第03章 自激振动【优质课堂】

1、第三章 自激振动 3.1 自激振动的机理和特征 3.2 极限环与 van der Pol 方程 3.3 工程中的自激振动问题 3.4 张驰振动 3.5 动态分岔,1,优质课堂,第三章 自激振动,自激振动与周期激励的响应相比，仍然是一种周期振动，它也是靠外界能源的驱动形成的，不同的是现在的能源是一个能量不变的能源，能源本身不直接给系统提供周期性变化的能量，系统振动能量的周期性变化是靠系统固有的某种自动调节机制、周期性地向能源和环境吞吐能量形成的。 当然，振动系统周期性地向能源吸收能量而能源的能量保持不变，这只能在能源的能量大大超过振动能量的前提下才能近似实现，这是自激振动系统的另一个特征。 自激

2、振动系统（self-excited system）也称为自振系统,它的特性很复杂。本章只学习单自由度系统自激振动的形成和演变的一些基本规律。,2,优质课堂,3.1 自激振动的机理和特征,1. 自激振动的机理 ,图3.1、图3.2为两个自振系统的实例。就电铃而言，能源为直流电源，在一定时期内，能量近似恒定，接通电源后，铃锤在电磁吸力作用下，弯曲敲击铜铃，同时电路触点断开，电磁吸力消失；在这个过程中，振系从能源吸收,3,优质课堂,电能，一部分转化为铃锤的动能和弹性势能，另一部分由于材料阻尼、敲击等因素而耗散。接下来的过程是，弹性势能使铃锤恢复形状，使电源再次接通，完成一次振动，并开始下一次振动。

3、可见，自激振动的形成过程和机理是：振系在某些初始激励下能作往复运动，同时振系内有一个固有的自动调节环节起作用，它能自动感知振系状态，根据振系状态自动调节,能量的吸收，并能使振系在每个往复运动中吸收的能量逐渐等于耗散的能量，从而使振系的能量和状态周期性变化，即形成自激振动。自激振动的形成机理，可用框图表示，如图3.3。,4,优质课堂,需要指出的是，图中的调节器就是前述的自动调节环节，对于某些振系，调节器是一个实际存在的装置，如电铃，其调节器为电磁断续器，而对很多振系，调节器并不是一个明确的装置，而是系统自身的特性和参数综合形成的一个自动控制环节。,2. 自激振动的特征,参见课本p57的总结。,5

4、,优质课堂,3.2 极限环与 van der Pol 方程,1. 极限环,从以上定性分析已知，自激振动是周期振动，因此对单自由度系统，自激振动的相轨迹是一条封闭曲线，与保守系统的自由振动相轨迹不同的是，自激振动的封闭相轨迹的形状和运动周期，是由系统的固有参数和特性决定的，而与初始条件无关。因此，自激振动的封闭相轨迹在相平面上是一条孤立的封闭曲线。在这条封闭曲线邻近的相点，将沿某一螺旋状相轨迹趋近或离开这条封闭曲线，因此称它为极限环(limit cycle)。一个振系的极限环可能不止一个，当极限环邻近的相轨迹都趋近于极限环时，该极限环是稳定的，否则，是不稳定的，如图3.4。只有稳定的极限环才对应

5、于能够实现的自激振动，因此寻求极限环并确定其稳定性，是非线性自治系统研究中的一个最重要的问题。,6,优质课堂, van der Pol 振荡器是已知存在极限环的系统的一个经典例子。 van der Pol 方程也可以由Rayleigh方程经变换得到，Rayleigh方程为,2. van der Pol 方程,图3.4,(3.2),这就是van der Pol 方程。对（3.2）作能量积分得,(3.1),（3.1）式对 t 求导，得,7,优质课堂,E为积分常数。当x 的幅值较小时，上式右端第二项圆括号中的值大于零，积分值随时间增长而增大，系统的机械能增大，即系统向外界吸收能量，同时使系统的运动幅

6、度增大，这一过程一直到积分的平均值为零才停止。当x 的幅值较大，上式右端第二项圆括号中的值小于零时，系统将耗散能量，同时使系统的运动幅度减小。因此预计系统最后可能会稳定在某个周期运动状态，即自振状态。 方程（3.2）的第二项与速度有关，相当于一个阻尼项，由上述分析知，它不是常规阻尼，而是一个交变阻尼，耗散能量时，称为正阻尼，吸收能量时称为负阻尼。 下面用相平面法来确定其极限环。不失一般性，设Rayleigh方程（3.1）中 ，d = 1，相轨迹微分方程为,8,优质课堂,显然，原点是系统唯一的奇点。用Lienard方法作相轨迹， Lienard辅助曲线为,(3.3),它也恰好是通过原点的零斜率等

7、倾线，图3.5中的虚线。稍加考察可知，奇点附近的相轨迹是向外发散的，因此奇点为不稳定焦点。最后作出的相轨迹如图3.5。 也可用谐波平衡法来求出van der Pol 方程的近似解，设,9,优质课堂,代入下面的van der Pol方程,注意，以上近似解只有当 e 为小参数时才成立，图3.5也是针对e 为小参数的情况画出的。对于e 为大参数的情况将在3.4节中研究。,10,优质课堂,3.3 工程中的自激振动问题,1. 时钟原理,机械时钟的钟摆简化模型如图3.6，它是一个自激振动系统。近似恒定的能源为发条弹性能，当钟摆向平衡位置运动并,(3.4),到达摆角 x= 时，会受到由发条能量转换而来的脉冲

8、力。设钟摆受到干摩擦，动力学方程可写成,系统的能量积分为,11,优质课堂,其中 E 为积分常数。 我们规定B 0、 x ，接下去相点先在下半相平面运动，因此按（3.5）式进行。由初始条件求出积分常数E 后，（3.5）式变为,(3.5),(3.6),(3.7),这是一个以（0, B）为圆心的圆方程。,12,优质课堂,下面分三种情况分析： (1) x B ：这时按（3.7）式画出的相轨迹如图3.7a，这种相轨迹是不可能出现的，因此相点只能静止不动。实际上，这时系统的弹性力没有超过最大摩擦力，弹性力与摩擦力平衡，再加上,初始速度为零、没有受到脉冲的作用，因此系统将静止，相点不再运动。 (2) B T

9、BC 对极限环上的CD和DA段有相同的结果。因此在自激振动的一个周期中，有非常明显的快、慢交替运动。将速度时间曲线画出，是类似于锯齿的锯齿波，如图3.18。这种一张一弛的振动称为张驰振动。,36,优质课堂,张驰振动的的过程，从物理本质上讲，是一个能量积聚和能量释放或耗散的交替过程。如图3.17，在相轨迹的AB段，系统从能源慢速吸能而使系统的势能缓慢增长，系统动能缓慢变小，到达势能的临界值，系统的相轨迹进入BC段，系统的速度发生跳变，但在跳变过程中，系统的位形几乎不变，因而势能几乎不变；跳变完成后，在C 点系统的动能与A 点的相同。因此以上整个过程，几乎没有发生动能的改变，而势能增大，是一个积聚

10、能量并同时使系统进入释放能量状态的过程。接下来，在相轨迹的CDA段，是一个反向的能量变化过程，同时使系统进入再次吸收能量的状态。因此，张驰振动系统只与外界交换能量，而系统内部几乎不进行能量转换，这与其它自振系统和保守系统是不同的。,37,优质课堂,3.5 动态分岔,系统的运动状态随着参数变化而发生突变的现象称为动态分岔。下面以干摩擦自振系统为例，来说明和认识这种现象。在3.3节中已经给出如下结果：,系统的动力学方程为,其中,以上方程和变换中需要注意的一点是: (1) y(0) = 0; (2) 原点是奇点。相轨迹如图3.21。,38,优质课堂,由图3.21可见，奇点附近的相轨迹是发散的，最后进入极限环，系统的整体运动图景是不稳定焦点和极限环。这种情况与曲线 x = - y(y)在奇点附近的斜率有关，图3.21所示情况对应于斜率为正值。 当