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文档简介
1、归纳猜想型问题考点一:猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式,然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式。1.(巴中)观察下面的单项式:a,-2a2,4a3,-8a4,根据你发现的规律,第8个式子是 -128a8; ;;第n个数据应为 。(-2)n-1xn2.(南平)给定一列按规律排列的数: ,则这列数的第6个数是( )a b c d 3(黔东南州)观察规律:1=12;1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;,则1+3+5+201
2、5的值 是 10140494(沈阳)有一组等式:12+22+22=32,22+32+62=72,32+42+122=132,42+52+202=212请观察它们的构成规律,用你发现的规律写出第8个等式为 82+92+722=7325.(衡阳)观察下列按顺序排列的等式:a11,a2,a3,a4,试猜想第n个等式(n为正整数):an= 6.(南宁)有这样一组数据a1,a2,a3,an,满足以下规律:a1,a2,a3,an(n2且n为正整数),则a2016的值为 -1(结果用数字表示)7. (广安)已知直线y=(n为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积为sn,则 s1+s2+s3+s2016= 8.(
3、大庆)已知 ,依据上述规律,计算 +的结果为 。9将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 23 456 78910 按照以上排列的规律,第5行从左到右的第3个数为 13;第n行(n3)从左到右的第3个数为 (用含n的代数式表示)10请看杨辉三角(1),并观察下列等式(2): 根据前面各式的规律,则考点二:猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律,从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中,以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律,需要把图形中的有关数量关系列式表达出来,再对所列式进行对照,仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。1(牡丹江)用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案,按照这样的规律摆放,
4、则第n个图案中共有 小三角形的个数是 3n+42(娄底)如图,是用火柴棒拼成的图形,则第n个图形需 2n+1根火柴棒3(江西)观察下列图形中点的个数,若按其规律再画下去,可以得到第n个图形中所有点的个数为_(用含n的代数式表示)4(呼和浩特)如图,下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成:第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴,依此规律,第11个图案需_根火柴5(遂宁)为庆祝“六一”儿童节,某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示:按照上面的规律,摆第(n)图,需用火柴棒的根数为 6n+26(深圳)如图,每一幅图中均含有若干个正方形,第1幅图中有1个正方形;第2幅图中有5个正方形
5、;按这样的规律下去,第6幅图中有 91个正方形7. 如图所示,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数为_8. 如图是一组有规律的图案,图案1是由4个组成的,图案2是由7个组成的,那么图案3是由个组成的,依此,第n个图案是由个组成的9(2015重庆(b),8,3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成,图1中有2个黑色正方形,图2中有5个黑色正方形,图3中有8个黑色正方形,图4中有11个黑色正方形,依此规律,图11中黑色正方形的个数是( )a32 b29 c28 d2610(2015重庆(a),8,3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的
6、,其中第1个图形中一共有6个小圆圈,第2个图形中一共有9个小圆圈,第3个图形中一共有12个小圆圈,按此规律排列,则第7个图形中小圆圈的个数为( )a21 b24 c27 d3011. 将图1的正方形作如下操作:第1次分别连接对边中点如图2,得到5个正方形;第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形,以此类推,第n次操作后,得到正方形的个数是12. 如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成,第(1)个图案有4个三角形,第(2)个图案有7个三角形,第(3)个图案有10个三角形,依此规律,第n个图案有 个三角形(用含n的代数式表示)13平移小菱形可以得到
7、美丽的“中国结”图案,下面四个图案是由小菱形平移后得到的类似“中国结”的图案,按图中规律,第20个图案中,小菱形的个数是_个 14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后,继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)如此进行挖下去,第4个图中,剩余图形的面积为_,那么第n(n为正整数)个图中,挖去的所有三角形的面积和为_(用含n的代数式表示)考点三:几何图形计算变化规律 随着数字或图形的变化,它原先的一些性质有的不会改变,有的则发生了变化,而且这种变化是有一定规律的。比如,在几何图形按特定要求变化后,只要本质不变,通常的规律是“位置关系不改变,
8、乘除乘方不改变,减变加法加变减,正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。1. (张家界)如图,op=1,过p作pp1op,得op1=;再过p1作p1p2op1且p1p2=1,得op2=;又过p2作p2p3op2且p2p3=1,得op3=2;依此法继续作下去,得op2016= 2(黑龙江)已知等边三角形abc的边长是2,以bc边上的高ab1为边作等边三角形,得到第一个等边三角形ab1c1,再以等边三角形ab1c1的b1c1边上的高ab2为边作等边三角形,得到第二个等边三角形ab2c2,再以等边三角形ab2c2的边b2c2边上的高ab3为边作等边三角形,得到第三个等边ab3c3;,如
9、此下去,这样得到的第n个等边三角形abncn的面积为 )n3(牡丹江)如图,边长为1的菱形abcd中,dab=60连结对角线ac,以ac为边作第二个菱形acef,使fac=60连结ae,再以ae为边作第三个菱形aegh使hae=60按此规律所作的第n个菱形的边长是 )n-14(六盘水)把边长为1的正方形纸片oabc放在直线m上,oa边在直线m上,然后将正方形纸片绕着顶点a按顺时针方向旋转90,此时,点o运动到了点o1处(即点b处),点c运动到了点c1处,点b运动到了点b1处,又将正方形纸片ao1c1b1绕b1点,按顺时针方向旋转90,按上述方法经过4次旋转后,顶点o经过的总路程为 ,经过61次
10、旋转后,顶点o经过的总 路程为 5. 如图,点p1(x1,y1),p2(x2,y2),pn(xn,yn)均在反比例函数(x0)的图象上,若p1oa1,p2a1a2,p3a2a3,pnan-1an都是等腰直角三角形,斜边oa1,a1a2,a2a3,an-1an都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点p3的坐标是_,点pn的坐标是_(用含n的代数式表示)6. 二次函数的图象如图,点a0位于坐标原点,点a1,a2,a3an在y轴的正半轴上,点b1,b2,b3bn在二次函数位于第一象限的图象上,点c1,c2,c3cn在二次函数位于第二象限的图象上,四边形a0b1a1c1,四边形a1b2a2c2,四
11、边形a2b3a3c3四边形an-1bnancn都是菱形,a0b1a1=a1b2a2=a2b3a3=an-1bnan=60,菱形an-1bnancn的周长为 7(2015浙江湖州,16,4分)已知正方形abc1d1的边长为1,延长c1d1到a1,以a1c1为边向右作正方形a1c1c2d2,延长c2d2到a2,以a2c2为边向右作正方形a2c2c3d3,(如图所示),以此类推,若a1c12,过点a,d2,d3,d10都在同一直线上,则正方形a9c9c10d10的边长是_8. 如图,将正abc分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形,若,则正abc的
12、边长是_9. 设abc的面积为1,如图1将边bc,ac分别2等分,be1,ad1相交于点o,aob的面积记为s1;如图2将边bc,ac分别3等分,be1,ad1相交于点o,aob的面积记为s2;,依 此类推,则sn可表示为_(用含n的代数式表示,其中n为正整数)考点四:坐标系和表格中的规律1(聊城)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点o出发,按向上,向右,向下,向右的方向不 断地移动,每移动一个单位,得到点a1(0,1),a2(1,1),a3(1,0),a4(2,0),那么点a4n+1(n为自然数)的坐标为_(用n表示)。 2(抚顺)如图,在平面直角坐标系中,点a、b、c的坐标分别是(-1,
13、-1)、(0,2)、(2,0),点p在y轴上,且坐标为(0,-2)点p关于点a的对称点为p1,点p1关于点b的对称点为p2,点p2关于点c的对称点为p3,点p3关于点a的对称点为p4,点p4关于点b的对称点为p5,点p5关于点c的对称点为p6,点p6关于点a的对称点为p7,按此规律进行下去,则点p2016的坐标是 _。3. 如图,在平面直角坐标系中,有若干个横、纵坐标均为整数的点,其顺序按图中“”方向排列,如(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),根据这个规律,第2 016个点的坐标为_4(湖州)将连续正整数按以下规律排列,则位于第7行第7列的数x是_。5(恩施
14、州)把奇数列成下表,根据表中数的排列规律,则上起第8行,左起第6列的数是_。6. 如图,抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为a1,a2,a3,an将抛物线y=x2沿直线l:y=x向上平移,得一系列抛物线,且满足下列条件:抛物线的顶点m1,m2,m3,mn都在直线l:y=x上;抛物线依次经过点a1,a2,a3,an则顶点m2 016的坐标为(_,_)课后练习考点一:猜想数式规律1(2015湖北黄冈中学自主招生)两列数如下:7,10,13,16,19,22,25,28,317,11,15,19,23,27,31,35,39第1个相同的数是7,第10个相同的数是
15、 ( )a115 b127 c139 d1512(2015浙江宁波)一列数b0,b1,b2,具有下面的规律,b2n1bn,b2n2bnbn1,若b01,则b2 015的值是 ( )a1 b6 c9 d193(2015山东德州)一组数1,1,2,x,5,y,满足“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为 ( )a8 b9 c13 d154(2013山东日照)如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律根据此规律,图形中m与m,n的关系是 ( )ammn bmn(m1) cmmn1 dmm(n1)5(2014贵州毕节)观察下列一组数:,它们是按一定规律排列的,那么
16、这一组数据的第n个数是_6. 人民公园的侧门口有9级台阶,小聪一步只能上1级台阶或2级台阶,小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级逐渐增加时,上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21这就是著名的斐波那契数列那么小聪上这9级台阶共有_种不同方法7(2014江苏扬州,18,3分)设a1,a2,a2 014是从1,0,1这三个数中取值的一列数,若 a1a2a2 01469,(a11)2(a21)2(a2 0141)24 001,则a1,a2,a2 014中为0的个数是_8. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个著名的猜想422; 1257;633
17、; 1431177;835; 16313511;10375518513711; 通过这组等式,你发现的规律是_(请用文字语言表达)9. 观察下列等式:第一个等式:; 第二个等式:;第三个等式:; 第四个等式:按上述规律,回答以下问题:(1)用含的代数式表示第个等式:_=_;(2)式子_10. 下面是一个按某种规律排列的数阵:1 第1行 2 第2行 3 第3行 4 第4行 根据数阵排列的规律,第n(n是整数,且n3)行从左向右数第n-2个数是_考点二:猜想图形规律1(2015广东深圳,9,4分)观察下列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第5个图形有_个太阳2. 观察下列图形规律:当n=
18、时,图形“”的个数和“”的个数相等3. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如:他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) a289 b1 024c1 225 d1 3784. 如图,在一个三角点阵中,从上向下数有无数多行,其中各行点数依次为2,4,6,2n,请你探究出前n行的点数和所满足的规律若前n行点数和为930,则n ( )a29 b30 c31 d325. 图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2)、(3)是由这样的小正方体木块叠放而成,
19、那么图(2)中的小正方形有_块;按照这样的规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形,此时第七个图形中小正方体木块总数应是_块6(重庆)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成,其中第个图形有1棵棋子,第个图 形一共有6棵棋子,第个图形一共有16棵棋子,则第个图形中棋子的颗数为( )a51b70c76d817(2012浙江丽水,10,3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律,图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,称为三角形数,类似地,图2中的4,8,12,16,称为正方形数,下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )图1图2a2 010 b2 012 c2 014 d2 0168(2014
20、重庆,10,4分)下列图形都是按照一定规律组成,第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形,依此规律,第五个图形中三角形的个数是( )a22 b24 c26 d289. 观察下列图形,它们是按一定的规律排列的,依照此规律,第20个图形中的“”有( )a57个 b60个c63个 d85个10. 观察下列一组图形中点的个数,其中第一个图形中共有4个点,第2个图形中共有10个点,第3个图形中共有19个点,按此规律第6个图形中共有点的个数是( ) a38 b46c61 d6411. 如图,abc的三个顶点和它内部的点p1,把abc分成3个互不重叠的小三角形;a
21、bc的三个顶点和它内部的点p1、p2,把abc分成5个互不重叠的小三角形;abc的三个顶点和它内部的点 p1、p2、p3,把abc分成7个互不重叠的小三角形;abc的三个顶点和它内部的点 p1、p2、p3、pn,把abc分成 个互不重叠的小三角形12. 观察下列图形的构成规律,依照此规律,第10个图形中共有 个“”13. 如图是由火柴棒搭成的几何图案,则第n个图案中有 根火柴棒(用含n的代数式表示)14“梅花朵朵迎春来”,下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案,按图中规律,第n个 图形中小梅花的个数是 考点三:几何图形计算变化规律1. 如图,在a1b1c1中,已知a1b1=7,b1c1=
22、4,a1c1=5,依次连接a1b1c1三边中点,得a2b2c2,再依次连接a2b2c2的三边中点得a3b3c3,则a5b5c5的周长为_2. 已知rtabc中,c90,bc1,ac4,如图所示把边长分别为x1,x2,x3,xn的n个正方形依次放入abc中,则第n个正方形的边长xn_(用含n的式子表示,n1)3. 如图,正abc的边长为2,以bc边上的高ab1为边作正ab1c1,abc与ab1c1公共部分的面积记为s1;再以正ab1c1边b1c1上的高ab2为边作正ab2c2,ab1c1与ab2c2公共部分的面积记为s2;,以此类推,则sn=_(用含n的式子表示) 4. 如图,在矩形abcd中,
23、已知ab=4,bc=3,矩形在直线上绕其右下角的顶点b向右旋转90至图位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90至图位置,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点a在整个旋转过程中所经过的路程之和是_。5. 如图,将abc沿着过ab中点d的直线折叠,使点a落在bc边上的a1处,称为第1次操作,折痕de到bc的距离记为h1;还原纸片后,再将ade沿着过ad中点d1的直线折叠,使点a落在de边上的a2处,称为第2次操作,折痕d1e1到bc的距离记为h2;按上述方法不断操作下去,经过第2015次操作后得到的折痕d2014e2014到bc的距离记为h2015,到bc的距离记为h2015若h1=1,则h20
24、15的值为_.6. 如图,已知a1,a2,a3,an,an+1是x轴上的点,且oa1=a1a2=a2a3=anan+1=1,分别过点a1,a2,a3,an,an+1作x轴的垂线,交直线y=2x于点b1,b2,b3,bn,bn+1,连接a1b2,b1a2,a2b3,b2a3,anbn+1,bnan+1,依次相交于点p1,p2,p3,pna1b1p1,a2b2p2,a3b3p3,anbnpn的面积依次记为s1,s2,s3,sn,则sn为( )a b c d7. 如图,已知点a1,a2,an均在直线上,点b1,b2,bn均在双曲线上,并且满足:a1b1x轴,b1a2y轴,a2b2x轴,b2a3y轴,anbnx轴,bnan+1y轴,记点an的横坐标为an(n为正整数)若,则a2015= 8. 如图,在平面直角坐标系xoy中,已知a(,0),b(0,4)将abo绕点a顺时针旋转到ab1c1的位置,点b,o分别落在点b1,c1处,点b1在x轴上,再将ab1c1绕点b1顺时针
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