初中数学规律探究题

1、归纳猜想型问题考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。1.（巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，根据你发现的规律，第8个式子是 -128a8; ;；第n个数据应为 。（-2）n-1xn2.（南平）给定一列按规律排列的数： ，则这列数的第6个数是( )a b c d 3（黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；，则1+3+5+201

2、5的值 是 10140494（沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为 82+92+722=7325.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a11，a2，a3，a4，试猜想第n个等式（n为正整数）：an= 6.（南宁）有这样一组数据a1，a2，a3，an，满足以下规律：a1，a2，a3，an（n2且n为正整数），则a2016的值为 -1（结果用数字表示）7. （广安）已知直线y=（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为sn，则 s1+s2+s3+s2016= 8.（

3、大庆）已知 ，依据上述规律，计算 +的结果为 。9将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 23 456 78910 按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为 13；第n行（n3）从左到右的第3个数为 （用含n的代数式表示）10请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）： 根据前面各式的规律，则考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。1（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，

4、则第n个图案中共有 小三角形的个数是 3n+42（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需 2n+1根火柴棒3（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为_（用含n的代数式表示）4（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，依此规律，第11个图案需_根火柴5（遂宁）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为 6n+26（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形

5、；按这样的规律下去，第6幅图中有 91个正方形7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的9(2015重庆(b)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，依此规律，图11中黑色正方形的个数是( )a32 b29 c28 d2610(2015重庆(a)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的

6、，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为( )a21 b24 c27 d3011. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，依此规律，第n个图案有 个三角形（用含n的代数式表示）13平移小菱形可以得到

7、美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是_个 14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为_，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为_(用含n的代数式表示)考点三:几何图形计算变化规律 随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，

8、乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。1. （张家界）如图，op=1，过p作pp1op，得op1=；再过p1作p1p2op1且p1p2=1，得op2=；又过p2作p2p3op2且p2p3=1，得op3=2；依此法继续作下去，得op2016= 2（黑龙江）已知等边三角形abc的边长是2，以bc边上的高ab1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形ab1c1，再以等边三角形ab1c1的b1c1边上的高ab2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形ab2c2，再以等边三角形ab2c2的边b2c2边上的高ab3为边作等边三角形，得到第三个等边ab3c3；，如

9、此下去，这样得到的第n个等边三角形abncn的面积为 ）n3（牡丹江）如图，边长为1的菱形abcd中，dab=60连结对角线ac，以ac为边作第二个菱形acef，使fac=60连结ae，再以ae为边作第三个菱形aegh使hae=60按此规律所作的第n个菱形的边长是 ）n-14（六盘水）把边长为1的正方形纸片oabc放在直线m上，oa边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点a按顺时针方向旋转90，此时，点o运动到了点o1处（即点b处），点c运动到了点c1处，点b运动到了点b1处，又将正方形纸片ao1c1b1绕b1点，按顺时针方向旋转90，按上述方法经过4次旋转后，顶点o经过的总路程为 ，经过61次

10、旋转后，顶点o经过的总 路程为 5. 如图，点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，pn(xn，yn)均在反比例函数（x0）的图象上，若p1oa1，p2a1a2，p3a2a3，pnan-1an都是等腰直角三角形，斜边oa1，a1a2，a2a3，an-1an都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点p3的坐标是_，点pn的坐标是_（用含n的代数式表示）6. 二次函数的图象如图，点a0位于坐标原点，点a1，a2，a3an在y轴的正半轴上，点b1，b2，b3bn在二次函数位于第一象限的图象上，点c1，c2，c3cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形a0b1a1c1，四边形a1b2a2c2，四

11、边形a2b3a3c3四边形an-1bnancn都是菱形，a0b1a1=a1b2a2=a2b3a3=an-1bnan=60，菱形an-1bnancn的周长为 7(2015浙江湖州，16，4分)已知正方形abc1d1的边长为1，延长c1d1到a1，以a1c1为边向右作正方形a1c1c2d2，延长c2d2到a2，以a2c2为边向右作正方形a2c2c3d3，(如图所示)，以此类推，若a1c12，过点a，d2，d3，d10都在同一直线上，则正方形a9c9c10d10的边长是_8. 如图，将正abc分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若，则正abc的

12、边长是_9. 设abc的面积为1，如图1将边bc，ac分别2等分，be1，ad1相交于点o，aob的面积记为s1；如图2将边bc，ac分别3等分，be1，ad1相交于点o，aob的面积记为s2；，依 此类推，则sn可表示为_（用含n的代数式表示，其中n为正整数）考点四：坐标系和表格中的规律1（聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点o出发，按向上，向右，向下，向右的方向不 断地移动，每移动一个单位，得到点a1（0，1），a2（1，1），a3（1，0），a4（2，0），那么点a4n+1（n为自然数）的坐标为_（用n表示）。 2（抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点a、b、c的坐标分别是（-1，

13、-1）、（0，2）、（2，0），点p在y轴上，且坐标为（0，-2）点p关于点a的对称点为p1，点p1关于点b的对称点为p2，点p2关于点c的对称点为p3，点p3关于点a的对称点为p4，点p4关于点b的对称点为p5，点p5关于点c的对称点为p6，点p6关于点a的对称点为p7，按此规律进行下去，则点p2016的坐标是 _。3. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(1，1)，(1，2)，(2，2)，根据这个规律，第2 016个点的坐标为_4（湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是_。5（恩施

14、州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是_。6. 如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为a1，a2，a3，an将抛物线y=x2沿直线l：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：抛物线的顶点m1，m2，m3，mn都在直线l：y=x上；抛物线依次经过点a1，a2，a3，an则顶点m2 016的坐标为（_，_）课后练习考点一：猜想数式规律1(2015湖北黄冈中学自主招生)两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，317，11，15，19，23，27，31，35，39第1个相同的数是7，第10个相同的数是

15、 ( )a115 b127 c139 d1512(2015浙江宁波)一列数b0，b1，b2，具有下面的规律，b2n1bn，b2n2bnbn1，若b01，则b2 015的值是 ( )a1 b6 c9 d193(2015山东德州)一组数1，1，2，x，5，y，满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为 ( )a8 b9 c13 d154(2013山东日照)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律根据此规律，图形中m与m，n的关系是 ( )ammn bmn(m1) cmmn1 dmm(n1)5(2014贵州毕节)观察下列一组数：，它们是按一定规律排列的，那么

16、这一组数据的第n个数是_6. 人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21这就是著名的斐波那契数列那么小聪上这9级台阶共有_种不同方法7(2014江苏扬州，18，3分)设a1，a2，a2 014是从1，0，1这三个数中取值的一列数，若 a1a2a2 01469，(a11)2(a21)2(a2 0141)24 001，则a1，a2，a2 014中为0的个数是_8. 数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想422； 1257；633

17、； 1431177；835； 16313511；10375518513711； 通过这组等式，你发现的规律是_（请用文字语言表达）9. 观察下列等式：第一个等式：； 第二个等式：；第三个等式：； 第四个等式：按上述规律，回答以下问题：（1）用含的代数式表示第个等式：_=_；（2）式子_10. 下面是一个按某种规律排列的数阵：1 第1行 2 第2行 3 第3行 4 第4行 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n3）行从左向右数第n-2个数是_考点二：猜想图形规律1(2015广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有_个太阳2. 观察下列图形规律：当n=

18、时，图形“”的个数和“”的个数相等3. 希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) a289 b1 024c1 225 d1 3784. 如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，2n，请你探究出前n行的点数和所满足的规律若前n行点数和为930，则n ( )a29 b30 c31 d325. 图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，

19、那么图（2）中的小正方形有_块；按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形，此时第七个图形中小正方体木块总数应是_块6（重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第个图形有1棵棋子，第个图 形一共有6棵棋子，第个图形一共有16棵棋子，则第个图形中棋子的颗数为( )a51b70c76d817(2012浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )图1图2a2 010 b2 012 c2 014 d2 0168(2014

20、重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )a22 b24 c26 d289. 观察下列图形，它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第20个图形中的“”有( )a57个 b60个c63个 d85个10. 观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有10个点，第3个图形中共有19个点，按此规律第6个图形中共有点的个数是( ) a38 b46c61 d6411. 如图，abc的三个顶点和它内部的点p1，把abc分成3个互不重叠的小三角形；a

21、bc的三个顶点和它内部的点p1、p2，把abc分成5个互不重叠的小三角形；abc的三个顶点和它内部的点 p1、p2、p3，把abc分成7个互不重叠的小三角形；abc的三个顶点和它内部的点 p1、p2、p3、pn，把abc分成 个互不重叠的小三角形12. 观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有 个“”13. 如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有 根火柴棒（用含n的代数式表示）14“梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个 图形中小梅花的个数是 考点三:几何图形计算变化规律1. 如图，在a1b1c1中，已知a1b1=7，b1c1=

22、4，a1c1=5，依次连接a1b1c1三边中点，得a2b2c2，再依次连接a2b2c2的三边中点得a3b3c3，则a5b5c5的周长为_2. 已知rtabc中，c90，bc1，ac4，如图所示把边长分别为x1，x2，x3，xn的n个正方形依次放入abc中，则第n个正方形的边长xn_(用含n的式子表示，n1)3. 如图，正abc的边长为2，以bc边上的高ab1为边作正ab1c1，abc与ab1c1公共部分的面积记为s1；再以正ab1c1边b1c1上的高ab2为边作正ab2c2，ab1c1与ab2c2公共部分的面积记为s2；，以此类推，则sn=_（用含n的式子表示） 4. 如图，在矩形abcd中，

23、已知ab=4，bc=3，矩形在直线上绕其右下角的顶点b向右旋转90至图位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90至图位置，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点a在整个旋转过程中所经过的路程之和是_。5. 如图，将abc沿着过ab中点d的直线折叠，使点a落在bc边上的a1处，称为第1次操作，折痕de到bc的距离记为h1；还原纸片后，再将ade沿着过ad中点d1的直线折叠，使点a落在de边上的a2处，称为第2次操作，折痕d1e1到bc的距离记为h2；按上述方法不断操作下去，经过第2015次操作后得到的折痕d2014e2014到bc的距离记为h2015，到bc的距离记为h2015若h1=1，则h20

24、15的值为_.6. 如图，已知a1，a2，a3，an，an+1是x轴上的点，且oa1=a1a2=a2a3=anan+1=1，分别过点a1，a2，a3，an，an+1作x轴的垂线，交直线y=2x于点b1，b2，b3，bn，bn+1，连接a1b2，b1a2，a2b3，b2a3，anbn+1，bnan+1，依次相交于点p1，p2，p3，pna1b1p1，a2b2p2，a3b3p3，anbnpn的面积依次记为s1，s2，s3，sn，则sn为( )a b c d7. 如图，已知点a1，a2，an均在直线上，点b1，b2，bn均在双曲线上，并且满足：a1b1x轴，b1a2y轴，a2b2x轴，b2a3y轴，anbnx轴，bnan+1y轴，记点an的横坐标为an（n为正整数）若，则a2015= 8. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知a(，0)，b(0，4)将abo绕点a顺时针旋转到ab1c1的位置，点b，o分别落在点b1，c1处，点b1在x轴上，再将ab1c1绕点b1顺时针