C语言 动态规划.ppt

1、01.07.2020,a,1,第十章 动态规划,用递推代替递归 用空间换时间,01.07.2020,a,2,10.1 什么是动态规划,1、最短路径问题 2、数塔问题,01.07.2020,a,3,下图表示城市之间的交通路网，线段上的数字表示费用，单向通行由A-E。试用动态规划的最优化原理求出A-E的最省费用。,1 最短距离问题,01.07.2020,a,4,如图从A到E共分为4个阶段，即第一阶段从A到B，第二阶段从B到C，第三阶段从C到D，第四阶段从D到E。 除起点A和终点E外，其它各点既是上一阶段的终点又是下一阶段的起点。,例如从A到B的第一阶段中，A为起点，终点有B1，B2两个，因而这时走

2、的路线有两个选择，一是走到B1，一是走到B2。,若选择B2的决策，B2就是第一阶段在我们决策之下的结果，它既是第一阶段路线的终点，又是第二阶段路线的始点。,在第二阶段，再从B2点出发，对于B2点就有一个可供选择的终点集合(C1，C2，C3)；若选择由B2走至C2为第二阶段的决策，则C2就是第二阶段的终点，同时又是第三阶段的始点。,同理递推下去，可看到各个阶段的决策不同，线路就不同。,01.07.2020,a,5,很明显，当某阶段的起点给定时，它直接影响着后面各阶段的行进路线和整个路线的长短。 故此问题的要求是：在各个阶段选取一个恰当的决策，使由这些决策组成的一个决策序列所决定的一条路线，其总路

3、程最短。如何解决这个问题呢？,要求在各阶段选取一个恰当的决策,01.07.2020,a,6,决策过程： （1）由目标状态E向前推，可以分成四个阶段，即四个子问题。 DE CE BE AE （2）策略：每个阶段到E的最省费用为本阶段的决策路径。,用动态规划法求解,01.07.2020,a,7,（3）D1，D2是第一次输入的结点。他们到E都只有一种费用： f(D1)=5 f(D2)=2,目前无法定下，哪一个点将在全程最优策略的路径上。第二阶段计算中，5，2都应分别参加计算,01.07.2020,a,8,（4）C1，C2，C3是第二次输入结点，他们到D1，D2各有两种费用。此时应计算C1，C2，C3

4、分别到E的最少费用。 f(C1) =minC1D1+ f(D1) ，C1D2+ f(D2)。 计算结果是f(C1)= C1D1+ f(D1)=8 （D1) 同理C2的决策路径计算结果是C2+D2+ E , f(C2)=7 。 同理C3的决策路径计算结果是C3+D2+E，f(C3)=10。,01.07.2020,a,9,（5）第三次输入结点为B1，B2，而决策输出结点可能为C1，C2，C3。仿前计算可得Bl，B2的决策路径为如下情况。 Bl: B1C1 费用 f(B1)=5+8=13， B2:B2C1 费用 f(B2)= 6+8=14，,01.07.2020,a,10,（6）第四次输入结点为A，

5、决策输出结点可能为B1，B2。 同理可得决策路径为A：AB2，费用5+14=19 此时才正式确定每个子问题的结点中，那一个结点将在最优费用的路径上。 子问题的决策中，只对同一城市（结点）比较优劣。而同一阶段的城市（结点）的优劣要由下一个阶段去决定。,01.07.2020,a,11,2、数塔问题,有形如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左走或是向右走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的值最大。,01.07.2020,a,12,用暴力的方法，可以吗？,01.07.2020,a,13,这道题如果用枚举法（暴力思想），在数塔层数稍大的情况下（如31），则需要列举出的路径条数将是一

6、个非常庞大的数目（230= 10243 109=10亿）。,试想一下：,01.07.2020,a,14,拒绝暴力，倡导和谐,01.07.2020,a,15,从顶点出发时到底向左走还是向右走应取决于是从左走能取到最大值还是从右走能取到最大值，只要左右两道路径上的最大值求出来了才能作出决策。 可见，由下层的子问题可以得到上层的子问题，所以，可从底层开始，层层递进，最后得到最大值。 结论：自顶向下的分析，自底向上的计算。,考虑一下：,01.07.2020,a,16,如果各个子问题不是独立的，不同的子问题的个数只是多项式量级，如果我们能够保存已经解决的子问题的答案，而在需要的时候再找出已求得的答案，这

7、样就可以避免大量的重复计算。由此而来的基本思路是，用一个表记录所有已解决的子问题的答案，不管该问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。,10.2 动态规划的基本思想,01.07.2020,a,17,动态规划的基本步骤,动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值（最大值或最小值）的那个解。设计一个动态规划算法，通常可以按以下几个步骤进行：,01.07.2020,a,18,（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。 （2）递归地定义最优值。 （3）以自底向上的方式计算出最优值。 （4）根据计算最优

8、值时得到的信息，构造一个最优解。 其中（1）（3）步是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优值的情形，步骤（4）可以省去。若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤（4）。此时，在步骤（3）中计算最优值时，通常需记录更多的信息，以便在步骤（4）中，根据所记录的信息，快速构造出一个最优解。,基本步骤,01.07.2020,a,19,动态规划问题的特征,动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质： 1、最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。 2、重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次

9、。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。,01.07.2020,a,20,10.3 最长有序子序列,01.07.2020,a,21,子问题的构造,子问题“求以ak（k=1, 2, 3N）为终点的最长上升子序列的长度” 虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N 个子问题都解决了，那么这N 个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。 该子问题可以递推求解,01.07.2020,a,22,假定MaxLen (k)表示以ak 做为“终点”的最长上升子序列的长度，那么： MaxLen (1) =

10、 1 MaxLen (k) = Max MaxLen (i)：1i 0 ,构造最长公共子序列,01.07.2020,a,42,10.5 0-1背包问题,给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 目标：使装入背包中物品的总价值最大 约束条件：装入的物品总重不得超过C,01.07.2020,a,43,海盗盗宝问题,海盗有一背包，最大容积为9，现有5件宝物： 体积si分别是2、3、4、5和4公斤 价值vi分别是3、7、5、9和 8 请给出装载方案，使背包价值达到最大。,C=9,01.07.2020,a,44,

11、一开始，见物品就装，物品1、2、3全装入，背包装满了，得到背包总价值为15，这是不是最大价值呢？,考虑只有前三个物品的情况,01.07.2020,a,45,物品4该不该装？有两个选择： （1）不装，背包价值不变，为15,（2）装入，它占去的体积为5，得到价值为9，剩下容积4最多可以装下多大价值？,考虑只有前4个物品的情况,01.07.2020,a,46,这是一个n=3(从前三个物品中选择），容量c=4的子问题。,目前最优：装入物品2和物品4，总价值为16,若已知这个子问题的解是：装物品2，得价值为7。,（2）装入物品4，它占去的体积为5，得到价值为9，剩下容积4最多可以装下多大价值？,01.0

12、7.2020,a,47,考虑5个物品的情况,物品5该不该装？ (1)不装，得到背包价值仍为16,01.07.2020,a,48,（2）若装入物品5，占用体积为4，得价值为8，背包剩余容积为5。 如何在前4个物品中选择装入，使背包价值最大化？这是n=4,c=5的一个子问题。 若得到该子问题的解为：装入物品1、2，得价值为10,考虑5个物品的情况,目前最优：装入物品5和1、2，总价值为1816,01.07.2020,a,49,子问题的构造,当n=1时:只有一个物品， s1=2,v1=3 若背包容量c=0、1，则无法装入物品1，得到背包价值为0 若背包容量c=2、3、4、5、6，7，8，9则可装入物

13、品1，得到背包价值为3。,C10=0 C11=0 C12=3 C13=3 C14=3 C15=3 C16=3 C17=3 C18=3 C19=3,01.07.2020,a,50,考虑两个物品的情况,当n=2时，有两个物品， s1=2,v1=3，s2=3,v2=7 若背包容量c=0、1，得到背包价值为0 若背包容量c=2，可装入物品1，得总价值m22=3 若背包容量c=3，m23=7,若背包容量c=4, m24=7 若背包容量c=5, m25=10,若不装物品2，m23=m13=3 若装入物品2，m23=v2+m13-3=7+0=7,m26=10 m27=10 m28=10 m29=10,若不装

14、物品2，m25=m15=3 若装入物品2，m25=v2+m15-3=7+3=7,01.07.2020,a,51,递推关系的建立,用mij来表示从前i个物品中选取物品装入容量为j的背包所得的最大价值。则要寻求的是mnc。 mij是以下两个值的最大值 （1） mi-1j: 即不装入物品i,背包价值与仅考虑前i-1个物品时情况相同； （2）vi+mi-1j-si:即装入物品i,再从前i-1个物品中选取，使背包剩余容积j-si价值最大化。,01.07.2020,a,52,构造价值数组,背包容量j,从前i个物品中选取,01.07.2020,a,53,背包容量j,从前i个物品中选取,01.07.2020,

15、a,54,构造最优解,因m59m49, 物品5被装入，剩余c=9-s5=5 因m45m35, 物品4被装入，剩余c=9-s4=0,01.07.2020,a,55,void Knapsack(int t v,int w,int c,int n,float mN) /构造价值数组m int i, j; for(i=0; i mi-1j) mij=t; else mij=mi-1j; ,01.07.2020,a,56,/计算最后一行的mnc t= vn+ mn-1c-wn; If ( t mn-1c ) mnc=t else mnc=mn-1c; ,01.07.2020,a,57,思考：免费馅饼,01.07.2020,a,58,如何解决？,子问题：最后1秒最多能接住几个，最后两秒、最后两秒. 还与当时他站的位置有关 子问题是二维的： Tij表示第i秒若站在位置j，从第i秒之后能接住多少个馅饼,01.07.2020,a,59,Tij表示第i秒若站在位置j，从第i秒之后能接住多少个馅饼 Tij:若第i+1秒站在位置j，那么第i秒他可能到达的位置是j-1,j,j+1,去那个位置接到馅饼最多？ T(i,j-1) Tij =Ti+1j+max T(i,j) T(i,j+1),再考虑一下j=0和j=10的情况即可,01.07.2