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文档简介
1、高考解三角形常见题型及技巧【基础知识】1正弦定理2R其中2R为ABC外接圆直径。变式1:a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC。变式2:,变式3:abcsinAsinBsinC。2余弦定理a2b2c22bccosA;b2a2c22accosB;c2a2b22abcosC。(边换角后)sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA。变式1:cosA;cosB;cosC。变式2:a2(bc)22bc(1+cosA)(题目已知bc,bc或可求时常用)3解三角形(知道三个元素,且含有边)(1)已知三边a,b,c 或两边a,b及夹角C 都用余弦定理(2)已知两边a,b及一边对角A,一般
2、先用正弦定理,求sinB,sinB。(3)已知一边a及两角A,B(或B,C)用正弦定理(已知两角,第三角就可以求)。4三角形常用面积公式(1)Sah。 (2)SabsinCacsinBbcsinA。(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)。5.在ABC中,常有以下结论:1ABC。2任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。3sin(AB)sinC;cos(AB)cosC;tan(AB)tanC;sincos;cossin。4.大边对大角,大角对大边(若A不是最大角,则A一定是锐角)5.中线定理、角平分线定理【解题技巧】1、题目中给出等式时:先观察是否存在边的齐次、角正弦的齐次,然后进行边、
3、角互化如“”可转化为“”等(也可角化边),如“”不可转化为“”.2、 等式中同时出现A,B,C三个角时,一定是会把一个角化掉(或另两个角合并成一个角),用另外两角代替,再展开,例:sinBsinA(sinCcosC)0,则把B化掉,sin(AC)sinAsinCsinAcosC0,展开后sinC(sinAcosA)0,sinAcosA0,所以tanA1,3、 题目中出现化简时,出现同角正余弦相乘、半角,用二倍角公式化简,例如,,出现sinAcosCsinCcosA时,可以合并为sin(A+C)4、求两个角倍数的加减运算的正余弦值时,一般展开计算,把每个角的正余弦算出来,例如:求sin(2AB)
4、=sin2AcosBcos2AsinB,然后把算出的B,2A的正余弦值代入,即可求得。5、代换思想边之比与角之比可以互化,即,注意题目求值时可以互化求值等式中出现平方项()或两边乘积(bc)时,一般用余弦定理代换或求解,例:出现+-时,用2bccos替换当等式中出现同角的正余弦且求其中一个值时,考虑平方,然后用平方和等于1代换调,用解方程的方法解出。例,两边平方,整理得,解得,6、第三边上一点与顶点连线,经常用到以这个点为顶点的角的正弦值相等,余弦值相反列等式。7、面积、范围问题:建立如“”之间的等量关系与不等关系,可以通过均值不等式、三角函数有界性求出,全部转化为角的关系,建立函数关系式,如
5、,从而求出范围。【例题讲解】【例1】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sincos。(1)求cosB的值;(2)若b2a2ac,求的值。解析:(1)出现半角,想到用倍角公式,所以需要平方 (2)出现平方运算,且有ac,想到用余弦定理。求角之比=求边之比【解】将sincos两边同时平方得,1sinB,得sinB,故cosB,又sincos0,所以sincos,所以,所以B,故cosB。(2)由余弦定理得b2a2c22accosBa2ac,所以ac2acosBca,所以ca,故。【例2】(2018新课标全国理科)在中,则ABC D【解析】出现半角用倍角公式,求出cosC,然后知道
6、两边一角,余弦定理因为cosC=2cos2C2-1=2(55)2-1=-35,所以AB2=BC2+AC2-2BCACcosC=1+25-215(-35)=32,则AB=42.【答案】A【例3】(2019新课标全国理科)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围。【解析】(1)首先边齐次进行代换,然后化简(2)已知一个角和一条边,求面积取值范围,把面积化为关于角的一个式子求出。【例4】(2017新课标全国理科)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的面积为. (1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bc
7、os C=1,a=3,求的周长.【解析】(1)由题设得,即.由正弦定理得.故.(2)由题设及(1)得,即.所以,故.由题设得,即.由余弦定理得,即,得.故的周长为.【答案】(1);(2).【例5】(2017新课标全国理科)的内角的对边分别为,已知(1)求;(2)若,的面积为,求【解析】(1)同时出现三个角时,都会用到进行代换,出现时,用倍角公式代换,(2)已知,可求用变形公式【解】(1)由题设及,可得,故上式两边平方,整理得,解得(舍去),(2)由得,故又,则由余弦定理及得:所以【例6】(2016新课标全国理科)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (I)求C;(II)若的面积为,求的
8、周长【解析】(1)出现等式,首先观察是否齐次,能否边角互化,等式中边能化角,再化解 (2)根据面积求出ab,然后已知c,只需再求a+b 【解】(I)由已知及正弦定理得,故可得,所以(II)由已知,又,所以由已知及余弦定理得,故,从而所以的周长为练习1在中,内角的对边分别为,已知,则ABCD或2已知的内角的对边分别为,且 ,则ABCD3已知是的内角,分别是角的对边.若,(1)求角的大小;(2)若,的面积为,为的中点,求.4中,角所对的边分别为,且.(1)求角;(2)若为的中点,求的面积.5已知中,角所对的边分别为,且的面积,.(1)求、的值;(2)证明:.答案1【答案】C【解析】,由余弦定理可得:,由正弦定理可得:,为锐角,2【答案】C【解析】由题,由正弦定理得,所以 即,所以在中.又因为.所以,3【解析】(1)由,得,由正弦定理,得,即,所以,又,则.(2
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