第七章 应力状态、应变分析和强度理论

1、第七章应力和应变分析强度理论,7-1应力状态的概念7-3二向应力状态分析-解析法7-4二向应力状态分析-图解法7-5三向应力状态7-8广义胡克定律7-11四种常用强度理论,第七章应力和应变分析、强度理论,一、概述1、应力状态受力构件中某点处不同截面上的应力状况。,斜截面上的应力,7-1应力状态的概念,圆轴扭转破坏分析,滑移与剪断发生?作用面,断裂发生在?作用面,7-1应力状态的概念,7-1应力状态的概念,7-1应力状态的概念,微体A,7-1应力状态的概念,2、为什么要研究一点处的应力状态？（1）求单元体在某截面上的最大应力（2）分析不同材料的破坏原因（3）构建强度理论,7-1应力状态的概念,注

2、意：1、拉伸、压缩中有剪切，扭转中有剪切，也有拉伸;2、不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力;3、同一面上不同点的应力各不相同;4、同一点不同方向截面上的应力也不相同,哪一点？哪个方向面？,哪一个面上？哪一点？,7-1应力状态的概念,二、应力状态的研究方法单元体围绕所要研究的点截取一微小正六面体。单元体在某截面上的应力就代表了构件在该截面上的应力。,空间,平面,7-1应力状态的概念,单元体特征：1、单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布。2、任意一对平行平面上的应力相等。,7-1应力状态的概念,C,D,D,O,C,弯扭组合变形,7-1应力状态的概念,7-1应力状态的概念,例1画出如图所示

3、梁S截面的应力状态单元体.,7-1应力状态的概念,S平面,7-1应力状态的概念,例2画出如图所示梁危险截面危险点的应状态单元体,7-1应力状态的概念,y,x,z,7-1应力状态的概念,三、应力状态分类主平面剪应力（切应力）等于零的平面。主应力主平面上的正应力。拉伸、压缩时横截面就是主平面。扭转时，450截面是主平面。可以证明，主平面上的主应力是最大正应力。规定：,7-1应力状态的概念,说明:一点处必定存在这样的一个单元体,三个相互垂直的面均为主平面,三个互相垂直的主应力分别记为1,2,3且规定按代数值大小的顺序来排列,即,7-1应力状态的概念,1、单向应力状态三个主应力1、2、3中只有一个不等

4、于零,7-1应力状态的概念,2、二向（平面）应力状态三个主应力1、2、3中有两个不等于零,7-1应力状态的概念,3、三向（空间）应力状态三个主应力1、2、3均不等于零,7-1应力状态的概念,仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面平面应力状态,平面应力状态的一般形式,微体各侧面均作用有应力空间应力状态,空间应力状态一般形式,7-1应力状态的概念,例3对于图示各单元体，试分别写出三个主应力.,7-1应力状态的概念,二向应力状态，平面应力状态，是工程中最常见的应力状态。为了对构件进行强度计算，必须了解危险点的应力状态，求出主应力的大小和主平面的方位，以此作为对构件计算的依据。研

5、究方法有两种，解析法和几何法。,7-3平面应力状态分析解析法,一、任意斜截面上的应力公式,斜截面的面积为dA,7-3平面应力状态分析解析法,一、任意斜截面上的应力公式,7-3平面应力状态分析解析法,一、任意斜截面上的应力公式,7-3平面应力状态分析解析法,一、任意斜截面上的应力公式,7-3平面应力状态分析解析法,一、任意斜截面上的应力公式,符号规定：拉应力为正，压应力为负。：顺时针转为正，逆时针转为负。：以x轴为始边，逆时针转为正。,7-3平面应力状态分析解析法,上述关系建立在静力学基础上，故所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。,7-3平面应力状态分析

6、解析法,二、正应力极值,7-3平面应力状态分析解析法,设0时，上式值为零，即,即0时，切应力为零,由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。,所以，最大和最小正应力分别为：,主应力按代数值排序：123,7-3平面应力状态分析解析法,在切应力相对的方向上，且偏向于x及y大的一侧,在切应力相对的方向上，且偏向于x及y大的一侧,7-3平面应力状态分析解析法,二、切应力极值,或,7-3平面应力状态分析解析法,例4图示单元体，已知x=-40MPa，y=60MPa，xy=-50MPa.试求ef截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.,(1)求ef截面上的应力,7

7、-3平面应力状态分析解析法,(2)求主应力和主单元体的方位,x=-40MPay=60MPaxy=-50MPa=-30,因为xy，所以0=-22.5与min对应,7-3平面应力状态分析解析法,7-3平面应力状态分析解析法,解（1）求主平面方位,因为x=y，且xy0,例5求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.,xy,所以0=-45与max对应,（2）求主应力,1=，2=0，3=-,7-3平面应力状态分析解析法,例6简支梁如图所示.已知mm截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为=-70MPa，=50MPa.确定A点的主应力及主平面的方位.,解：,把从A点处截取的单元体放大如图,7-3平面应力状态分

8、析解析法,因为xy，所以0=27.5与min对应,7-3平面应力状态分析解析法,一、原理,两式相加，,7-4平面应力状态分析图解法,应力圆,圆心位于s轴,以横坐标表示，纵坐标表示，则方程的轨迹是一个圆，应力圆，莫尔圆。,应力圆上任意一点的横坐标和纵坐标，分别代表单元体上相应截面上的正应力和切应力。德国学者莫尔ottoMohr,1882年提出。,7-4平面应力状态分析图解法,(1)建-坐标系,选定比例尺,二、应力圆作法,1、步骤,7-4平面应力状态分析图解法,o,(2)量取,OA=x,AD=xy,得D点,OB=y,(3)量取,BD=yx,得D点,(4)连接DD两点的直线与轴相交于C点,(5)以C

9、为圆心,CD为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆,7-4平面应力状态分析图解法,(1)该圆的圆心C点到坐标原点的距离为,(2)该圆半径为,证明,7-4平面应力状态分析图解法,7-4平面应力状态分析图解法,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一截面上的正应力和切应力,3、几种对应关系,7-4平面应力状态分析图解法,应力圆上任意两点的半径夹角，等于单元体上对应两截面外法线夹角的两倍。单元体以为参数，应力圆以2为参数，转向一致。单元体上的两个主平面必相互垂直。最大剪应力所在平面与主平面之间的夹角必为450。,7-4平面应力状态分析图解法,4、求主应力大小和主平面位置,(1)主应力数值,A

10、1和B1两点为与主平面对应的点，其横坐标为主应力1，2,7-4平面应力状态分析图解法,（2）主平面方位,由CD顺时针转20到CA1,所以单元体上从x轴顺时针转0（负值）即到1对应的主平面的外法线,0确定后，1对应的主平面方位即确定,7-4平面应力状态分析图解法,5、求最大切应力,G1和G2两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力,因为最大最小切应力等于应力圆的半径,7-4平面应力状态分析图解法,7-4平面应力状态分析图解法,7-4平面应力状态分析图解法,例7从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x=-1MPa,y=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx=0.2MPa,(1)绘出相应的应力圆,(

11、2)确定此单元体在=30和=-40两斜面上的应力。,解:(1)画应力圆,量取OA=x=-1,AD=XY=-0.2，定出D点;,OB=y=-0.4和，BD=yx=0.2，定出D点.,以DD为直径绘出的圆即为应力圆。,将半径CD逆时针转动2=60到半径CE,E点的坐标就代表=30斜截面上的应力。,(2)确定=30斜截面上的应力,(3)确定=-40斜截面上的应力,将半径CD顺时针转2=80到半径CF,F点的坐标就代表=-40斜截面上的应力。,7-4平面应力状态分析图解法,纯剪切状态的最大应力,主平面微体位于方位,7-4平面应力状态分析图解法,圆轴扭转破坏分析,滑移与剪断发生在tmax的作用面,断裂发

12、生在smax作用面,7-4平面应力状态分析图解法,解：1.解析法,例8用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位,7-4平面应力状态分析图解法,2.图解法,主应力的大小与方位？,7-4平面应力状态分析图解法,定义,三个主应力都不为零的应力状态,7-5三向应力状态,由三向应力圆可以看出：,结论：代表单元体任意斜截面上应力的点，必定在三个应力圆圆周上或圆内。,7-5三向应力状态,1.基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7-8广义胡克定律,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,=,+,+,7-8广义胡克定律,7-8广义胡克定律,3、广义胡克定律的一般形式,7-8广

13、义胡克定律,（拉压）,（弯曲）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,杆件基本变形下的强度条件,7-11四种常用强度理论,7-11四种常用强度理论,强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,7-11四种常用强度理论,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度

14、理论：最大切应力理论和形状改变比能理论,(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,7-11四种常用强度理论,1.最大拉应力理论（第一强度理论）,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破坏拉应力数值。,7-11四种常用强度理论,断裂条件,强度条件,最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁拉伸,铸铁扭转,7-11四种常用强度理论,2.最大伸长拉应变理论（第二强度理

15、论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,7-11四种常用强度理论,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。,强度条件,最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,断裂条件,即,7-11四种常用强度理论,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。,3.最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,7-11四种常

16、用强度理论,屈服条件,强度条件,最大切应力理论（第三强度理论）,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,7-11四种常用强度理论,实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。,1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。,最大切应力理论（第三强度理论）,7-11四种常用强度理论,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。,4.形状改变比能理论（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单拉实验测得,7-11四种常用强度理

17、论,屈服条件,强度条件,形状改变比能理论（第四强度理论）,实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,7-11四种常用强度理论,强度理论的统一表达式：,相当应力,7-11四种常用强度理论,例9,已知：和。试写出最大切应力准则和形状改变比能准则的表达式。,解：首先确定主应力,7-11四种常用强度理论,例工字形截面梁受力如图所示，已知梁的=160MPa，=100MPa。试按第三强度理论选择工字钢型号。,应力状态、应变分析和强度理论练习题,由正应力强度条件：,可得,查型钢表，取28b工字钢。,a点是全梁切应力最大的地方，其正应力为零，需校核该点的剪应力强度：,

18、应力状态、应变分析和强度理论练习题,c点是腹板与翼缘交界处，同时存在正应力和切应力，且正应力和切应力的数值分别接近全梁正应力最大值和全梁切应力最大值，处于二向应力状态：,c点初始单元体如图所示。用第三强度理论进行强度校核：,不安全,应力状态、应变分析和强度理论练习题,1.纯剪切单元体属于单向应力状态。()2.纯弯曲梁上任一点的单元体均属于二向应力状态。()3.构件上一点处沿某方向的正应力为零，则该方向上的线应变也为零。()4.在单元体上叠加一个三向等拉应力状态后，其形状改变比能改变。(),应力状态、应变分析和强度理论练习题,1除零应力外，过受力杆件的任一点，其主平面（）。A只有三个；B.不多于

19、三个；C至少有三个；D.可能有三个。,2广义胡克定律适用的范围是（）。A在小变形范围内；B.在屈服极限范围内；C在比例极限范围内；D.在强度极限范围内。,应力状态、应变分析和强度理论练习题,题3图,A120MPa，30MPa；B130MPa，80MPa；C150MPa，60MPa；D140MPa，80MPa。,应力状态、应变分析和强度理论练习题,4按照第三强度理论，如图所示应力状态的相当应力是为（）MPa。A100；B80；C60；D120。,题4图,应力状态、应变分析和强度理论练习题,5以下结论中（）是正确的。A第一、二强度理论主要用于塑性材料；B第三、四强度理论主要用于脆性材料；C第一强度理论主要用于单向应力状态；D第四强度理论可用于塑性材料的应力状态。,题6图,6某处的应力单元如图所示，则该处最大的正应力为（）MPa。,A14B114C140D50,应力状态、应变分析和强度理论练习题,7图示两危险点应力状态，其中,A.a点较危险B.两者危险程度相同C.b点较危险D.判断不清楚,按第四强度理论比较危险程度，则（）。,，,题7图,应力状态、应变分析和强度理论练习题,应力状态、应变分析