SARS 数学建模

1、问题重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性(假设的合理，分析的合理，结果的合理)和实用性（对于实际应用上的作用）。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真

2、正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 第一问早起模型的评析一、 早期模型的重述 模型的假设：根据附件一中的模型，我们可以得出此模型具有如下假设1) 不考虑“非典”的潜伏期，感染非典后立即具有传染性；2) 当感染者有效接触健康者时，使健康者被感染；3) 整个“非典”发病期

3、间政府不采取任何预防措施和隔离治疗措施；4) 忽略“非典病人的个体差异”，假设传染期为常数； 早期模型建立：假定初始时刻的病例数为N0，平均每位病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：N（t）= N0 (1+K)t 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。为了简单起见，从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出）。到达高峰期后，在

4、10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据。二、 早起模型的合理性和实用性的简评A. 早期模型的优点：1. 模型简明本模型主要有三个参数N0 、K、 L，且都具有实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染能力，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。K表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征：传染期L和传染率K，反映了SARS的传播过程。使人很容易理解该模型。2. 模型灵活通过调整N0 、K、 L值，就可以描述不同地区，不同

5、环境下SARS的初期传播规律3. 预测准确通过模型对北京、广东与香港的疫情进行了分析，得到的预测值与实际统计数据较接近。可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。B. 早期模型的缺点：1. 对于如何确定对于三个参数N0 、K、 L，未给出一般的原则或算法，只能通过对于已发病地区的数据进行拟合得出。按照作者的表述，K值是以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但是在现实情况下，不同地区的K值是不同的。在实际应用中，如果没有一定量的数据，是无法得出K值的。在我们对该模型进行拟合事发现，对于N0 、K、 L作者未给出调整的标准和相关理论，所以我们很难重复该求解过程。2. 当需要对某一地区

6、进行疫情分析时，还需考虑到该地区相对于北京、广州、香港这类人口密集，人员流动性大的城市之间的差异。地域因素会造成不同地区的K值不同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的K值会比人口密度和人口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法可能导致预测结果相差较大。综上所述，该模型能较好的反映非典传染的特征性，具有一定的实际意义。但是，参数的取值包含有一定的主观因素，且需要大量的数据进行拟合，且未给出调整的标准和相关理论，在实际应用中实用价值不大。第二问，模型一，模型假设1， 在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者和

7、已感染者两类，时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记为s（t）和i（t）。2， 每个病人每天有效接触的平均人数是常数k，k称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染为病人。问题分析 根据假设，可知，人群分为两类，一是健康者，二是病人，只要一类人群随时间的变化规律知道，这另一类人群也可马上求解。由于传染病过程中通常取病人为研究对象，所以决定求解病人随时间的变化规律。模型求解 对于t时刻，病人的增加率为Nisk，即 （1）又因为 S（t）+i（t）=1 （2）再令初始时刻的病人比例为i0，这 （3）显然此为logistic模型，它的解为 （4）参数的确定 通过对北京的累计病例数用sps

8、s进行曲线拟合，结果如下模型汇总和参数估计值因变量:累计病例数方程模型汇总参数估计值R 方Fdf1df2Sig.常数b1Logistic.926792.908163.000.001.865自变量为 时间。可得拟合的函数关系式为，y=N*i通过取一系列t来估计出相应的k值，结果如下 时间2030405060k值大小0.19190.17630.16850.16380.1607由图像可知，当t较大时，曲线拟合的数据与实际测量值越接近，所以就取t=60时所对应的k值，即0.1607。此值可以近似看做当政府没有采取措施，即传染病的自然传染能力大小。但同时根据附件1的求解方法，我们计算了4月20日到4月2

9、9日期间每日的k值大小，再求平均，得=0.169346（消息内容请看附件1）。对于k和之间的差异，这是由于模型1并未考虑到政府控制前和控制后k值将改变，且k1k2。所以由于只考虑控制前，所以比k要略大，我们考虑传染病的每天平均自然传染人数时，取值为=0.169346。但由于此模型未考虑到病人会被治愈而成为健康者，所以在模型1的基础上进行改进，建立了模型2。模型2 在模型1的假设条件下增加的条件为，3， 每天被治愈的病人数或死于该传染病人数占病人总数的比例为常数p。病人治愈后由于获得了免疫能力，同时也由于心理作用，更加保护自己，所以可以假设治愈后再次感染的几率为0，且该种人群在总人群中所占有的比

10、例为u（t）。不难看出，考虑到假设3，模型1中的（1）式应修改为 （5） 而且对于健康者，其增加率为 （6） 对于移出者而言，其增加率为 （7） 由于人群只由健康者，病人和移出者组成，所以 S(t)+i(t)+u(t)=1 (8) 模型求解 查资料，得到2003年北京市市区总人口数目为698.8万人从而可以得到初始条件i0= 339/（698.8*10(-4)）=4.851*10(-5 ) ，s0= 0.99995149(取4月20号为初始条件) 同时根据附件2中的死亡累计和治愈累计，求得每日的移出率p，在求平均值得到=0.05121。 在模型一中求得=0.169346；将上述参数代入（5）式

11、和（6）式，求得数值解和绘制的图像（详细内容见附件1）由图像可得i（t）随时间的推移先逐渐变大，之后变小，趋向于0，s(t)随时间的推移而逐渐减小，根据常识，一种传染病中的病人比例最终是为0，由此模型2还是比较符合客观事实的，但从图像中大致可以判断i（t）=0时大约要经过225多天。这与实际过程中大约经过100多天北京的sars就平息存在较大误差，仔细分析，我们发现该模型忽略了sars的潜伏期，实际上健康人与sars患者接触后虽然被感染了，但还处于潜伏期，没有传染能力。所以将模型2进行改进，得到模型3。模型3模型假设1， 将人群分为四类，分别为健康人群，能感染的sars病人，sars潜伏者和移

12、出者（包括sars的死亡者和治愈者），他们在人群中的比重分别为 s(t),i(t),w(t),u(t);其中已确诊病人和sars潜伏者统称为sars病毒携带者，记 为x1（t）,表示其t时刻的人数，人口总人数为N。 2 ，每个病人每天有效接触的平均人数是常数k，k称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染为病人。 3，sars潜伏者无传染能力，但最终会成为病人，具有传染能力。 问题分析 该模型比起模型2更为复杂，在该模型中还必须将sars病毒携带者分为两类，显然增加了计算难度，在此中还应该考虑潜伏周期T。模型求解 在t时刻sars病毒携带者x1(t)=Ni(t)+Nw(t) (9)

13、sars病毒携带者的增长率为 （10） 健康人的增长率为 （11） 移出者的增长率为 （12）潜伏者的增长率为 （13）确诊病人的增长率为 （14） 除此之外，还有一条公式，为 S(t)+i(t)+w(t)+u(t)=1 (15)由（9）到（16）式联立，可得到 （16） 将（14）和（17）式联立，可得 （17） 将t-T用t代替，可得 （18） 在对（16）式两边对t进行求导，可得 （19）结合（11），（12），（18）可求得 （20）最终对（11），（18），（20）联立的方程组进行数值求解，可得图像如下从图像中我们可以观察到在300多天时i（t）会接近于0，这比模型2还要久，因此，我

14、们还把政府的干预考虑进来，也就得到了模型4。由于时间限制，模型4中考虑的因素更多，所以一时没能解决，也就导致了第二问实际上还不能完全解决，但是我们已经有了思路，即再引入一类人群，就是隔离人群，通过引入该人群，实际上是改变了病人的有效接触人数k，我们根据北京4月29日之后的实际数据，求得每日的k值，再求平均，得=0.019413；我们想采用分段函数，即确定一个时刻t，为值改变的时刻，在这个时刻前与后都可以适用模型3。只是在考虑t时刻后，它的初始条件为4月29日的数据。通过t的改变，可以解决第二问中政府早五天调控和晚五天调控的差别。第三问附件3：北京市接待海外旅游人数（单位：万人）年1月2月3月4

15、月5月6月7月8月9月10月11月12月19979.411.316.819.820.318.820.924.924.724.319.418.619989.611.715.819.919.517.817.823.321.424.520.115.9199910.112.917.7212120.421.925.829.329.823.616.5200011.42619.625.927.624.32327.827.328.532.818.5200111.526.420.426.128.92825.230.828.728.122.220.7200213.729.723.128.92927.42632.2

16、31.432.629.222.9200315.417.123.511.61.782.618.816.2表格1- 1建立灰色预测模型GM（1,1）由附件3，建立19972002年的矩阵,计算每年的年平均值，记为,求得级比（i）=/(i) 对=,=(i=2,36)，记,求均值数列 (k=2,36)，即=().于是建立灰色微分方程为(k)+a=b1- 1相应的白化微分方程为1- 2记u=,=,B=,则由最小二乘法，求得达到最小值的=.于是求解方程1- 2，得则1- 3由1- 3式可以得到2003年的平均值为x，则观测2004年的总产值为X=12x.根据历史数据，可以统计计算出2003年第i个月的指标值占全年总值的比例为u，即1- 4则,于是可得2003年每一个月的指标值为Y=Xu模型的求