非齐次线性方程组

1、非线性方程解结构的进一步探讨摘要：本文通过矩阵初等变换和非线性方程解的性质，进一步研究了非线性方程解的结构问题，虽然非线性方程的整个解向量不能构成向量空间，也没有基础解系，但我们发现了一个与线性方程基础解系相似的解向量组。 这个解向量组不是线性的。 并且，任何解都可以用该解向量组线性地表现。 最后给出了非线性方程具有非零解的充分条件，并给出了相应的例题。关键词：非零解、基础解系、线性无关、初等变换引言非线性方程(I )的矩阵形式为.得到下一个线性方程式称为非线性方程式的导出组。 可知以下线性方程式以外的解具有以下性质(1)如果不是下一个线性方程式的解是其导出组的解，则也是其解。证明：因为有下一

2、个不是线性方程式的解，所以有，有相同的情况。 所以，不是下一个线性方程式的解。(2)如果不是下一个线性方程式的2个解，则是其导出组的解。证明：因为有，所以导出组的解。2 .定理(非二次线性方程式的解的结构定理)非二次线性方程式的解，其导出组的解，非二次线性方程式的解。证明：由性质(1)可知，即使加上该导出组的一个解，也不是第二线性方程式的一个解，所以只需要证明，第二线性方程式的一个解一定是与该导出组的一个解的和由性质(2)可以知道是导出组的一个解，所以可以得到非线性方程式的一个解和该导出组的一个解的和。根据以上定理，下一个线性方程式的解的整体可以用基础解系表示。 因此，根据定理，可以用导出一般

3、方程式的一般解的组的基础解系来表示，如果是方程式(I )的特解，则如果是该导出组的基础解系，则(I )的任何解都可以表示如下3 .从上述第二个证明过程可以看出，下列线性方程式的所有解都可以用基础解系统线性地表现(其基础解系统中包含解向量)，是任意的实数。 那么，除了以下线性方程式以外还有解时，与线性无关的解向量有多少？ 的所有解都怎么显示？定理如果下一线性方程式的基础解系数除下一线性方程式以外有解，那么它具有最多与线性无关的解向量，所述解可表示为满足关系式的任何实数。证明： (I )如果不是下一个线性方程的解，则向量组，线性与非零的解向量无关(否则，可以用线性表示，与非零的解矛盾)。 那么，易

4、证都是解，不是线性的。 这表示存在至少一个不依赖于线性的解向量。然后，再次确认有很多不依赖于线性的解矢量。反证：如果有与线性无关的解向量，就容易证明所有的解，与线性无关。 因为像这样存在不依赖于线性的解向量的矛盾，所以存在至多不依赖于线性的解向量。对于(ii )的任何解，可表示为其一个特解及其导出组的基础解系的线性组合，即任何常数那么，那么(是任意实数，且组合系数之和等于1 .这说明了其他任何解可以用这样的形式表示。另一方面，因为所有都是正确的，若满足则是正确的，所以下一个通解可以表示为用于满足关系式的任意的实数。例2作为线性方程式的解，就是它导出了组的基础解系。 证明：线性方程的任一解，其中

5、。证明：可以从问题得出方程的任何解可以表示为(常数)令、则(1)引理：作为矩阵，通过初等行变换变换成阶梯形矩阵，使该梯形矩阵的各非零行的第一个非零元素(从左到右)为1，使该元素所在列的其他元素为零，这样的阶梯形矩阵的行简化了阶梯形矩阵。定理：非齐次线性方程中存在的全非零解的充分条件是其扩大矩阵的等级与系数矩阵的等级相等，并且行简化阶梯型矩阵中每个非零行的非零元素数在2以上证明：必要性如果方程式中有非零解，则必须满足方程式条件.请设定其等级，并按如下方式设定简化的楼梯矩阵(2)对应的方程式对某人来说因为这与方程(2)的所有非零解矛盾，所以对于每个()存在至少一个()使用和，即，在(2)中，从第()行开始不存在两个非零元素。充分性：如果将n设为足够大的正数将其带入(2)得到：()时，明显成立的上式的右端存在至少一个非零系数，设最初的非零系数为因为。所以，存在着足够大的正数()；中选择一个选项()这样，可以得到方程的完全非零解例1方程式有完全非零解的满足条件吗？解：那个放大矩阵的简化梯形矩阵因此，根据上述定理可知，该方程式具有全非零解的满足条件是任意的实数。已知非齐次线性方程式有三个线性五官的解(I )证明方程系数矩阵的秩；(ii )求出的值和方程式的解。解： (I )非齐次线性方程的三个线性无关