命题逻辑之二(逻辑学)

1、命题逻辑：推演,前言：什么是推演？什么是自然演绎？推演：例子如果小王是三好学生，那么小王学习好并且品德好；小王是三好学生，所以，小王学习好。分析为：如果小王是三好学生，那么小王学习好并且品德好；小王是三好学生，所以，小王学习好并且品德好。,小王学习好并且品德好，所以小王品德好。由相对复杂的推论分析为简单可以推演规则为依据的简单推论并且一步一步得出结论的方法就是“自然演绎”。自然演绎的过程称之为推演。,八条整推规则肯定前件根据蕴含命题的特征真值表PQ蕴含命题真并且前件真后件真，P前件真后件后件真假不确定Q否定后件PQQP,否定析取支PQPQP和QQP附加P和QPQPQ,根据析取命题的特征真值表，

2、析取命题真并且其中一个析取支真另一个析取支可真可假；析取命题真并且其中一个析取支假另一个析取支真；析取命题一个析取支真，析取命题真。,化简PQ和PQPQ合取PQPQ,根据合取命题的特征真值表，合取命题真，其两个合取支都真；两个合取支都真，合取命题真。,假言三段论PQQRPR二难推论PQRSPRQS,应用整推规则需要注意的是：八条规则必须应用于整个命题，不能应用于命题的某个部分；换句话说就是要应用于主联结词。ABC和ABCACBC（AB）,意大利的都灵大教堂，因为珍藏了一件绝世圣物而名闻遐迩。相传该圣物是耶稣遇难后包裹尸体的布幅。这块裹尸布，用细亚麻织成，长4.3米，宽3米，供放在一只精致的盒子

3、里，终年摆在教堂的圣坛上。这块裹尸布是1357年首次展示的，在以后的六百多年中，它的真伪问题一直引起信徒们的激烈争论。,一些信徒把它奉为至高无上的圣物而顶礼膜拜，不许有一丝一毫的亵渎和不敬；另一些信徒却认为它不过是好事者伪造出来的赝品。某年，一神学院的A，B，C，D，E五个学生到都灵旅行，他们在看了这块裹尸布以后，也就它的真伪问题发表了自己的看法：,A说：我认为这圣物是真的。因为如果它是假的话，那么，它就不可能在六百多年一直被我们的教友所敬奉；事实上，我们都是虞城地敬奉它的，可见它是真的。B说：我也相信这件圣物是真的。大家想想耶稣受难时的情景吧！耶稣是钉死在十字架上的，那时手上，大腿上一定留了

4、大量的血。所以我们可以这样分析：如果它是真的，那么，在它上面必定有大量的血迹，（因为它是用来包裹尸体的），现在我们亲眼看到它上面由斑斑得血迹，可见它是真的。,C说：我同意B的分析。此外，我还要补充一点理由：只有这块布上有血迹，才有可能是圣物；像刚才B所说的，我们亲眼看见它上面有许多血迹，可见它是圣物无疑了。,D说：我不认为它是圣物，这道理是最简单不过的。许多研究纺织史的专家认为：在欧洲，粗糙的亚麻织品在公元前虽然就出现了，而亚麻细布却是直到公元2世纪才出现。这就是说，如果这块布真的是耶稣的裹尸布，那么，耶稣应该是公元2世纪以后才受难的，可见，圣经说它是公元1世纪受难的呀！可见，它根本不可能是什

5、么圣物。,E说：纺织史家意见不完全可靠，最可能的是碳14测定法，如果这亚麻布是圣物，那么，它是公元1世纪织品，如果碳14测定法测定其为公元1世纪织品，那么它就是圣物。问题：请将上述五个推论符号化，并确认哪一个是八个整推规则中的一个。,八条整推规则的应用,某天深夜伦敦一大公寓发生三起刑事案件：住四楼的一名下院议员被枪杀；住二楼的一名收藏家五幅16世纪油画被盗；住底楼的一名芭蕾舞演员被强奸。接到报警后，警方大批警员赶赴现场侦查，断定三案件分别为三罪犯单独作案，三个月深入侦查后，抓获三个罪犯A、B、C。审讯中三人口供如下：A：1.C是杀人犯，出于私仇杀了议员；2.我既被捕，当然要编造口供，所以我不是

6、十分老实；3.B是强奸犯。,B：1.A是著名大盗，盗画人就是他；2.A从来不说真话；3.C是强奸犯C：1.盗窃案不是B做的；2.A是杀人犯；3.我在那天晚上在那个公寓做过案。以上一个人供认属实，全说真话；一个人极不老实，供认全是假话，另一个供认有真有假。问：三人各犯什么罪？,分析：先找出说话有真有假的人，最有可能的是A，他的第二句话，可以看出这一点，为什么？确定A的话有真有假我们根据这个案例已知的一切，可以作出以下推论（这个推论也可以看出A的话有真有假）：如果A是供认属实的罪犯，那么他不会说自己编造口供；如果A是最不老实的罪犯，那么他就不会承认自己并非十分老实；A说自己编口供，并且承认自己并不

7、十分老实；所以，A不是供认属实的罪犯，并且不是最不老实的罪犯。,先将以上推论符号化：令：S：A供认属实；B：A说自己编口供；U：A最不老实；C：A承认自己并不十分老实推论符号化为：SBUCBCSU,论证：（1）SB前提（2）UC前提（3）BC前提（4）B（3）化简（5）S（1）（3）否后（6）C（3）化简,（7）U（2）（6）否后（8）SU（5）（7）合取这其实是一个省略的证明，我们等学了置换规则再补充完整，不过这个证明已经告诉我们针对A的推论是有效的，所以，他不是供认属实的罪犯，也不是最不老实的，也就是他说话有真有假，于是，其他两个人有一个说话全真一个说话全假。,由于B的供述中有一句“A从不

8、说真话”显然是假的，所以B的话都是假的，所以C的话都是真的。于是我们先从C的话得出A杀人，盗窃犯既然不是B那就能是C，所以A另外一句真话是B是强奸犯。这样我们就破案了。,使用规则证明的定义：一个证明是一个命题序列：其中，每一个命题是前提，或者是根据推演规则从序列中在前的命题推得；序列的最后一个命题是结论。证明的符号化的模式：P1前提PnS1根据推演规则由前提推得的过渡命题SnC结论,十条置换规则,证明：（1）SB前提（2）UC前提（3）BC前提（4）B（3）化简（5）？（6）S（1）（3）否后（7）C（3）化简（8）U（2）（6）否后（9）SU（5）（7）合取,上次课提到，如上的证明实际上并不

9、是一个完整的证明，大家可能觉得B就是B的否定并无疑义，但是严格的逻辑学却不能这么认为，在逻辑学看来B和B的否定是不一样的，不过如果我们能证明它们是重言等值的话，那么我们就能将它们互相置换，而在置换的时候，B和B的否定的重言等值将成为一个规则，这就是所谓的置换规则。也就是说命题B和B无论以整个命题出现，还是以一个命题的一个部分出现，都可以互相替换。,推而广之，对于任何命题P，无论它是以整个命题出现，还是作为一个命题的一部分出现，都可用与它重言等值的命题Q来替换。可以如此应用置换规则，其实道理简单说就是与的逻辑意义的不同，重言等值命题的两边的命题的真值一致，不论作为整个命题还是命题一部分，相互替换

10、都不会改变整个命题的真值。整推规则应用的时候一般都是规则中作为前提的命题已知，然后才能得到右边的结论。,就像书里说的，重言等值式有无穷多个，但是，在我们的系统中，我们只需要如下十条：交换由重言式：PQQPPQQP得到置换规则：PQ和QP可以相互置换。PQ和QP可以相互置换。,双重否定由重言式PP，得到置换规则：P和P可以相互置换。这样我们可以把一开始的证明补充完整：证明：（1）SB前提（2）UC前提（3）BC前提（4）B（3）化简（5）B（4）双否（6）S（1）（5）否后（7）C（3）化简（8）C（7）双否（9）U（2）（8）否后（10）SU（6）（9）合取,德摩根律由重言式：(PQ)PQ(P

11、Q)PQ得到规则：(PQ)和PQ可以互相置换。(PQ)和PQ可以互相置换。,假言易位由重言式：(PQ)(QP)得到规则：(PQ)和(QP)可以相互置换。这个在练习中出现过。,蕴含由重言式：(PQ)(PQ)得到规则：(PQ)和(PQ)可以相互置换。这个应该大家也不陌生，第二章第一节有提到。,重言由重言式：PPPPPP得到规则：P和PP可以相互置换。P和PP可以相互置换。,结合由重言式：P(QR)(PQ)RP(QR)(PQ)R得到规则：P(QR)与(PQ)R可以相互置换。P(QR)与(PQ)R可以相互置换。,分配由重言式：P(QR)(PQ)(PR)P(QR)(PQ)(PR)得到规则：P(QR)和(

12、PQ)(PR)可以相互置换。P(QR)和(PQ)(PR)可以相互置换。,移出由重言式：(PQR)(P(QR)得到规则：(PQR)和(P(QR)可以相互置换。,等值由重言式：(PQ)(PQ)(QP)得到规则：(PQ)和(PQ)(QP)可以相互置换。,绿野仙踪的主角桃乐斯这天穿着魔法鞋子飞到了一个健忘的森林，在这个森林里面，人类总会忘记自己所处当天的日期，而动物却不会。桃乐斯到这里也忘记了自己所处当天的日期，刚好她碰到了永远说真话的山羊爷爷，于是她问它：山羊爷爷，今天星期几啊？山羊爷爷由于年纪太大了也忘记日期了，不过他建议桃乐斯去问狮子和独角兽，同时告诉她，狮子在周一、周二和周三说谎话，而独角兽在

13、周四、周五和周六说谎话，其他日子则都说真话。于是，桃乐斯就去问狮子和独角兽。,结果，狮子和独角兽都说：“昨天是我说谎话的日子。”于是，桃乐斯做了一系列的推论（这个留给大家去尝试，都是简单的充分条件假言推论的肯定前件与否定后件的分析），最后得到以下的几个前提，并且由它们得到，当天是星期四的结论：只有当天是周四或者周日，独角兽才说“昨天是我说谎话的日子”；独角兽和狮子都说“昨天是我说谎话的日子”；不会出现这样的情况：如果狮子说“昨天是我说谎话的日子”，那么当天是周日；所以，当天是周四。,将此推论符号化。令：L：狮子说“昨天是我说谎话的日子”;D：独角兽说“昨天是我说谎话的日子”;S：当天是周日；T

14、：当天是周四。上述推论符号化为：DSTLD(LS)T,证明：（1）DST前提（2）LD前提（3）(LS)前提（4）D（2）化简（5）ST（1）（4）肯前（6）(LS)（3）蕴含（7）LS（6）德摩根（8）S（7）化简（9）T（5）否析,条件证明规则,条件证明规则原理专门针对结论是蕴含式并且仅用先前学过的18条规则不能证明其有效性的推论的规则。由于这种推论的形式才得以使用这种“无中生有”的规则。我们看下它的形式：Pr（代表所有前提的合取）前提P（推论中原来没有出现的）假设Q由前提或者假设推得的结论性命题PQ结论,我们这种写法没有所以的符号，我们知道证明最后的结论在原始的推论那里都是所以符号连接的

15、，这里想说的是到Q这一步实际上已经是证明的一个小结论出现了，到这一步用公式表达式：PrPQ，我们看到这个形式的公式会想到什么规则呢，就是移出的整推规则，如果PrPQ有效的话，那么它的等值式Pr（PQ）根据移出规则也是有效的。用证明的形式我们表达如下，我想把上面的证明切割，以便大家更清楚条件证明规则的原理：,PrPQ等值于Pr（代表所有前提的合取）前提P（推论中原来没有出现的）假设Q由前提或者假设推得的结论性命题从这里我们看出得到移出规则的原理就是移出规则，我们根据作为假设的结论的前件（实际作用也是证明的前提）以及原有的前提得到结论的后件，就相当于由前提可以得到作为一个蕴含式的结论。,由此得到完

16、整的条件证明规则的表达：如果从前提Pr和假设P推出Q，那么，仅从前提Pr可以推得PQ。,条件证明规则的应用第一种类型：直接用于整个推论，也就是只应用一次的第一种情况：推论：如果一个人自信，那么他有闯劲但不容易保持谦虚；如果一个人怯懦，那么他容易保持谦虚；所以，如果一个人自信，那么他不怯懦。将此推论符号化。令：Z：一个人自信；C：他有闯劲；B：他容易保持谦虚；Q：他怯懦。此推论符号化为：ZCBQBZQ,证明：（1）ZCB前提（2）QB前提（3）Z假设（4）CB（1）（3）肯前（5）B（4）化简（6）Q（2）（5）否后（7）ZQ（3）-（6）条件证明,第二种类型：将条件证明规则应用于推论证明的过程

17、，这算是更高级的“无中生有”，原理同样，但是会产生一个前提中没有直接出现的蕴含式。推论：如果外出忘记锁门则家里被盗，那么社会秩序不好；或者家里被盗或者安心工作；然而，如果外出忘记锁门，那么不安心工作；所以，社会秩序不好。将此推论符号化。令：W：外出忘记锁门；J：家里被盗；S：社会秩序好；A：安心工作。此推论被符号化为：,（WJ）SJAWAS证明：（1）（WJ）S前提（2）JA前提（3）WA前提（4）W条件假设（5）A（3）（4）肯前（6）J（2）（5）否析,（7）WJ（4）-（6）条件证明（8）S（1）（7）肯前这里添加一个注意事项：假设一旦被撤除，假设域内的任何一行都不能再被使用。就我们这一

18、例子来讲，到第8步就不能再用4-6的任何一行。,第三种应用类型：多次使用条件证明规则：分两种：1：结论是等值式。推论：I(HK)KH(IE)IH证明：(1)I(HK)前提(2)K前提(3)H(IE)前提,(4)I条件假设(5)HK(1)(4)肯前(6)H(2)(5)否后(7)IH(4)-(6)条件证明(8)H条件假设(9)IE(3)(8)否析(10)I(9)化简(11)HI(8)-(10)条件证明(12)(IH)(HI)(7)(11)合取(13)IH(12)等值,2：结论是蕴含式中有蕴含式：推论：PSRRQTP(QTR)证明：(1)PSR前提(2)RQT前提,(3)P条件假设(4)Q条件假设(5)PS(3)附加(6)R(1)(5)肯前(7)RQ(4)(6)合取(8)T(2)(7)肯前(9)TR(6)(8)合取(10)QTR(4)-(9)条件证明(11)P(QTR)(3)-(10)条件证明,间接证明规则,间接证明规则原理大家回忆一下条件证明规则的原理是用到了整推规则里面的移出规则，而间接证明规则将用到的是逻辑基本规律里面的矛盾律，即是(AA)。实际上，这也让我们回忆起归谬法，如果我们先假设一个推论的结论的否定，然后由这个假设加上