基于状态观测器的倒立摆系统设计.ppt

1、a,1,自动化专业课程设计（二）,题目：控制系统计算机辅助设计 基于状态观测器的倒立摆系统设计,a,2,摆,摆是进行控制理论研究的典型实验平台，可以分为倒立摆和顺摆。 由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备。 学习控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。,a,3,一级倒立摆,二级倒立摆,三级倒立摆,一级直线顺

2、摆,a,4,倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。 由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。 二十世纪九十年代以来，更加复杂多种形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每年在专业杂志上都会有大量的优秀论文出现。,a,5,自动化专业课程设计（二）,控制系统计算机辅助设计 基于状态观测器的倒立摆系统设计 目的和要求：加强学生对控制理论及控制系统的理解，提高学生对控制系统的综合及设

3、计技能，扩大学生的知识面，培养学生独立分析问题及解决问题的能力，为以后从事实际控制系统的设计工作打下基础。 要求理论正确，设计合理、仿真数据准确。 知识范围及与相关课程：本综合设计涉及的相关课程主要有自动控制原理、现代控制理论、运动控制、MATLAB语言及应用、系统仿真等。,a,6,设计过程,1、建立倒立摆的数学模型,动力学数学模型 （非线性微分方程形式）,状态空间表达式（非线性）,状态空间表达式（线性）,状态空间表达式（线性）,2、倒立摆的状态空间分析法设计,采用状态反馈进行极点配置,基于全维观测器，用状态反馈进行极点配置,3、基于MATLAB的倒立摆系统仿真设计 （MATLAB语言程序设计

4、和SIMULINK模型建立）,建立倒立摆的开环仿真模型，观察输出曲线,设计状态反馈进行极点配置，分析曲线,设计观测器和状态反馈进行极点配置，分析曲线,4、总结，写出设计报告,a,7,要求和评分,平时成绩 60% 书面报告 40%,出勤 40% 上机表现 40% 结果演示 20%,程序设计 70% 结果分析 30%,a,8,第一部分：相关的理论基础 状态反馈及状态观测器,无论在经典控制理论还是现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。由于经典控制理论的数学模型为传递函数，因此只能由输出信号作为反馈量，即为输出反馈。 现代控制理论是用系统内部的状态变量来全面地描述系统，所以常采用状态反馈。状态反

5、馈能提供更丰富的状态信息和可供选择的自由度，可以使系统容易获得更为优异的性能。采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，还是实现系统解耦和构成线性最优调节器的主要手段。,a,9,第一部分：相关的理论基础 状态反馈及状态观测器,一、状态反馈,二、极点配置,三、状态观测器,四、带状态观测器的状态反馈系统,a,10,一、状态反馈 原r维输入m维输出的n阶系统的状态方程： 状态反馈的基本结构 ： K 维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵,a,11,状态反馈闭环系统的状态空间表达式 : 若 则 ： 通过状态反馈阵的选择来改变闭环系统的特征值，从而获得系统所要求的性能。 定理：状态反馈不改变受控系统 的

6、能控性，但不保证系统的能观性不变。,a,12,因此，系统综合的性能指标通常是给定一组期望极点，或者根据时域指标转换成一组等价的期望极点。 极点配置问题，就是通过选择反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配置在复平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。,二、极点配置,控制系统的性能主要取决于系统极点在复平面上的分布。,定理：采用状态反馈对受控系统 任意配置极点的充要条件是原系统状态完全能控。 极点的配置方法： 方法1：变换成能控标准型 方法2：阶数较低的控制对象，可直接计算其特征多项式,a,13,极点的配置方法1：变换成能控标准型 步骤： 1）将原系统 变换成能控标准型 ，变换矩阵为TC,2）对

7、 加入状态反馈增益阵 此时系统的闭环特征多项式为,a,14,3）要使闭环极点达到期望极点位置，必须满足 即： 由等式两边同次幂项系数相等得 状态反馈增益阵 4）根据线性变换前后状态反馈控制律的表达式得：,a,15,方法2：对于阶数较低的控制对象， 可以直接计算其特征多项式 设： 系统的闭环特征多项式为 比较等式两边同次幂的系数即可得到K的各取值。,a,16,三、状态观测器 采用状态反馈能实现闭环系统的极点任意配置，还是实现系统解耦和构成线性最优调节器的主要手段。 但系统的状态变量并不都是易于直接检测得到的，这样就提出状态观测或状态重构的问题，需要寻求一种能产生系统状态的方法。,a,17,状态观

8、测器的定义 ： 设系统 的状态矢量 x不能直接检测。构造一个动态系 统 ，以 的输入u和输出y为其输入量，能产生一组输出量 渐进 于x，即： ，则称 为 的状态观测器。 状态观测器的存在条件： 为满足 ，系统必须状态完全能观，或者其不能 观子系统是渐近稳定的。 状态观测器的结构 ：,状态观测器的开环结构,a,18,渐近状态观测器 ： 状态观测器的状态方程为： 状态观测器的设计： 状态逼近的速度取决于G的选择和(A-GC)的配置，通过对误差反馈阵G的设计，调节 渐近于x的速度。,a,19,四、带状态观测器的状态反馈系统 闭环系统的基本特性： 1、闭环极点设计的分离性 2、传递函数矩阵的不变性 3

9、、观测器反馈与直接状态反馈的等效性,a,20,第二部分：系统设计 基于状态观测器的倒摆系统设计,倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例,一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。迄今人们对倒立摆的研究已经非常深入，我国已成功地实现了四级倒立摆的控制。,在此，我们首先应用动力学方程建立一级倒立摆的非线性数学模型；采用小偏差线性化的方法在平衡点附近局部线性化得到线性化的数学模型；然后应用状态空间分析方法，采用状态反馈为倒立摆系统建立稳定的控制律；最后应用状态观测器实现倒立摆系统的

10、稳定控制。,a,21,系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。 实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。 机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入状态关系。,对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程关系。

11、,a,22,一、一级倒立摆系统的数学模型,系统的组成系统由小 车、小球和轻质杆组成。 倒摆通过转动关节安装在 驱动小车上，杆子的一端 固定在小车上，另一端可 以自由地左右倒下。通过 对小车施加一定的外部驱 动力，使倒摆保持一定的 姿势。,a,23,小车质量 ； 小球的质量 ； 倒摆的杆长 ； 重力加速度 ； 表示倒摆偏离垂直 方向的角度； u 是小车受到的水平方向 的驱动力；,本设计中所用到的各变量的取值及其意义：,a,24,假设轨道是光滑的，忽 略摆杆的质量，系统所受的 外力包括小球受到的重力和 小车水平方向的驱动力 u。 x(t)和(t)分别表示小车的 水平坐标和倒摆偏离垂直方 向的角度。

12、,1、运动分析：,a,25,通过受力分析，由牛顿第二运动定律，系统的运动满足下面的方程： x轴方向：,小球受力分析示意图，其中 表示小球的重心坐标,小球的重心坐标满足,整理后得,沿水平方向运动（直线运动）,a,26,小球的力矩平衡方程：,整理可得：,绕轴线的转动（旋转运动）,a,27,最后得到倒立摆系统的动力学方程：,显然该系统为明显的非线性系统。但是对小车施 加驱动力的目的是要保持小球在垂直方向的姿态，因 此，我们关注的是小球在垂直方向附近的动态行为变 化，为此将系统在该参考位置(0)附近进行线性化 处理。,a,28,2、模型转化(微分方程状态方程),由倒摆系统的动力学模型，,可得到倒摆系统

13、的状态方程：,取如下状态变量：,a,29,3、状态方程的线性化：,采用Jacobian 矩阵线性化模型，最终得到系统的线性化状态方程为：,假定系统的输出为倒摆的角度和小车的x轴坐标，则系统的输出方程为：,a,30,三、状态反馈的倒摆系统设计,1、系统的开环仿真,a,31,2、输出反馈设计方法,通过反复的调整和研究增益k1、k2对于系统误差的敏感性，最终能够稳定系统。然而系统的动态性能远不能让人满意，对于k1=-50,k2=-2，系统只是临界稳定，它仍在新的参考点附近反复震荡。,a,32,输出反馈的仿真结果：,倒摆的角度,小车的位置,a,33,具体设计步骤如下： (1)系统可控性判别。应用可控性

14、判别矩阵CM=ctrb(A,B) 判别. (2)闭环系统的极点配置。根据系统的动态性能，确定闭环系统期望极点clp。 (3)确定反馈增益。应用MATLAB的place函数Ks=place(A,B,clp),确定反馈增益Ks 。,3、状态反馈设计：,a,34,Simulink结构图：,a,35,仿真结果：,状态反馈下状态变量的时间曲线,a,36,具体设计步骤如下： （1）系统的可观性判别。应用可观性判别矩阵OM=obsv(A,C)判别可观性。 （2）闭环极点配置。适当选择观测器的极点，使观测器的动态速度是系统的两倍以上，所观测器的极点op=2*clp。 （3）指定极点的观测器增益G。同样应用place函数：G=place(A,C,op),G=G。,3、全维状态观测器下倒摆系统的设计与仿真,a,37,系统方框图：,a,38,线性模型与观测器模型状态变量的误差曲线,a,39,设计过程,1、建立倒立摆的数学模型,动力学数学模型 （非线性微分方程形式）,状态空间表达式（非线性）,状态空间表达式（线性）,状态空间表达式（线性）,2、倒立摆的状态空间分析法设计,采用状态反馈进行极点配置,基于全维观测器，用状态反馈进行极点配置,3、基于MATLAB的倒立摆系统仿真设计 （MATLAB语言程序设计和SIMULINK模型建立）,建立倒立摆的开环仿真模型，观察输出曲线,设计状态反馈进行极