存在与恒成立问题.ppt

1、,专题3 函数与导数,第 18 练 存在与恒成立问题,典例剖析,精题狂练,“存在”与“恒成立”两个表示范围的词语在题目问法中出现是近年高考的一大热点，其本质是“特称”与“全称”量词的一个延伸，弄清其含义，适当进行转化来加以解决.,内容精要,典例剖析,题型一 不等式的恒成立问题,题型二 存在性问题,题型三 存在与恒成立的综合性问题,题型一 不等式的恒成立问题,破题切入点 有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的是将参数分离出来的方法.,例1 已知函数f(x)ax1ln x，aR. (1)讨论函数f(x)的单调区间；,当a0时，f(x)0，函数f(x)单调递增. 综上所述：当a0时，f(x)

2、的单调递减区间是(0，)， 无单调递增区间；,题型一 不等式的恒成立问题,(2)若函数f(x)在x1处取得极值，对x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的取值范围.,解 因为函数f(x)在x1处取得极值， 所以f(1)0，解得a1， 经检验可知满足题意. 由已知f(x)bx2，即x1ln xbx2，,题型一 不等式的恒成立问题,易得g(x)在(0，e2上单调递减，在e2，)上单调递增，,破题切入点 利用极值处导数为0及导数的几何意义求出f(x).,题型二 存在性问题,例2 已知函数f(x)ax3bx2cx在x1 处取得极值，且在x0处的切线的斜率为3. (1)求f(x)的解析式；,解 f(

3、x)3ax22bxc.,又f(0)3，c3，a1，f(x)x33x.,题型二 存在性问题,破题切入点 借助导数几何意义表示切线方程，然后分离参数，利用数形结合求m范围.,(2)若过点A(2，m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围.,又切线过点A(2，m).,题型二 存在性问题,令g(x)2x36x26， 则g(x)6x212x6x(x2)， 由g(x)0得x0或x2. g(x)极小值g(0)6，g(x)极大值g(2)2.,题型二 存在性问题,画出草图如下图.,当60.(f(x)的图象连续不断) (1)求f(x)的单调区间；,题型三 存在与恒成立的综合性问题,当x变化时，f(x)，

4、f(x)的变化情况如下表：,题型三 存在与恒成立的综合性问题,由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，)内单调递减.,由于f(x)在(0,2)内单调递增，,题型三 存在与恒成立的综合性问题,所以存在x0(2，x)，使g(x0)0，,(说明：x的取法不唯一，只要满足x2，且g(x)f(0)011， a的取值范围为(1，)，故选D. 答案 D,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,解析 当a0时，显然不成立，故排除D； 当a0时，注意到f(x)6ax26ax6ax(x1)， 即f(x)在0,1上是减

5、函数，在1,2上是增函数，,当x00时，结论不可能成立； 进一步，可知a2或m2. 答案 C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,则f(x)sin xx0(x0)，,答案 C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,6.(2014辽宁)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是( ) A.5，3 B.6， C.6，2 D.4，3,

6、解析 当x0时，ax3x24x30变为30恒成立，即aR.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6. a6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,当x2，1)时，(x)0. 当x1时，(x)有极小值，即为最小值.,综上知6a2. 答案 C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,7.设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_.,解析 若x0，则不论a取何值，f(

7、x)0显然成立；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,g(x)在区间1,0)上单调递增， 所以g(x)ming(1)4， 从而a4，综上可知a4. 答案 4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,8.(2014江苏)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.,解析 作出二次函数f(x)的图象，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,因此函数f(x)在0,1上单调递增， 所以x0,1时，f(x)minf

8、(0)1.,根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,10.(2014浙江)已知函数f(x)x33|xa|(aR). (1)若f(x)在1,1上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)m(a)；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,当a1时，有xa，故f(x)x33x3a. 此时f(x)在(1,1)上是增函数， 因此，M(a)f(1)43a，m(a)f(1)43a， 故M(a)m(a)(43a)(43a)8. 当1a0，(x)在(0,1)上单调递增；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减. x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,精题狂练,又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，,当m0时，函数g(x)有且只有一个零点.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,