x) ax bx b(a 0)总有两个相异的不动点，求a的 取值范围； （3）若定义在实数集R 上的奇函数g(x)存在（有限的）n个不动点，求证：n必为奇数。 解： （1）由不动点的定义：f (x) x 0，ax (b 1)x b 0 代入x 1知a 1，又由x 3及a 1知b 3。 a 1，b 3。 （2）对任意实数b，f (x) ax b

21、x b(a 0)总有两个相异的不动点，即是对任意的实 数b，方程f (x) x 0总有两个相异的实数根。 ax (b 1)x b 0中 (b 1) 4ab 0， 即b (4a 2)b 1 0恒成立。故1 (4a 2) 4 0，0 a 1。 故 当 0 a 1时 ， 对 任 意 的 实 数b ， 方 程f (x)总 有 两 个 相 异 的 不 动 点。.1 （3）g(x)是 R 上的奇函数，则g(0) 0，（0，0）是函数g(x)的不动点。 若g(x)有异于（0，0）的不动点(x0,x0)，则g(x0) x0。 又g(x0) g(x0) x0，(x0,x0)是函数g(x)的不动点。 22 22

22、2 2 2 2 g(x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的， 所以有2k个（kN） ，加上原点，共有n 2k 1个。即n必为奇数 设函数f (x) x 1 ，(x 0)的图象为C 1 、C1关于点 A（2，1）的对称的图象为C2， x C 2 对应的函数为g(x). （1）求函数y g(x)的解析式； （2）若直线y b与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标. 解 （1）设p(u,v)是y x 11 上任意一点，v u xu 设 P 关于 A（2，1）对称的点为Q(x, y), 代入得2 y 4 x u x 4u 4 x v y 2v 2 y 11 y x 2 4 xx 4 g(x)

23、 x 2 1 (x(,4)(4,); x 4 y b 2 （2）联立1 x (b 6)x 4b 9 0, y x 2 x 4 (b 6)2 4(4b 9) b2 4b 0 b 0或b 4, （1）当b 0时得交点（3，0） ；（2）当b 4时得交点（5，4）. 9设定义在(0,)上的函数f (x)满足下面三个条件： 对于任意正实数a 、 b，都有f (ab) f (a) f (b)1； f (2) 0； 当x 1时，总有f (x) 1. （1）求f (1)及f ( )的值； （2）求证：f (x)在(0,)上是减函数. 解（1）取 a=b=1，则f (1) 2f (1)1. 故f (1)1 又

24、 f (1) f (2 1) f (2) f (1)1. 且f (2) 0. 22 1 2 得： f (1) f (1) f (2) 111 2 2 （2）设0 x1 x2,则：f (x 2 ) f (x 1) f ( x 2x 1) f (x1) f ( x 2) f (x 1)1 f (x1) x 1 x 1 f ( xx 2)1 依0 x1 x2,可得 21 x 1 x 1 x 2) 1 x 1 再依据当x 1时，总有f (x) 1成立，可得f ( 即f (x2) f (x1) 0成立，故f (x)在(0,)上是减函数。 10 已知函数f (x)是定义在2,2上的奇函数， 当x2,0)时

25、，f (x) tx 常数） 。 （1）求函数f (x)的解析式； （2）当t 2,6时，求f (x)在 2,0上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f (x) 在0,2上的单调递增区间（不必证明） ； （3）当t 9时，证明：函数y f (x)的图象上至少有一个点落在直线y 14上。 1 3x （t为 2 11 (x)3 tx x3， 函 22 1 3 数f (x)是定义在 2,2上的奇函数，即f x fx， fx tx x ，即 2 11 f (x) tx x3，又可知f 0 0 ，函数f (x)的解析式为 f (x) tx x3 ， 22 解： （1）x0,2时， x 2,0， 则 f (

26、x) t(x) x 2,2； （2）f x xt 1 2 1 x ，t 2,6，x 2,0，t x2 0， 2 2 3 fx 2 11 2 2 x tx2tx2 31 2 8t1 2 22 x tx ，x2t x2， 3272 2 即 x 2 6t2 62t6t ( 2,0)时，f min t t 。 ,x 3933 猜想f (x)在0,2上的单调递增区间为0, 6t 。 3 （3）t 9时，任取 2 x1 x2 2， 1 22 f x 1 fx 2 x 1 x 2 t x 1 x 1 x 2 x 2 0， 2 f x在 2,2上单调递增， 即 f xf 2 , f 2， 即 f x4 2t,

27、2t 4，t 9 ， 4 2t 14,2t 4 14， 144 2t,2t 4，当t 9时，函数y f (x)的图象上至少有一个点落在直线 y 14上。 11.记函数f x 2 x 7 的定义域为A，gx lg 2x b ax 1b 0,a R的定 x 2 义域为B， （1）求A： （2）若A B，求a、b的取值范围 x 7x 3 0x 0 ,23,， x 2 x 2 b1 （2）2x bax 1 0，由A B，得a 0，则x orx ，即 2a b 10 3 a 1b 2 B , , ，。2 a 2 2 1 0 0 b 6 a ax1 a 0,a 1。 12、设f x x1 a 1 （1）求

28、f x的反函数 f x： 解： （1）A x2 x在 1. 上的单调性，并加以证明： （3）令gx1 log a x，当 m,n 1,m n时， gn ,gm，求a 的取值范围。 （2）讨论f 1 f1x在m,n上的值域是 x 1 x 1或x 1 x 1 x 1x 2 12x 1 x 2 0 （2）设1 x1 x2， 1 x 1 1x 2 1 x 1 1x 2 1 解： （1）f 1x log a x 1 f 1x 2 ， f1x在 1. 上是减函数：a 1时， f1x 1 f 1x 2 ， f1x在1. 上是增函数。 1 （3）当0 a 1时，f x在 1. 上是减函数， 1 x 1x 1f

29、 m gm 1 log a x得 ax，即ax2a 1x 1 0， 1 ，由log a x 1x 1 fn g n 0 a 1时， f1 0 1 可知方程的两个根均大于1，即f 1 0 0 a 3 2 2，当a 1时，f x在 1a 1 2a 1 f m gn m1 amn an 1. 上是增函数， 1 。综 a 1（舍去）n1 amn am f n gm 上，得 0 a 3 2 2。 13集合 A 是由具备下列性质的函数f (x)组成的： (1) 函数f (x)的定义域是0,)； (2) 函数f (x)的值域是2,4)； (3) 函数f (x)在0,)上是增函数试分别探究下列两小题： （）判

30、断函数f1(x) x 2(x 0)，及f 2 (x) 46( )x(x 0)是否属于集合 A？并简 要说明理由 （）对于（I）中你认为属于集合 A 的函数f (x)，不等式f (x) f (x2) 2f (x1)， 是否对于任意的x 0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论 解： （1）函数 f 1 (x) 1 2 x 2不属于集合 A. 因为 f 1(x) 的值域是2,),所以函数 f 1 (x) x 2不属于集合 A.(或Q 当x 49 0时, f 1(49) 5 4 ，不满足条件.) 1 函数f2(x)的定义域是0,)； 函f 2 (x) 46( )x(x 0)在集合 A 中,

31、 因为: 2 数f2(x)的值域是2,4)； 函数f2(x)在0,)上是增函数 1 x 1 （2）f (x) f (x 2) 2 f (x 1) 6( ) ( ) 0， 24 不等式f (x) f (x 2) 2 f (x 1)对于任意的x 0总成立 14、设函数 f(x)=ax +bx+1（a,b 为实数）,F(x)= 2 f (x)(x 0) f (x) (x 0) （1）若 f(-1)=0 且对任意实数 x 均有 f(x) 0成立，求 F(x)表达式。 （2）在（1）的条件下,当 x 2,2时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围。 （3） （理）设 m0,n0,a0 且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)0。 解： （1）f(-1)=0 b 2 a 1由 f(x)0 恒成立 知=b2 -4a=(a+1)2-4a=(a-1)20 (x 1) (x 1)2 a=1 从而 f(x)=x +2x+1F(x)= 2 (x 0) (x 0) 2 ， （2）由（1）可知f(x)=x +2x+1 g(x)=f(x)-kx=x +(2-k)x+1，由于 g(x)在 2,2上是 2 k2 k 2或- 2，得 k-2 或 k6 ， 22 （3）f(x)是偶函数，f(x)=f(x)，而 a0f (x)在