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1、第十二讲 立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。1) 异面直线所成角2) 直线与平面所成角 若则或 若则3) 二面角 (为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成锐二面角的平面角)当为锐角时,当为锐角时,二、例题讲解1.在正三棱柱中,若与所成的角的大小。解:法一:如图一所示,设为、的交点,的中点,则所求角是。设,于是在中, 即 法二:取的中点为坐标原点,如图建立空间直角坐标系的长度单位,则由有2.如图二所示,在四棱锥中,底面是一直角梯形,且与底面成角。若为垂足,求证:;求异面直线所成角的大小。解 :证明:,再由,得如图三所示设分别为
2、的中点,连结。为平行四边形,分别为的中点,则或它的补角就是异面直线所成角,而。在中,由余弦定理可得所以,异面直线所成角的大小为。法二:以所在的直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,所以,异面直线所成角的大小为。3.已知四棱锥中,底面是矩形,分别是的中点。求证:;求与平面所成角的大小;求二面角的大小。解析:法一:如图四所示,取的中点,连接又因为所以四边形是平行四边形,。又,。连结所成的角。在。即所成角的大小为。作。由三垂线定理,得是二面角的平面角。由所以,二面角的大小为。法二:以为原点,如图五所示,建立直角坐标系。则。取的中点,连结又,。由题意可得,设平面的一个法向量是。即所成角的大小为。设平面的一个法向量为则由可得平面的一个法向量是。所以,二面角的大小为。4.(07福建)如图六所示正三棱柱的所有棱长都为2,求证:求二面角的大小。解析:取中点,连结。因为是正三角形,因为在正三棱柱,平面。连结 在正方形中,O,D分别为的中点。 在正方形中, 取为原点,的方向为轴,轴,轴建立空间直角坐标系。则 设平面的法向量为。令为平面的一个法向量。由知,所以,二面角的大小。直接法设与交于G,在平面中,作
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