高校食堂窗口设置

1、吉林财经大学2009-2010学年第二学期数学模型期末试卷考试形式：论文课程模块：成绩：论文主题：高校食堂窗口设置问题专业：数学和应用数学班级： 0803名字：王艳菊学号： 110110110080321高校食堂窗口设置问题一、摘要随着我国高中的扩大和教育事业的发展，高中食堂在扩大自己的容量的同时，在高中的发展中扮演的角色也越来越重要，大学食堂在经营管理方面也面临着严峻的挑战。 高中学生对食堂的服务感到不满，其中等待时间太长的问题尤其突出。 如何有效利用有限的人才、物资资源来提高服务质量和效率学校食堂利益的关键。本文研究了大学食堂服务系统窗口设置的优化问题。 在各工作日不同的时间段根据客户数量

2、适当增减窗口，在客户的平均等待时间和银行服务窗口数之间找到最佳状态。 顾客等待时间允许的情况下，将银行开设的窗口最小化，使食堂的收益最大化。本文采用队论原理针对高校食堂窗口的设置问题，建立了多服务窗口待机制M/M/N (即泊松输入、负指数分布服务、n个服务台)模式，最终在本校非周末假日设置7个食堂窗口的周末、节假日设置5个食堂窗口关键词矩阵论食堂窗口M/M/N模型二、问题的再研究随着我校学校运营的发展，直接面对后勤工作，特别是学生食堂工作，越来越重要。 我们在食堂，经常看到学生在吃饭高峰期吃饭的人数多，服务窗口少，学生排队等待时间太长而抱怨的现象。 再见，喂服务窗口太多，对食堂浪费了一定的人才

3、和物资，不利于食堂向高利润方面发展。 如何满足双方，是我们必须尽快解决的实际问题。 请使用数学模型原理解决食堂服务窗口的设置数量问题。3 .基本假设和符号的说明(1)基本前提条件：(1)学生到达食堂的时间独立，遵循特定的概率分布(2)服务时间独立，遵循特定的概率分布(3)所有到达的学生进入排队系统，直到服务结束(4)队列系统有无限的队列，所以可以容纳无限量的学生(5)学生服务优先规则是先到先得的服务(6)工作时间足够长，可以使服务系统处于稳定状态(7)每个学生在服务窗口分别提供服务。(2)符号的说明：:学生的到达强度:食堂的窗口数:食堂学生人数:食堂单一窗口的服务率:系统的服务强度队长(平均学

4、生人数):队列长度(等待的平均学生数):平均繁忙的服务窗口数:学生等待时间:学生逗留时间:学生等待的概率:时间系统中有顾客(即状态)的概率。3 .模型的建立和解决3.1模型原理：队伍论是研究矩阵系统的理论，也称为随机系统理论，提供许多不同的矩阵模型，可以通过这些矩阵模型找到服务成本和服务水平的平衡。 排队系统由输入过程、排队规则和服务方式三个组成部分组成。 输入过程是指各种类型的客户以什么样的规则到达。 主要类型有定长输入、泊松输入、埃尔隆输入。 其中泊松输入被最广泛地应用。 矩阵规则是指到达的客户以什么顺序获得服务。 主要有损失制、待机制、混合制。 服务方式是指在同一时间有多少服务台可以接受

5、顾客，一个顾客服务了多长时间。 主要有定长分布、负指数分布、爱尔兰分布几种方式。排队现象是指顾客以特定的速度或变化的速度到达，按照一定的服务规则接受服务人员的服务的过程。 排队系统是存在排队现象的系统。 主要研究和计算的数量指标为：(1)队长、系统中的全部顾客数(2)队列长度、系统中排列的顾客数(3)顾客在系统停留的时间包括顾客排队等待的时间和服务的时间(4)顾客在系统内等待的时间(5)繁忙期是指服务机构连续接待顾客的时间的长度，即服务的强度。为了便于说明，引入了以下符号：其中m代表泊松输入或负指数分布服务，泊松输入、负指数分布服务、n个服务台的矩阵系统写为M/M/N。3.1.1单服务窗口质量

6、排队模型(M/M/1 )矩阵模型M/M/1表示客户有限，客户的到达相互独立，到达规则服从参数泊松分布的单服务台，队长无限，最先提供服务的各客户的服务时间相互独立，参数服从负的指数分布。1 .任意时刻系统状态确定的概率如果客户的到达规则已知参数遵循泊松分布，而服务时间已知参数遵循负指数分布，则只有一个客户接受服务，其馀的客户等待，并排列着无限的位置，所以在时间间隔内，有以下情况1 )某顾客到达的概率是2 )顾客一个人也没有到达的概率是3 )某顾客被服务的概率是4 )一个顾客没有服务的概率是？5 )多位顾客到达或服务终止的概率是。时刻系统有顾客的概率，可能的话如表1所示。表1的状态的概率情况当时的

7、客人数在区间在时间上的顾客数量到达离开(a )(b )(c )(d )日日日日这是灭绝的过程，四种情况是相互独立的事件，整理一下然后，那个能得到，当时也一样，为了求出稳态解，假设当时存在极限，原则，这是相关的差分方程式，也反映了系统状态的迁移关系，即各状态平衡，参见图1。 可以求出，递归地得到图M/M/1的状态迁移关系图称为服务强度。 平均到达率和平均服务率的比。 概率的性质：也就是说所需的系统状态是下一个概率。2 .系统的运行指标(1)队长(平均顾客数):因为系统的状态是被期待的定义。.(2)队列长度(等待的平均客户数):，(3)客户在系统中的停留时间：一个客户在系统中的停留时间，根据参数的

8、负指数分布、分布函数和分布密度分布是，所以.(4)系统中顾客的等待时间：，其中一位顾客的平均服务时间是(5)系统内多个顾客的概率是.以下关系式也称为运转指标的Little式.3.1.2多服务窗口等待质量排队模型(M/M/N )上面分析的只是窗口服务的情况，对我们来说大学食堂的服务窗口大致是这样的，见图2图二高中食堂窗口设置图该系统可被视为n个M/M/1型子系统。如果每个窗口的平均服务率不变化，则每个窗口的平均到达率为，此时每个窗口的服务强度为。同样，可以计算每个窗口的平均队长和平均等待时间是.3.2问题分析：学生到食堂的时候，不能及时得到服务的时候，经常排队等待。 这可以通过矩阵论的关系原理解

9、决食堂窗口配置的问题。 根据学生到达食堂的实际情况，周末和休息日超市的学生人数与通常的时间相比显着减少。 为了便于研究，学生的到达符合泊松过程，服务时间服从负指数分布。 因此，食堂服务系统还可以被认为是M/M/N矩阵系统，即顾客到达泊松流，服务时间遵循负面指数分布的多服务台的矩阵系统。系统有n个服务窗口，各窗口的工作相互独立，学生通过泊松流动到达的强度，另外，各窗口的服务时间为负值指数分布，个别窗口的平均服务率，食堂窗口整体的平均服务率为。 被称为系统的服务强度。 那时，会发生系统排队的现象，也就是学生排队等待的现象。 在这里，排队等待，窗口空着的时候，等待的学生约定了按顺序去空着的食堂窗口接

10、受服务。 系统的排队模型如图3所示。图3多服务窗口待机机制模型M/M/n框图因为该系统不限制学生源和系统容量，所以系统可能的状态集可以在图4中示出系统的状态流程图。图M/M/n模型状态流程图如图4所示，状态表示系统内的服务窗口正在接待学生，剩馀的服务窗口空着(到达系统的学生超过了)，服务窗口正在接待学生，剩馀的学生正在排队等着。3.2模型的建立在平衡条件下，系统状态概率的平衡方程，根据递归关系求出的系统的状态概率是当时，由有，所以可以求出系统的运行指标。(1)队列长度(2)平均繁忙的服务窗口数(3)队长(4)学生等待时间(5)学生逗留时间(6)学生等待的概率服务强度反映员工的工作强度，其值越大

11、，表示服务队列越长，员工的空闲时间越少。相反，队列越短，员工的空闲时间越多，系统越不稳定，队列的长度越长。3.3模型的求解我们收集了两组数据：(1)平日(周末、节假日除外) :学生的平均到达率为：720人/小时，每个服务窗口的平均服务率为180人/小时(2)周末、节假日：学生平均到达率为：504人/小时，每个服务窗口的服务率还为180人/小时。要使用Matlab软件进行编程，请执行以下操作函数 P0，PN，lendaeff，Ls，Lq，Ws，wq =模型1lenda=input (请输入到达率：)mhu=inpurt (请输入服务速率：)n=input (请输入窗口数：)rho=lenda/m

12、hu；P0=(1-rho)/(1-rho(n 1) )；lendaeff=mhu(1-P0 )u=n；for i=1:us1=u*(u-1 )u=u-1；结束for i=0:no=m-ai；结束for i=1:os2=o*o-1；o=o-1；结束s3=syms nun (s1/s 2，0，n )P0=(1/s3)*rhoai；PN=(s1/s2)*rhon*P0；Ls=n-rho(1-P0)Lq=Ls-(1-P0 )Ws=Ls/lendaeff；Wq=Lq/lendaeff；P0PS洛杉矶公司PSPSWq结果如下：图5的计算结果图3.4结果分析服务强度、系统变得不稳定的话，一定会有越来越多的人

13、排队等待。 因此，只计算了服务的强度。根据M/M/N系统的服务指标表，平时设有6个服务窗口，学生需要停留约107.8秒，员工的服务强度为0.933，即员工的工作效率高，有很少的空闲时间，但顾客可以接受服务如果设有8个服务窗口，学生几乎不排队就能得到服务，但是工作人员的工作时间很宽。 因此，对于平时最好设置7个服务窗口的周末、节假日，我们也可以分析出同样最好设置5、6个服务窗口。 这种情况下，客人只要等待约23秒就可以享受服务，工作人员的工作强度也很适度。因此，在没有其他条件限制的情况下，食堂经营者必须及时调整窗口设置，周末、假日必须采用M/M/7系统，假日则采用M/M/5系统。四、模型的评价和推进本文统计了我校食堂平日和周末、节假日学生的平均到达率和每个服务窗口的平均服务率，利用矩阵理论的知识分析了高校食堂系统的特征，结合d个服务窗口排队模型M/M/1构建了多服务窗口排队模型M/M/N 该模式满足了学生的要求和食堂的规定，优化了窗口设置，减少了人力资源和财力资源的浪费。该模型具有普遍性，在日常生活中，乘客在车站的售票处按顺序买票，医