勾股定理逆定理八种证明方法

1、证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点c作ac的延长线交df于点p. d、e、f在一条直线上， 且rtgef rtebd， egf = bed， egf + gef = 90， bed + gef = 90， beg =18090= 90又 ab = be = eg = ga = c， abeg是一个边长为c的正方形。 abc + cbe = 90 rtabc rtebd， abc = ebd. ebd + cbe = 90 即 cbd= 90又 bde = 90，bcp = 90， bc

2、 = bd = a. bdpc是一个边长为a的正方形。同理，hpfg是一个边长为b的正方形. 设多边形ghcbe的面积为s，则 证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使e、a、c三点在一条直线上. 过点q作qpbc，交ac于点p. 过点b作bmpq，垂足为m；再过点 f作fnpq，垂足为n. bca = 90，qpbc， mpc = 90， bmpq， bmp = 90， bcpm是一个矩形，即mbc = 90。 qbm + mba = qba = 90， abc + mba = mbc =

3、 90， ，又 bmp = 90，bca = 90，bq = ba = c， rtbmq rtbca. 同理可证rtqnf rtaef.即 证法3作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以cf，ae为边长做正方形fcji和aeig，ef=df-de=b-a，ei=b，fi=a，g,i,j在同一直线上，cj=cf=a，cb=cd=c， cjb = cfd = 90，rtcjb rtcfd ， 同理，rtabg rtade，rtcjb rtcfd rtabg rtadeabg = bcj，bcj +cbj= 90，abg +cbj= 90，ab

4、c= 90，g,b,i,j在同一直线上， 。证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使h、c、b三点在一条直线上，连结 bf、cd. 过c作clde， 交ab于点m，交de于点l. af = ac，ab = ad， fab = gad， fab gad， fab的面积等于， gad的面积等于矩形adlm 的面积的一半， 矩形adlm的面积 =. 同理可证，矩形mleb的面积 =. 正方形adeb的面积 = 矩形adlm的面积 + 矩形mleb的面积 即 证法5几何原本中的证明 在欧几里得的几何原本一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设abc为一直角三角形，其中a为直

5、角。从a点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（sas定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下：设abc为一直角三角形，其直角为cab。其边为bc、ab、和ca，依序绘成四方形cbde、bagf和

6、acih。画出过点a之bd、ce的平行线。此线将分别与bc和de直角相交于k、l。分别连接cf、ad，形成两个三角形bcf、bda。cab和bag都是直角，因此c、a 和 g 都是线性对应的，同理可证b、a和h。cbd和fba皆为直角，所以abd等于fbc。因为 ab 和 bd 分别等于 fb 和 bc，所以abd 必须相等于fbc。因为 a 与 k 和 l是线性对应的，所以四方形 bdlk 必须二倍面积于abd。因为c、a和g有共同线性，所以正方形bagf必须二倍面积于fbc。因此四边形 bdlk 必须有相同的面积 bagf = ab²；。同理可证，四边形 ckle 必须有相同的面积

7、 acih = ac2；。把这两个结果相加， ab2;+ ac2; = bdbk + klkc。由于bd=kl，bdbk + klkc = bd(bk + kc) = bdbc 由于cbde是个正方形，因此ab2;+ ac2;= bc2；。此证明是于欧几里得几何原本一书第1.47节所提出的证法6（欧几里得（euclid）射影定理证法）如图1，rtabc中，abc=90，bd是斜边ac上的高 通过证明三角形相似则有射影定理如下：（bd）2;=addc，（ab）2;=adac ，（bc）2;=cdac。由公式+得：（ab）2;+（bc）2;=adac+cdac =（ad+cd）ac=（ac）2；，

8、 图1即 （ab）2;+（bc）2;=（ac）2，这就是勾股定理的结论。 图1证法6在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形abde是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4（ab/2）+（b-a）2;=c2； 化简后便可得：a2;+b2;=c2; 亦即：c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研

9、究，因此有许多名称。中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。在陈子后

10、一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理” 前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。1 周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於汉学研究， 1989年第7卷第1期，255-281页。3. 李国伟： 论周髀算经“商高曰数之法出于圆方”章。刊於第二届科学史研讨会汇刊， 台湾，1991年7月， 227-234页。4. 李继

11、闵：商高定理辨证。刊於自然科学史研究，1993年第12卷第1期，29-41页。5. 曲安京： 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於数学传播20卷， 台湾，1996年9月第3期， 20-27页证法7达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道ebcf，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形abof和cdeo都是正方形。然后需要知道的是角a和角d都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结ad，因为对称的缘故，所以bad=fad=cda=eda=45，那么很明显，图三中角a和角d都是直角。证明：第一张中多边形abcdef的面积s1=s正方形abof+s正方形cdeo+2sbco=of2+oe2+ofoe 第三张中多边形abcdef的面积s2=s正方形bcef+2cde=ef2+cdde 因为s1=s2所以of2+oe2+ofoe=ef2+cdde又因为cd=cd=oe,de=af=of所以of2+oe2=ef2因为ef=ef所以of2+oe2=ef2 勾股定理得证。证法8从这张图可以得到一个矩