区间估计和假设检验

1、四、单变量推论统计,推论统计就是利用样本的统计值对总体的参数值进行估计的方法.推论统计的内容主要包括两个方面:区间估计和假设检验,一.区间估计(IntervalEstimation),1.区间估计的概念区间估计是指在一定的可信度(置信度)下,用样本统计值的某个范围(置信区间)来“框”住总体的参数值.范围的大小反映的是这种估计的精确性问题,而可信度高低反映的则是这种估计可靠性或把握性的问题.区间估计的结果通常可以采取下述方式来表述:我们有95%的把握认为,全市职工的月收入在750元至850元之间,或者“全市人口中,女性占50%至52%的可能性为99%.,区间估计中的可靠性或把握性是指用某个区间去

2、估计总体参数值时,成功的可能性有多大.,它可以这样来解释,如果从这个总体中重复抽样100次,约有95%次所抽样本的统计值都落在这个区间,说明这个区间估计的可靠性为95%.对于同一总体和同一抽样规模来说所给区间的大小与做出这种估计所具有的把握性形成正比.区间大小所体现的是估计的精确性,区间越大,精确性程度越低,区间越小精确性越高,二者成反比.,从精确性出发,要求所估计的区间越小越好,从把握性出发,要求所估计的区间越大越好,因此人们总是需要在这二者之间进行平衡和选择.在社会统计中,常用的置信度分别为90%,95%和99%.与他们所对应的允许误差()分别为10%,5%和1%.在计算中,置信度常用1-

3、来表示.以下我们分别介绍总体均值,和总体百分比的区间估计方法,2.总体均值的区间估计,总体均值的区间估计公式:XZ(1-)其中X为样本平均数,S为样本标准差,Z(1-)为置信度是1所对应的Z值.n为样本规模.计算练习:调查某单位的工资情况,随机抽取900名工人作为样本,调查得到他们的月平均工资为186元,标准差为42元,求95%得置信度下,全单位职工的月平均工资的置信区间是多少.,Sn,(解)将调查资料带入总体均值的区间估计公式得:,186Z(10.05)查表得Z(10.05)=1.96（p.358）所以,总体均值的置信区间为:1861.96得183.2188.74元当我们希望提高估计的可靠性

4、时就必须相应扩大置信区间.比如我们将置信度提高到99%时,那么,上例中得置信区间又是多大呢?,42900,42900,Z检验表,3.总体百分数的区间估计,总体百分数的区间估计公式为:PZ（1）这里，P为样本的百分比。例题：从某工厂随机抽取400名工人进行调查,结果表明女工的比例为20%现在要求在90%的置信度下，估计全厂工人中女工比例的置信区间。,P（1p）n,（解）带入公式得：,20%(1-20%)400即.16.7-23.3%而当提高置信度时,比如在95%的置信度下,置信区间为16.1%和23.9%.可见随着制度的提高,置信区间进一步扩大,估计的精确性则进一步降低.,20%1.65,练习题

5、:,从某校随机抽取300名教师进行调查,得出他们的平均年龄为42岁,标准差为5岁,在95%的置信度下,该校全体教师平均年龄的置信区间是多少?,二.假设检验,假设检验是推论统计中的另一种类型.需要说明的是,这里的假设不是指抽象层次的理论假设,而是指和抽样手段联系在一起并且依靠抽样调查的数据进行验证的经验层次的假设,即统计假设.(一)假设检验及其依据假设检验实际上就是先对总体的某一参数作出假设,然后用样本的统计量去进行验证,以决定假设是否为总体所接受.,1.假设检验的依据,假设检验所依据的是概率论中的“小概率原理”即“小概率事件在一次观察中不可能出现的原理”,但是如果现实的情况恰恰是在一次观察中小

6、概率事件出现了,应该如何判断呢?一种意见认为该事件的概率仍然很小,只不过偶然被遇上了,另一种则是怀疑和否定该事件的概率未必很小,即认为该事件本身就不是一种小概率事件,而是一种大概率事件.后一种意见代表的正是假设检验的基本思想.,2.举例说明假设检验的基本思路,某单位职工上月平均收入为210元,这个月的情况与上月没有大的变化,我们设想平均收入还是210元.为了验证这一假设是否可靠,我们抽取100人作调查,结果得出月平均收入为220元,标准差位15元.显然,样本的结果与总体结果之间出现了误差,这个误差是由于我们假设错误引起的,还是由于抽样误差引起的呢?如果是抽样误差引起的,我们就应该承认原来的假设

7、,而如果是假设错误引起的,我们就应该否定原假设.,方法:,通过将原假设作为虚无假设,而将与之对立的假设作为研究假设,然后用样本的数据计算统计量并与临界值比较.当统计值的绝对值小于临界值,即ZZ/2时则接受虚无假设,否定研究假设;当统计值的绝对值大于或等于临界值:即zZ/2时则拒绝虚无假设,接受研究假设.,3.假设检验的步骤:,建立虚无假设和研究假设通常将原假设作为虚无假设.根据需要选择适当的显著性水(即小概率的大小).通常=0.05或=0.01等.根据样本数据计算出统计值,并根据显著性水平查出对应的临界值.将临界值与统计值进行比较,以判定是接受虚无假设还是接受研究假设.,(二)总体均值的假设检

8、验,某单位职工上月平均奖金为210元,本月调查了100名职工,平均奖金为220元,标准差为15元,问该单位职工平均奖金与上月相比是否有变化.(解)首先建立虚无假设(用H0表示)和研究假设(用H1表示),即有:H0:=210H1:210选择显著性水平=0.05,由Z检验表查得Z(0.05/2)=1.96,然后根据样本数计算统计值:,公式为:Z=6.67由于Z=6.67Z(0.05/2)=1.96所以.拒绝虚无假设,接受研究假设,即从总体上说,该单位职工月平均奖金与上月相比有变化.,X220210S/n15/100,(三).总体百分比的假设检验:,总体百分比的假设检验的基本思路和方法与总体均值的假设检验相同,只是统计量的计算公式为:PP0Z=P0(1P0)n例题:一所大学全体学生中抽烟者的比例为35%,经过学习和戒烟宣传后,随机抽取100名大学生进行调查,结果发现抽烟者为25明,问戒烟宣传是否受到了成效.,（解）1.建立假设,H0:P0=0.35H1:P00.352.选择显著性水平=0.05,由Z检