中考数学轨迹专题练习(含解析)

1、4d专题一：轨迹专题一：轨迹1.如图，已知abc，c90，a30，bc2，动点d在边ac上，以bd为边作等边bde（点e、a在bd的同侧），在点d从点a移动至点c的过程中，点e移动的路线为（）ab22.如图，把直角abc的斜边ac放在直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到a2b1c2的位置，设ab，bac30，则顶点a运动到点a2的位置时，点a所经过的路线为（）a（+）b（+）c2d3.如图，在rtabc中，a20，ac6，将abc绕直角顶点c按顺时针方向旋转得到abc，当点b第一次落在ab边上时，点a经过的路径长（即的长）为（）abc2d4.如图，rtabc中，abac3，点d

2、是ab上一点，以cd为边作等边cde，使a、e位于bc异侧当d点从a点运动到b点，e点运动的路径长为（）a3b2c3d35.如图，ab为o的直径，且ab8，点c在半圆上，ocab，垂足为点o，pbc上任意一点，过p点作peoc于点e，m是ope的内心，连接om、pm，当点p在弧bc上从点b运动到点c时，求内心m所经过的路径长（）ab2cd6.如图，将边长为cm的正方形abcd沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心o经过的路线长是（）a2b3c4d57.如图，在平面直角坐标系中，a，b两点的坐标分别是（0，4），（0，4），点c是x轴上一个动点，过点b作直线bhac于点

3、h，过点c作cdy轴，交bh于点d，点c在x轴上运动的过程中，点d不可能经过的点是（）a（2，3）b（1，3）c（4，0）d（0，4）8.如图，已知rtabc中，c90，abc30，ab6cm，将abc绕着点b顺时针旋转至abc的位置，且a、b、c三点在同一条直线上，则点c经过的路线的长度是（）a12cmbcd9.如图，在菱形abcd中，bad120，ab2，点e是ab边上的动点，过点b作直线ce的垂线，垂足为f，当点e从点a运动到点b时，点f的运动路径长为（）abcd10.如图，正方形abcd的边长为4，点e，f分别在边ab、bc上，aebf1，动点p从点e出发沿直线向点f运动，每当碰到正方

4、形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点p第一次回到点e时，动点p所经过的路程长为（）a4b8c8d811.正方形abcd的边长为4，p为bc边上的动点，连接ap，作pqpa交cd边于点q当点p从b运动到c时，线段aq的中点m所经过的路径长（）a2b1c12.如图，矩形abcd中，ab9，ad12，将矩形abcd按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点b在两次旋转过程中经过的路径的长是（）ab13cd1413.如图，抛物线yx2+x+4分别交x轴于a，b两点，与y轴交于点c，动点p从d（0，2）出发，先到达x轴上的某点e，再到达抛物线对称轴上的某点f，最后运动到点c，求

5、点p运动的最短路径长为（）ab8c7d9cd14.如图，等腰rtabc中，斜边ab的长为2，o为ab的中点，p为ac边上的动点，oqop交bc于点q，m为pq的中点，当点p从点a运动到点c时，点m所经过的路线长为（）15.如图，在abcd中，dab60，ab10，ad6o分别切边ab，ad于点e，f，且圆心o恰好落在de上现将o沿ab方向滚动到与边bc相切（点o在abcd的内部），则圆心o移动的路径长为（）a4b6c7d10216.如图，o的半径为2，ab、cd是互相垂直的两条直径，点p是o上任意一点，过点p作pmab于点m，pncd于点n，点q是mn的中点，当点p从点a运动到点d时，点q所经

6、过的路径长为（）abcd17如图，已知点a是第一象限内横坐标为的一个，acx轴于点m，交直线yx于点n，若点p是线段on上的一个动点，以ap为边向ap右侧作等边三角形apb，取线段ab的中点h，当点p从点o运动到点n时，点h运动的路径长是（）a2b1cd18如图，abc为o的内接三角形，bc24，a60，点d为弧bc上一动点，ce垂直直线od于点e，当点d由b点沿弧bc运动到点c时，点e经过的路径长为（）a8b18cd3620.如图，四边形abcd是正方形，动点e、f分别从d、c两点同时出发，以相同的速度分别在边dc、cb上移动，当点e运动到点c时都停止运动，df与ae相交于点p，若ad8，则

7、点p运动的路径长为（）a8b4c4d221.如图，矩形abcd的边ab3cm，ad4cm，点e从点a出发，沿射线ad移动，以ce为直径作o，点f为o与射线bd的公共点，连接ef，过点e作egef，交o于点g，当o与射线bd相切时，点e停止移动，则在运动过程中点g移动路程的长为（）a4cmbcmccmdcm22.如图，水平地面上有一面积为30cm2的灰色扇形oab，其中oa6cm，且oa垂直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点b刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点o移动的距离是（）a10cmb20cmc24cmd30cm23.如图，已知扇形aob中，oa3，aob120，c是在上的动点以

8、bc为边作正方形bcde，当点c从点a移动至点b时，点d经过的路径长是25.如图，四边形abhk是边长为6的正方形，点c、d在边ab上，且acdb1，点p是线段cd上的动点，分别以ap、pb为边在线段ab的同侧作正方形amnp和正方形brqp，（1）正方形amnp和正方形brqp的面积之和的最大值是；（2）e、f分别为mn、qr的中点，连接ef，设ef的中点为g，则当点p从点c运动到点d时，点g移动的路径长为26.如图，边长为20厘米的正方形木块在水平桌面上，距离c点40厘米的e处有一与水平方向成30角的斜置木板，木板长度为1米现将正方形木块水平向右无滑动翻滚，若使正方形木块ab边完全落在木板

9、上，则正方形的中心点o经过的路径长为27.如图，rtabc中，c90，ab5，bc4，点g为边bc的中点，点d从点c出发沿ca向点a运动，到点a停止，以gd为边作正方形defg，则点e运动的路程为28.正方形abcd的边长为4，点e为ad的延长线上一点，点p为边ad上一动点，且pcpg，pgpc，点f为eg的中点当点p从d点运动到a点时，则点f运动的路径长为abc1d229.如图，正方形abcd的边长为4，将长为4的线段qr的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动如果点q从点a出发，沿图中所示方向按abcda滑动到a止，同时点r从点b出发，沿图中所示方向按bcdab滑动到b止，在这个过程中，线段

10、qr的中点m所经过的路线围成的图形的面积为30.如图，o的半径为1，o沿着边长为4的正方形abcd的外边缘滚动一圈，则圆心o的运动路径长为31.已知正方形abcd的边长是2，点p从点d出发沿db向点b运动，至点b停止运动，连结ap，过点b作bhap于点h，在点p运动过程中，点h所走过的路径长是32.如图，正方形abcd的边长为4，点e是边ad上一点，且edad，点f在ab上且从点b向点a运动，连接ef并延长交cd的延长线于点g，过点e作ehfg，交bc的延长线于点h，点o是eh的中点，则点o的运动路径长为33.如图，正方形abcd的边长为4，点p为bc边上的动点，连接ap，作pqap，交cd于

11、点q，连接aq，当点p从b点运动到c点时，线段aq的中点所经过的路径长为35.如图，正方形abcd边长为a，正方形befg边长为b，a、b、e在同一直线上，两个正方形在同侧，连ag与df交于p（1）如a2，b1，则df；（2）如a2，b是一个变量，在b的变化过程中，动点p运动的路径为36.如图是一个边长为4的正方形，长为4的线段pq的两端在正方形相邻的两边上滑动，且点p沿abcd滑动到点d终止，在整个滑动过程中，pq的中点r所经过的路线长为37.如图，ab为o的直径，且ab4，点c在半圆上，ocab，垂足为点o，p为半圆上任意一点，过p点作peoc于点e，设ope的内心为m，连接om、pm当点

12、p在半圆上从点b运动到点a时，内心m所经过的路径长为38.如图，线段ab上有c、d两点，ab6，acbd1，点p是线段cd上的一个动点，分别以pa、pb为斜边在线段ab的同侧作等腰直角三角形map和等腰直角三角形nbp，连接mn，当点p从点c运动到点d的过程中，pmn的外接圆圆心经过的路程是39.如图，等腰rtabc中，斜边ab的长为2，o为ab的中点，p为ac边上的动点，oqop交bc于点q，m为pq的中点，当点p从点a运动到点c时，点m所经过的路线长为40.已知一个半圆形工件，未搬动前如图中阴影部分所示，其直径平行于地面l，现将其按图示方法翻滚一周，使其直径依然平行于地面l，已知半圆的直径

13、为2m，则圆心o所终过的路线长是参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共22小题）小题）1（2017沭阳县校级模拟）如图，已知abc，c90，a30，bc2，动点d在边ac上，以bd为边作等边bde（点e、a在bd的同侧），在点d从点a移动至点c的过程中，点e移动的路线为（）a.b2cd【分析】作efab垂足为f，连接cf，由ebfdbc，推出点e在ab的垂直平分线上，在点d从点a移动至点c的过程中，点e移动的路线和点d运动的路线相等，由此即可解决问题【解答】解：如图，作efab垂足为f，连接cfacb90，a30，abc60，ebd是等边三角形，bebd，ebd60，eb

14、dabc，ebfdbc，在ebf和dbc中，ebfdbc，bfbc，efcd，fbc60，bfc是等边三角形，cfbfbc，bcab，bfab，affb，点e在ab的垂直平分线上，在点d从点a移动至点c的过程中，点e移动的路线和点d运动的路线相等，在点d从点a移动至点c的过程中，点e移动的路线为2故选：b【点评】本题考查轨迹、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，正确找到点e的运动路线，属于中考常考题型2（2018秋辽源期末）如图，把直角abc的斜边ac放在直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到a2b1c2的位置，设ab，bac30

15、，则顶点a运动到点a2的位置时，点a所经过的路线为（）a（+）b（+）c2d【分析】a点所经过的弧长有两段，以c为圆心，ca长为半径，aca1为圆心角的弧长；以b1为圆心，ab长为半径，a1b1a2为圆心角的弧长分别求出两段弧长，然后相加即可得到所求的结论【解答】解：在rtabc中，ab，bac30，acb60，ac2；由分析知：点a经过的路程是由两段弧长所构成的：aa1段的弧长：l1，a1a2段的弧长：l2，点a所经过的路线为（+），故选：a【点评】本题考查的是弧长的计算，30度角直角三角形的性质，旋转的性质，难点在于与动点知识相结合，但是只要将运动的过程分解清楚，就能顺利作答3（2017秋

16、温州期末）如图，在rtabc中，a20，ac6，将abc绕直角顶点c按顺时针方向旋转得到abc，当点b第一次落在ab边上时，点a经过的路径长（即的长）为（）abc2d【分析】根据三角形的内角和得到b70，根据旋转的性质得到bcbc，根据等腰三角形的性质得到bbcb70，求得aca40，根据弧长的公式即可得到结论【解答】解：acb90，a20，b70，将abc绕直角顶点c按顺时针方向旋转得到abc，bcbc，bbcb70，bcb40，aca40，点a经过的路径长，故选：b【点评】本题考查了轨迹：符合一定条件的动点所形成的图形为点运动的轨迹也考查了旋转的性质和弧长公式4（2018秋江汉区校级月考）

17、如图，rtabc中，abac3，点d是ab上一点，以cd为边作等边cde，使a、e位于bc异侧当d点从a点运动到b点，e点运动的路径长为（）a3b2c3d3【分析】如图，作等边三角形bch，连接eh由dcbech（sas），推出bdeh，可得点e的运动轨迹线段ab的长3；【解答】解：如图，作等边三角形bch，连接ehcde，bch都是等边三角形，dcebch，dcbech，cdce，cbch，dcbech（sas），bdeh，点e的运动轨迹线段ab的长3，故选：a【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点e的运动轨迹，属于中考常考题型5（201

18、8秋梁溪区校级期中）如图，ab为o的直径，且ab8，点c在半圆上，ocab，垂足为点o，pbc上任意一点，过p点作peoc于点e，m是ope的内心，连接om、pm，当点p在弧bc上从点b运动到点c时，求内心m所经过的路径长（）ab2cd【分析】首先证明cmopmo135，推出当点p在弧bc上从点b运动到点c时，点m在以oc为弦，并且所对的圆周角为135的劣弧上（），利用弧长公式计算即可解决问题；【解答】解：ope的内心为m，mopmoc，mpompe，pmo180mpomop180（eop+ope），peoc，即peo90，pmo180（eop+ope）180（18090）135，opoc，o

19、mom，而mopmoc，opmocm，cmopmo135，所以当点p在弧bc上从点b运动到点c时，点m在以oc为弦，并且所对的圆周角为135的劣弧上（），点m在扇形boc内时，过c、m、o三点作o，连oc，oo在优弧co取点d，连da，do，cmo135，cdo18013545，coo90，而oa2cm，oooc42，弧omc的长（cm），故选：d【点评】本题考查了弧长的计算公式：l，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点m的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题6（2018红花岗区校级

20、二模）如图，将边长为cm的正方形abcd沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心o经过的路线长是（）a2b3c4d5【分析】根据题意，画出正方形abcd“滚动”时中心o所经过的轨迹，然后根据弧长的计算公式求得中心o所经过的路程【解答】解：正方形abcd的边长为cm，正方形的对角线长是2cm，翻动一次中心经过的路线的半径是以对角线的一半为半径，圆心角是90度的弧则中心经过的路线长是：63cm；故选：b【点评】本题考查了弧长的计算、正方形的性质以及旋转的性质在半径是r的圆中，因为360的圆心角所对的弧长就等于圆周长c2r，所以n圆心角所对的弧长为lnr1807（2017秋长

21、兴县期末）如图，在平面直角坐标系中，a，b两点的坐标分别是（0，4），（0，4），点c是x轴上一个动点，过点b作直线bhac于点h，过点c作cdy轴，交bh于点d，点c在x轴上运动的过程中，点d不可能经过的点是（）a（2，3）b（1，3）c（4，0）d（0，4）【分析】利用特殊值法解决问题即可；【解答】解：当点c坐标为（2，0）时，直线ac的解析式为y2x+4，直线bc的解析式为yx4，cdy轴，d（2，3），当点c的坐标为（4，0）时，点d与点c重合，d（4，0），当点c的坐标为（0，0）时，点d与点b重合中，d（0，4），点d的坐标可以为（2，3），（4，0）（0，4），故选：b【点评】本

22、题考查轨迹、坐标与图形性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用特殊值法解决问题，属于中考常考题型8（2017秋白云区期末）如图，已知rtabc中，c90，abc30，ab6cm，将abc绕着点b顺时针旋转至abc的位置，且a、b、c三点在同一条直线上，则点c经过的路线的长度是（）a12cmbcd【分析】由题意可得bc的长度，cbc的度数，由弧长公式可求点c经过的路线的长度【解答】解：c90，abc30，ab6cmac3，bcac3将abc绕着点b顺时针旋转至abc的位置，且a、b、c三点在同一条直线上cbc150则点c经过的路线的长度为故选：c【点评】本题考查了点的轨迹，旋转的性质，利

23、用弧长公式求轨迹是本题的关键9（2018港南区二模）如图，在菱形abcd中，bad120，ab2，点e是ab边上的动点，过点b作直线c的垂线，垂足为f，当点e从点a运动到点b时，点f的运动路径长为（）abcd【分析】因为afb90，推出点f的运动轨迹是以bc为直径的，圆弧bm，求出圆心角bom即可解决问题；【解答】解：如图，取ab的中点o，连接ofafb90，点f的运动轨迹是以bc为直径的，圆弧bm，当点e与a重合时，点f与ac中点m重合，四边形abcd是菱形，bad120，bcm60，omocob1，omc是等边三角形，moc60，bom120，的长故选：b【点评】本题考查轨迹、菱形的性质、

24、弧长公式、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会准确寻找点的运动轨迹，所以中考常考题型10（2018梁溪区二模）如图，正方形abcd的边长为4，点e，f分别在边ab、bc上，aebf1，动点p从点e出发沿直线向点f运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，经过若干次反弹，当动点p第一次回到点e时，动点p所经过的路程长为（）a4b8c8d8【分析】根据已知中的点e，f的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度【解答】解：根据已知中的点e，f的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为f

25、，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，第二次碰撞点为g，在da上，且dgda，第三次碰撞点为h，在dc上，且dhdc，第四次碰撞点为m，在cb上，且cmbc，第五次碰撞点为n，在da上，且anad，第六次回到e点，aeab由勾股定理可以得出ef，fg，gh，hm，mn，ne，故小球经过的路程为：+8，故选：c【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用通过相似三角形的性质来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道数学物理学科综合试题，难度较大11（2018江阴市二模）正方形abcd的边长为4，p为bc边上的动点，连接

26、ap，作pqpa交cd边于点q当点p从b运动到c时，线段aq的中点m所经过的路径长（）a2b1c4d【分析】由题意知：pqap，即：apb+qpc90，bap+apb180b90，所以qpcbap，又bc，即：abppcq，由相似三角形的性质可得：，cqbp，又bpx，pcbcbp4x，ab4，将其代入该式求出cq的值即可，利用“配方法”求该函数的最大值易知点m的运动轨迹是mom，cq最大时，omcq【解答】解：如图，连接ac，设ac的中点为o设bp的长为xcm，cq的长为ycm四边形abcd是正方形，bc90pqap，apb+qpc90apb+bap90bapqpcabppcq，即，yx2+

27、x（x2）2+1（0 x4）；当x2时，y有最大值1cm易知点m的运动轨迹是mom，cq最大时，mocq，点m的运动轨迹的路径的长为2om1，故选：b【点评】本题主要考查正方形的性质、二次函数的应用、三角形的中位线定理等知识，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，学会探究点m的运动轨迹12（2018鱼台县三模）如图，矩形abcd中，ab9，ad12，将矩形abcd按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点b在两次旋转过程中经过的路径的长是（）ab13cd14【分析】如答图所示，第一次旋转：以点d为旋转中心，旋转角ada90，第二次旋转：以点c为旋转中心，旋转角bcb9

28、0，然后依据扇形的弧长公式求解即可【解答】解：如图所示：ab9，ad12，bd15第一次旋转：以点d为旋转中心，旋转角ada90，第二次旋转：以点c为旋转中心，旋转角bcb90，点b在两次旋转过程中经过的路径的长+故选：c【点评】本题主要考查的是旋转的性质，扇形的弧长公式的应用，确定出旋转中心、旋转角的大小以及旋转半径的大小是解题的关键13（2018兰州模拟）如图，抛物线yx2+x+4分别交x轴于a，b两点，与y轴交于点c，动点p从d（0，2）出发，先到达x轴上的某点e，再到达抛物线对称轴上的某点f，最后运动到点c，求点p运动的最短路径长为（）ab8c7d9【分析】根据两点之间线段最短和轴对称

29、的性质来求解可做c点关于直线x的对称点c，做d点关于x轴的对称点d，连接cd那么e、f就是直线cd与x轴和抛物线对称轴的交点，求出长度即可【解答】解：作c点关于直线x的对称点c，做d点关于x轴的对称点d，连接cd则e、f就是直线cd与x轴和抛物线对称轴的交点，此时cd即为点p运动的最短路径长，则有c（5，4），d（0，2）；故点p运动的最短路径长cd故选：a【点评】此题主要考查了轨迹，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，以及利用对称求最小值问题等知识，得出c、d点的坐标是解题关键14（2018荆门）如图，等腰rtabc中，斜边ab的长为2，o为ab的中点，p为ac边上的动点，oqop交bc于点

30、q，m为pq的中点，当点p从点a运动到点c时，点m所经过的路线长为（）abc1d2【分析】连接oc，om、cm，如图，利用斜边上的中线性质得到ompq，cmpq，则omcm，于是可判断点m在oc的垂直平分线上，则点m运动的轨迹为abc的中位线，然后根据三角形中位线性质求解【解答】解：连接oc，om、cm，如图，m为pq的中点，ompq，cmpq，omcm，点m在oc的垂直平分线上，点m运动的轨迹为abc的中位线，点m所经过的路线长ab1故选：c【点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹也考查了等腰直角三角形的性质15（2018鹿城区模拟）如图，在abcd中

31、，dab60，ab10，ad6o分别切边ab，ad于点e，f，且圆心o恰好落在de上现将o沿ab方向滚动到与边bc相切（点o在abcd的内部），则圆心o移动的路径长为（）a4b6c7d102【分析】图所示，o滚过的路程即线段en的长度enabaebn，所以只需求ae、bn的长度即可分别根据ae和bn所在的直角三角形利用三角函数进行计算即可【解答】解：连接oe，oa、boab，ad分别与o相切于点e、f，oeab，ofad，oaeoad30，在rtade中，ad6，ade30，aead3，oeaeadbc，dab60，abc120设当运动停止时，o与bc，ab分别相切于点m，n，连接on，om同

32、理可得，bon为30，且on为，bnontan301cm，enabaebn10316o滚过的路程为6故选：b【点评】此题考查了切线的性质、平行四边形的性质及解直角三角形等知识点，关键时计算出ae和bn的长度16（2018荆门二模）如图，o的半径为2，ab、cd是互相垂直的两条直径，点p是o上任意一点，过点p作pmab于点m，pncd于点n，点q是mn的中点，当点p从点a运动到点d时，点q所经过的路径长为（）abcd【分析】op的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得oq1，再由走过的角度代入弧长公式即可【解答】解：如图所示：pmy轴于点m，pnx轴于点n，四边形onpm是矩形，又点q为m

33、n的中点，点q为op的中点，则oq1，点q走过的路径长故选：c【点评】本题考查了弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式17（2018句容市一模）如图，已知点a是第一象限内横坐标为的一个，acx轴于点m，交直线yx于点n，若点p是线段on上的一个动点，以ap为边向ap右侧作等边三角形apb，取线段ab的中点h，当点p从点o运动到点n时，点h运动的路径长是（）a2b1cd【分析】根据已知条件得到b1b2的运动轨迹也为直线，根据等边三角形的性质得到13，根据全等三角形的性质得到b1b2on，求得m（，0），n（，），求得on2b

34、1b2，根据三角形的中位线的性质得到结论【解答】解：由上图可知，当p在o点时，aob1为正三角形，当p在n点时，anb2为正三角形，h1，h2分别为ab1与ab2的中点，p在直线on上运动，ab2n60为定值，b1b2的运动轨迹也为直线，oab1为正三角形，oab11+260，同理nab22+360，13，在oan与b1ab2中，oanb1ab2，b1b2on，点a横坐标为，anx轴，m（，0），直线on的解析式为：yx，mon45，n（，），on2b1b2，h1，h2分别为ab1与ab2的中点，h1h2b1b21，故选：b【点评】本题考查了轨迹，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角

35、形的中位线的性质，正确的作出图形是解题的关键18（2018惠山区一模）如图，abc为o的内接三角形，bc24，a60，点d为弧bc上一动点，ce垂直直线od于点e，当点d由b点沿弧bc运动到点c时，点e经过的路径长为（）a8b18cd36【分析】如图，作ohbc于h，设oc的中点为k当e的运动轨迹是以oc为直径的园弧，圆心角为240，根据弧长公式计算即可；【解答】解：如图，作ohbc于h，设oc的中点为kohbc，bhch12，a60，coh60，och30，oc8，ceo90，当e的运动轨迹是以oc为直径的园弧，圆心角为240，点e经过的路径长，故选：c【点评】本题考查三角形的外心与外接圆、

36、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点e的运动轨迹，属于中考常考题型19（2017秋宜阳县期末）如图，o的半径为2，ab，cd是互相垂直的两条直径，点p是o上任意一点（点p与点a，b，c，d不重合），过点p作pmab于点m，pncd于点n，点q是mn的中点，当点p沿着圆周转过90时，点q走过的路径长为（）abcd【分析】由于op的长度不变，始终等于半径，则根据矩形的性质可得oq1，再由走过的角度代入弧长公式求得点q走过的路径长；【解答】解：如图连接oppmab于点m，pncd于点n，四边形onpm是矩形，又点q为mn的中点，点q也是op的中点，则oq1，点q走过的路径长故选：b【点评】本题考查了弧

37、长的计算，矩形的性质，解答本题的关键是根据矩形的性质得出点q运动轨迹的半径，要求同学们熟练掌握弧长的计算公式20（2017秋南宁期末）如图，四边形abcd是正方形，动点e、f分别从d、c两点同时出发，以相同的速度分别在边dc、cb上移动，当点e运动到点c时都停止运动，df与ae相交于点p，若ad8，则点p运动的路径长为（）a8b4c4d2【分析】如图，连接ac、bd交于点o首先证明dpeapd90，即可推出点p的运动轨迹是以ad为直径的圆上的弧，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接ac、bd交于点odecf，addc，adedcf，adedcf，daecdf，dae+aed90，cdf+d

38、ep90，dpeapd90，点p的运动轨迹是以ad为直径的圆上的弧，点p运动的路径长为242，故选：d【点评】本题考查正方形的性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，判断出apd90这个突破点，属于中考常考题型21（2018宜兴市模拟）如图，矩形abcd的边ab3cm，ad4cm，点e从点a出发，沿射线ad移动，以ce为直径作o，点f为o与射线bd的公共点，连接ef，过点e作egef，交o于点g，当o与射线bd相切时，点e停止移动，则在运动过程中点g移动路程的长为（）a4cmbcmccmdcm【分析】利用图1，证明点g的在射线bg上，cbg是定值，dbg9

39、0，如图2中，当o与bd相切时，f与b重合，由bcgbad时，可得，列出方程即可解决问题【解答】解：如图1中，连接cf、cg、fg易知四边形efcg是矩形，efcg，cbgabd，点g的在射线bg上，cbg是定值，dbg90如图2中，当o与bd相切时，f与b重合，由bcgbad时，可得，bgcm，点g的运动路径的长为cm，故选：b【点评】本题考查轨迹、矩形的性质和判定、切线的性质相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，探究运动轨迹是关键，属于中考选择题中的压轴题22（2017秋苍溪县期末）如图，水平地面上有一面积为30cm2的灰色扇形oab，其中oa6cm，且oa垂

40、直于地面，将这个扇形向右滚动（无滑动）至点b刚好接触地面为止，则在这个滚动过程中，点o移动的距离是（）a10cmb20cmc24cmd30cm【分析】根据题意可知点o移动的距离正好是灰色扇形的弧长，所以先根据扇形的面积求得扇形的圆心角的度数，再根据弧长公式求得弧长，即点o移动的距离【解答】解：设扇形的圆心角为n度，则30n300扇形的弧长为10（cm），点o移动的距离10cm故选：a【点评】此题考查了轨迹及弧长的计算的知识，解决本题要牢记扇形的面积公式和弧长公式要会从题意中分析得到点o移动的距离是灰色扇形的弧长二填空题（共二填空题（共20小题）小题）23（2017工业园区模拟）如图，已知扇形a

41、ob中，oa3，aob120，c是在上的动点以bc为边作正方形bcde，当点c从点a移动至点b时，点d经过的路径长是2【分析】如图，由此bo交o于f，取的中点h，连接fh、hb、bd易知fhb是等腰直角三角形，hfhb，fhb90，由fdb45fhb，推出点d在h上运动，轨迹是（图中红线），易知hfghgf15，推出fhg150，推出ghb120，易知hb3，利用弧长公式即可解决问题【解答】解：如图，由此bo交o于f，取的中点h，连接fh、hb、bd易知fhb是等腰直角三角形，hfhb，fhb90，fdb45fhb，点d在h上运动，轨迹是（图中红线），易知hfghgf15，fhg150，ghb

42、120，易知hb3，点d的运动轨迹的长为2故答案为2【点评】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点d的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题24（2016秋河西区期末）将边长为4的正方形abcd向右倾斜，边长不变，abc逐渐变小，顶点a、d及对角线bd的中点n分别运动到a、d和n的位置，若abc30，则点n到点n的运动路径长为【分析】根据题意可以画出相应的图形，可以求得nmn的度数，然后根据弧长公式即可解答本题【解答】解：作nmbc于点m，连接mn，点n和点m分别为线段bd和bc的中点，mn2，mnbm，mbnmnb，abc30，mbn

43、15，nmc30，nmn60，点n到点n的运动路径长为：，故答案为：【点评】本题考查轨迹、正方形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件25（2016衢州校级三模）如图，四边形abhk是边长为6的正方形，点c、d在边ab上，且acdb1，点p是线段cd上的动点，分别以ap、pb为边在线段ab的同侧作正方形amnp和正方形brqp，（1）正方形amnp和正方形brqp的面积之和的最大值是26；（2）e、f分别为mn、qr的中点，连接ef，设ef的中点为g，则当点p从点c运动到点d时，点g移动的路径长为2【分析】（1）根据正方形的面积公式得到正方形amnp和正方形brqp的面积之和，再

44、配方可求它们的最大值；（2）设kh中点为s，连接pe、es、sf、pf、ps，可证明四边形pesf为平行四边形，判断出g的运行轨迹为csd的中位线，从而求出点g移动的路径长【解答】解：（1）设正方形amnp的边长为x，则正方形brqp的边长为（6x），依题意有x2+（6x）22x212x+362（x3）2+18，1x615，正方形amnp和正方形brqp的面积之和的最大值是2（13）2+1826；（2）设kh中点为s，连接pe、es、sf、pf、ps，可证明四边形pesf为平行四边形，g为ps的中点，即在点p运动过程中，g始终为ps的中点，g的运行轨迹为csd的中位线，cdabacbd6114

45、，点g移动的路径长为42故答案为：26；2【点评】本题考查了正方形的性质和轨迹，判断出g的运行轨迹为csd的中位线是解题的关键26（2016黄冈模拟）如图，边长为20厘米的正方形木块在水平桌面上，距离c点40厘米的e处有一与水平方向成30角的斜置木板，木板长度为1米现将正方形木块水平向右无滑动翻滚，若使正方形木块ab边完全落在木板上，则正方形的中心点o经过的路径长为或中心点o经过的路径长为2+或+210【分析】如图，在整个运动过程中，正方形木块ab边完全落在木板上，有两种情形，分别根据弧长公式求出即可【解答】解：正方形中心o运动的路径如图所示，故答案为或【点评】本题考查轨迹、正方形的性质、弧长

46、公式等知识，解题的关键是正确画出图形，记住弧长公式l，属于中考常考题型27（2018春江都区期末）如图，rtabc中，c90，ab5，bc4，点g为边bc的中点，点d从点c出发沿ca向点a运动，到点a停止，以gd为边作正方形defg，则点e运动的路程为3【分析】建立如答图所示的坐标系，过点e作egy轴，垂足为g，先证明edgdgc，则dggc2，dceg，设dct，则egt，点e的坐标为（t，t+2），然后求得当t0和t3时点e的坐标，然后利用两点间的距离公式求解即可【解答】解：建立如图所示的坐标系，过点e作egy轴，垂足为gbc4，点g为边bc的中点，gc2defg为正方形，eddg，edg

47、90edg+gdc90又edg+ged90，gdcged在edg和dgc中，gdcged，egddcg，eddg，edgdgcdggc2，dceg设dct，则egt，点e的坐标为（t，t+2），点e在直线yx+2由题意可知：0t3，当t0时，y2，e（0，2）当t3时，y5，e（3，5）点e运动的路线长3故答案为：3【点评】本题主要考查的动点的轨迹、正方形的性质，求得点e运动的轨迹是解题的关键28（2017春硚口区期末）正方形abcd的边长为4，点e为ad的延长线上一点，点p为边ad上一动点，且pcpg，pgpc，点f为eg的中点当点p从d点运动到a点时，则点f运动的路径长为2【分析】先确定当

48、点p从d点运动到a点时，则点f运动的路径为fh的长，根据三角形的中位线定理可得fh的长【解答】解：正方形abcd的边长为4，abbc4，b90，ac4，如图，当p与d重合时，ep的中点为h，所以当点p从d点运动到a点时，则点f运动的路径为fh的长，eag中，h是ae的中点，f是eg的中点，fhagac2，故答案为：2【点评】本题考查了点的运动轨迹、正方形的性质和三角形的中位线定理，确定点f的运动路径是本题的关键，也是难点29（2017秋太仓市校级期中）如图，正方形abcd的边长为4，将长为4的线段qr的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动如果点q从点a出发，沿图中所示方向按abcda滑动到a止

49、，同时点r从点b出发，沿图中所示方向按bcdab滑动到b止，在这个过程中，线段qr的中点m所经过的路线围成的图形的面积为164【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点m到正方形各顶点的距离都为2，故点m所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，点m所经过的路线围成的图形的面积为正方形abcd的面积减去4个扇形的面积【解答】解：根据题意得点m到正方形各顶点的距离都为2，点m所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，点m所经过的路线围成的图形的面积为正方形abcd的面积减去4个扇形的面积而正方形abcd的面积为4416，4个扇形的面积为

50、44，点m所经过的路线围成的图形的面积为164故答案为164【点评】本题考查轨迹问题，关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质以及扇形面积的计算解答30（2017秋宿豫区校级月考）如图，o的半径为1，o沿着边长为4的正方形abcd的外边缘滚动一圈，则圆心o的运动路径长为16+2【分析】通过观察可以发现圆转动时四个角上各转动了个圆，利用弧长公式即可计算【解答】解：弧长为，因此圆心o共转过了：44+216+2故答案为：16+2【点评】本题考查了矩形的性质和弧长的弧长的计算方法，本题中弄清圆的运动轨迹是关键31（2016徐州校级二模）已知正方形abcd的边长是2，点p从点d出发沿

51、db向点b运动，至点b停止运动，连结ap，过点b作bhap于点h，在点p运动过程中，点h所走过的路径长是【分析】由题意点h在以ab为直径的半圆上运动，根据圆的周长公式即可解决问题【解答】解：如图，bhap，ahb90，点h在以ab为直径的半圆上运动，由题意oaob1，点h所走过的路径长21，故答案为【点评】本题考查轨迹、正方形的性质，圆的周长公式等知识，解题的关键是学会条件点h的运动轨迹，属于中考常考题型32.如图，正方形abcd的边长为4，点e是边ad上一点，且edad，点f在ab上且从点b向点a运动，连接ef并延长交cd的延长线于点g，过点e作ehfg，交bc的延长线于点h，点o是eh的中

52、点，则点o的运动路径长为3【分析】如图，当f与a重合时，点h与k重合，此时点o在m处，当点f与b重合时，点h与g重合，点o在n处，点o的运动轨迹是线段mn求出kg的长即可解决问题【解答】解：如图，当f与a重合时，点h与k重合，此时点o在m处，当点f与b重合时，点h与g重合，点o在n处，点o的运动轨迹是线段mn在rtaeb中，ae，ab4，be，aebebg，bg，bkae，kgbgbk6，mnkg3，点o的运动路径的长为3故答案为3【点评】本题考查轨迹、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点o的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中

53、的压轴题33.如图，正方形abcd的边长为4，点p为bc边上的动点，连接ap，作pqap，交cd于点q，连接aq，当点p从b点运动到c点时，线段aq的中点所经过的路径长为1【分析】由题意知：pqap，即：apb+qpc90，bap+apb180b90，所以qpcbap，又bc，即：abppcq，由相似三角形的性质可得：，cqbp，又bpx，pcbcbp4x，ab4，将其代入该式求出cq的值即可，利用“配方法”求该函数的最大值易知点o的运动轨迹是ooo，cq最大时，oocq【解答】解：如图，连接ac，设ac的中点为o，aq的中点为o设bp的长为xcm，cq的长为ycm四边形abcd是正方形，bc

54、90pqap，apb+qpc90apb+bap90bapqpcabppcq，即，yx2+x（x2）2+1（0 x4）；当x2时，y有最大值1cm易知点o的运动轨迹是ooo，cq最大时，oocq，点o的运动轨迹的路径的长为2oo1，答答案为1【点评】本题主要考查正方形的性质、二次函数的应用、三角形的中位线定理等知识，关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出y与x之间的函数关系，学会探究点o的运动轨迹34.如图已知abc中c90，ac3，bc4动点d在边bc上以ad为边作正方形adef在点d从点c移动至点b的过程中点e移动的路线长为4【分析】如图在cb上取一点m，使得cmac3，连接am、em、a

55、e只要证明acdame，可得ameacd90，推出emam，推出点e的运动轨迹在扇形me上，当点d与b重合时，acbame，可得，由此求出me即可【解答】解：如图在cb上取一点m，使得cmac3，连接am、em、aeeadmac45，eamdac，acdame，ameacd90，emam，点e的运动轨迹在扇形me上，当点d与b重合时，acbame，me4，点e移动的路线长为4，故答案为4【点评】本题考查了轨迹、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题35.如图，正方形abcd边长为a，正方形befg边长为b，a、b、e在同一直

56、线上，两个正方形在同侧，连ag与df交于p（1）如a2，b1，则df；（2）如a2，b是一个变量，在b的变化过程中，动点p运动的路径为【分析】（1）如图1中，延长fg交ad于h，则四边形abgh是矩形，在rtdfh中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，连接bd、bf，bd交ag于k由dbfabg，推出bagbdf，由akbdkp，推出dpaabk45，连接ac交bd于o，易知点p在以o为圆心，oa为半径的圆上运动，运动路径是，由此即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，延长fg交ad于h，则四边形abgh是矩形，在rtdfh中，dhadah211，fh2+13，df故答案为（2）如图2

57、中，连接bd、bf，bd交ag于k四边形abcd是正方形，四边形efgb是正方形，bdab，bfbg，dbcfbg45，abgdbf90，dbfabg，bagbdf，akbdkp，dpaabk45，连接ac交bd于o，易知点p在以o为圆心，oa为半径的圆上运动，运动路径是，ocob，cob90的长故答案为【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、轨迹、圆等知识，解题的关键是正确寻找点p的运动轨迹，题目比较难，属于中考压轴题36（2018鄂尔多斯）如图是一个边长为4的正方形，长为4的线段pq的两端在正方形相邻的两边上滑动，且点p沿abcd滑动到点d终止，在整个滑动过程中，p

58、q的中点r所经过的路线长为3【分析】由brpq2，推出当点p从a运动到b时，点r的轨迹是以b为圆心，2为半径的弧，可得当点p沿abcd滑动到点d终止，在整个滑动过程中，pq的中点r所经过的路线是图的三条弧，由此即可解决问题；【解答】解：如图，连接br四边形abcd是正方形，abbccdad4，abccd90，prrq，brpq2，当点p从a运动到b时，点r的轨迹是以b为圆心，2为半径的弧，当点p沿abcd滑动到点d终止，在整个滑动过程中，pq的中点r所经过的路线是图的三条弧，路径的长33，故答案为3【点评】本题考查轨迹，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻

59、找点r的运动轨迹，属于中考常考题型37（2018秋江都区校级月考）如图，ab为o的直径，且ab4，点c在半圆上，ocab，垂足为点o，p为半圆上任意一点，过p点作peoc于点e，设ope的内心为m，连接om、pm当点p在半圆上从点b运动到点a时，内心m所经过的路径长为cm【分析】分两种情况，当点m在扇形boc和扇形aoc内，先求出cmo135，进而判断出点m的轨迹，再求出ooc90，最后用弧长公式即可得出结论【解答】解：ope的内心为m，mopmoc，mpompe，pmo180mpomop180（eop+ope），peoc，即peo90，pmo180（eop+ope）180（18090）135，如图，opoc，omom，而mopmoc，opmocm（sas），cmopmo135，所以点m在以oc为弦，并且所对的圆周角为135的两段劣弧上（和）；点m在扇形boc内时，过c、m、o三点作o，连oc，oo，在优弧co取点d，连da，do，cmo135，cdo18013545，coo90，而oa2cm，oooc2，弧omc的长（cm），同理：点m在扇形aoc内时，同的方法得，弧onc的长为cm，所以内心m所经过的路径长为2cm故答案为：cm【点评】本题考查了弧长的计算公式：l，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定