FE-Ch03.1-3单元与插值函数的构造

1、本章重点和应掌握的内容,用以构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标的建立方法和特点。 构造单元插值函数的两类方法（广义Lagrange插值函数法和变结点插值函数法）的步骤和特点。 阶谱单元的基本概念和特点，以及它的插值函数的构造方法和意义。,Chap. 3 单元与插值函数的构造,问题： 利用广义坐标，建立有限单元法的插值函数方法繁琐，形成的单元矩阵复杂。,必须注意：插值函数的构成不取决于求解的微分方程式，插值函数构造方法仅取决于： 几何图形（单元形状）、 结点数量与位置 以及在单元结点处规定的因变量的数量。,3.1 概述,利用广义坐标建立有限单元法的插值函数方法，首先将场函数表示为多项式的形

2、式, 然后利用节点条件,将多项式中的待定参数表示成场函数的节点值和单元几何的函数.无疑,形成插值函数的方法烦琐。尤其在形成三角形高阶单元时,利用面积(自然)坐标可以更方便地建立单元插值函数。,在单元的选择上, 一维单元可以是2节点线元或3节点二次元, 二维单元常用3/6节点三角元或4/8/9节点四边元, 三维单元常用4/10节点四面体元或8/20节点六面体元。特殊情况下, 也可采用五面体元。,从节点参数的类型来看, 可以仅包含场函数的节点值,也可能包含场函数的导数的节点值。取决于在单元交界面上的连续性的要求, 这往往由泛函(或控制微分方程)中场函数导数的最高阶决定的。例如,场函数导数的最高阶为

3、一阶时,仅要求在单元交界面上的场函数连续, 即:C0连续性。,从运算简单和易于满足收敛性的要求来看, 采用幂函数多项式做为插值函数比较合适, 因而得到广泛应用。 然而在一些特殊问题中也有采用3次或5次样条函数做为插值函数的。采用幂函数多项式时, 对于仅满足C0连续性要求的单元, 则仅在单元的角点配置节点。随着连续性要求的增加,单元内部的函数场一般应当二次(或高次)变化, 则要求不仅在单元的角点配置节点,还要在单元的边配置一至数个边节点。为了尽可能构造完全多项式, 一般还会附加生成单元内部节点。到目前为止, 关于单元内部节点的利弊都还待深入研究。一般认为, 在实体(二, 三)维问题中,单元内部节

4、点弊大于利, 应尽量避免。而在板壳问题中,单元内部节点对于稳定计算是有贡献的。,一.Lagrange插值多项式： 1.n个结点构造n-1次Lagrange插值多项式 注： 1)结点i的插值函数,2)i为第个i结点坐标,3)为自然坐标 即： 为结点当n-1次插值函数。 i=1,2n,3.2 一维单元插值函数当构造（C0）,2. 的性质 i=1,2n 1) n-1次插值函数,共有n个 2) 3),3.构造一维单元插值函数： a. Lagrange线性插值 (n=2) 或记为：,即：,b. 二次Lagrange插值(n=3),3.2.2 Hermite 单元,如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数

5、的连续性, 则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值. 此时可以采用Hermite插值多项式作为单元插值函数. 对于一维二节点元, Hermite插值多项式可以表示为,或者,其中Hermite插值多项式具有以下性质,当1=0, 2=1时, 和 是以下形式的三次多项式,并且,在端部节点最高保持场函数的一阶导数连续性的Hermite多项式称为一阶Hermite多项式.0阶的Hermite多项式就是Lagrange多项式. 一般地,在节点处保持至场函数的n阶导数连续性的Hermite多项式称为n阶Hermite多项式. 在2节点时,它是的2n+1次多项式.函数的2阶Hermite多项式可以表示为,或

6、者,其中,3.3.1 三角形单元,在构造三角形单元的插值函数时,普遍采用自然(面积)坐标来形成具体的形函数,其方法直观简单.,对于3节点三角形单元,引入面积坐标:,Li=Ai/A,单元的插值函数可以表示为:,Ni=Li,二次单元,二次单元有六个节点,单元插值函数可以表示为,其中, 是通过除节点i以外所有节点的二根直线方程 的左端项.例如,当i=1时, 分别是通过节点4,6的直线方程 的左端项和通过节点2,5,3的直线方程,的左端项.,是节点i到直线j的正则化的距离(也即面积坐标值),因此可以得到形函数:,通过类似的步骤, 可以得到其余各点形函数:,2. 三次单元,在构造三角形三次单元插值函数时

7、,仍然采用自然(面积)坐标通过划线法来形成具体的形函数. 对于角节点:,(i=1,2,3,4),对于边内节点, 例如4节点:,对于中心节点:,二.二维、三维Lagrange单元族： 1.二维情况 单元结点： 方向n+1个点 n阶插值函数 方向m+1个点 m阶插值函数 1)插值函数：（一般情况） 很明显，有： 可证明：,常用当有：一次单元、二次单元 2).一次单元4结点单元（矩形） 双线性Lagrange 这里插值函数以结点编号，而不是两个方向。原因是为了在计算机上实现方便。,3).二次单元 9结点矩形单元 (记作： ) 插值函数： 角结点： 边中结点： 内部中结点：,2.Lagrange单元族

8、的特点： 1)Lagrange单元族、插值函数构造方便 2)但存在一些问题：以二维为例， a)内部结点较多 (n-1)(m-1)个,单元的次数越高，插值函数构造方便。相应自由度增多。 b)但非完全高次项较多，位移模式包括的多项式的项为：,通常：p次多项式，结点数n，n=(p+1)2 一次单元 多项式 4(项) 完全的一次式: 3, 75% 多余的高次项：1, 25% 二次单元 9(项) 完全的二次式: 6, 67% 多余的高次项：3, 33% 三次单元 16(项) 完全的三次式: 10, 62.5% 多余的高次项：6, 37.5% 而多余的项对于提高单元精度没有多少好处。给我们提出一个问题：如

9、何减少一些不必要的项，以提高效率。,三.Serendipity单元族 此类单元 Zienkiewicz 首先提出，现在使用较多。作用是减少内部结点。显然，如果是线性单元，则得到的问题与Lagrange单元族一样。,对于二次以上的单元,就减少内部结点： 1.8结点四边形二维单元 右下图表示边中结点5插值函数的变化规律： 方向二次Lagrange插值， 方向一次Lagrange插值， i=5,6,7,8 显然满足，,2)角结点插值函数：双线性插值函数构成 以 为例，显然： a) b) 为了满足 ，需要修正上述函数,可取： 同理：,角结点插值函数也可以按照以下划线法构成:以(1)和(1)的乘积与通过

10、其相邻的两边中点的直线方程相乘构成,以保证在两个邻边和对边满足插值函数为零.,很容易验证上式与前面已有的 相同,3)插值函数性质：,4)位移模式 单元内： 较Lagrange单元族少 项，结点减少了（自由度） 但完全多项式次数不减。 边界上： 所以单元间界面上位移协调。,5） 边结点插值函数：如果只有一个边中点,可以直接表示成(或)方向二次和(或)方向一次式的乘积,以保证在两个邻边和对边满足插值函数为零. 对于p次单元,一般边内节点可以采用沿主方向(例如设方向为p次,插值函数表示成方向p次和方向含待定常数的一次式的乘积.角结点插值函数可以表示成一双线性函数和用适当的分数乘以相邻的两个边界上的边

11、内节点函数之和.,例如:构造一个六节点的过渡单元, 以便进行3次1次过渡变化. 要求在底边放置两个边内节点,边结点插值函数可以直接表示成:,代入条件: N5(-1/3,-1)=1, N5(1/3,-1)=0; N6(-1/3,-1)=0, N6(1/3,-1)=1; 可以求得: A=9/32,B=3,C=9/32,D=-3 得到:,角结点插值函数可以表示成一双线性函数和用适当的分数乘以相邻的两个边界上的边内节点函数之和:,其中:,代入条件: N1(-1/3,-1)=0, N1(1/3,-1)=0; N2(-1/3,-1)=0, N2(1/3,-1)=0; 可以求得: E=2/3, F=1/3,

12、 G=1/3, H=2/3 得到:,右图表示沿边1562,插值函数的变化规律：,N5,N6,例如:构造一个8节点的过渡单元, 边内节点均匀布置。求：边内节点5，7和角结点1的插值函数表达式:,由教材知道，边内点5的插值函数可以直接表示成:,满足条件:N5(0,-1)=1, N6(其它边)=0。,边内点7的插值函数可以表示成:,代入条件:N7(-1，1/3)=1, N7(-1，-1/3)=0; 可以求得:A=9/32,B=27/32,5-7点连线基本方程为,角结点1的插值函数仍然可以按照划线法构成:以5-7点的连线与5-8点的连线的乘积与点1的基本方程相乘构成,以保证在两个邻边和对边满足插值函数

13、为零.,5-8点连线基本方程为,角点1的插值函数可以表示成:,代入条件:N1(-1，-1)=1,可以求得:A=9/32,角点1的插值函数:,四. Serendipity单元族图谱,1、八节点三维实体元 图形 形 函 数,2、十二结点三维实体元 图形 形 函 数,3、三十二结点三维实体元 图形 形 函 数,4、十六结点三维实体元 图形 形 函 数,5、二十四结点三维实体元 图形 形 函 数,6、四结点线性四面体元 图形 形 函 数,7、十结点二次四面体元元 图形 形 函 数,8、二十结点三次四面体元 图形 形 函 数,9、六结点线性楔形元 图形 形 函 数,10、十五结点二次楔形元 图形 形 函

14、 数,11、九结点楔形元 图形 形 函 数,12、十二结点楔形元 图形 形 函 数, 4.5. 阶谱单元,标准C0型单元有一个缺点，,阶谱单元克服来这一缺点。, 4.5.1. 一维阶谱单元,考虑一维线性单元，其形函数为:,若将其改为二次单元，利用变结点的构造方法,则形函数为：,阶谱单元的基本概念,因此单元内的近似场函数 ：,其中：,原低阶 形函数,原单元的结点参数,二次形函数,单元由线性变为二次，原线性部分保留， 不用重新构造所有的形函数；,阶谱单元中： 不再具备标准型单元 形函数的性质，故称之为阶谱函数。,若将二次单元升为三次单元，无须改变原 边中点的位置，只需增加一个三次函数，且 该三次函

15、数在原结点1、2点等于零。,例如：,判断：,而：,若利用阶谱函数表示单元的未知场函数,可见：,类推：,可以发现阶谱单元有下面性质：,有其物理意义,二维、三维情况时，自动满足连续性。,我们注意到：在二维或三维情况下，,阶谱单元使得单元与单元之间自动满足C0连续。,显然阶谱单元的最大优点：在用于自适应分析 中可以节省编程的工作量。,刚度矩阵：, 4.5.2. 二维、三维阶谱单元,二维矩形单元,当单元为线性的时，阶谱单元与 Lagrange 双线性单元相同。,当单元升为8结点的二次单元时，,阶谱函数：,单元内挠度函数w()的插值表示：,其中:,Ni采用Hermiter插值法：,显然满足插值函数的要求.,第3章 小结,1.从几何形状和连续性要求上区别,有限元法中各有 哪几种类型的单元?,2.有限元的插值函数为什么通常采用坐标的幂函数?,3.什么是自然坐标? 为什么通常要在自然坐标内 建立插值函数?,4.如何定义面积坐标和体积坐标?采用它们有什么 方便之处和应注意之处?,5.什么是构造单元插值函数的广义Lagrange法? 用它构造插值函数的具体步骤是什么?,6.什么是构造单元插值函数的变结点法? 用它构