圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

1、圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合类型一：圆与相似三角形的综合 1如图，bc是a的直径，dbe的各个顶点均在a上，bfde于点f.求证：bdbebcbf.2如图，在rtabc中，acb90，以ac为直径的o与ab边交于点d，过点d作o的切线，交bc于点e. (1)求证：点e是边bc的中点； (2)求证：bc2bdba； (3)当以点o，d，e，c为顶点的四边形是正方形时，求证：abc是等腰直角三角形解：(1)连结od，de为切线，edcodc90.acb90，ecdocd90.又odoc，odcocd，edcecd，edec.ac为直径，adc90，bdeedc90，becd90，b

2、bde，edeb，ebec，即点e为边bc的中点(2)ac为直径，adcacb90.又bb，abccbd，abbcbcbd，bc2bdba(3)当四边形odec为正方形时，ocd45.ac为直径，adc90，cad90ocd904545，rtabc为等腰直角三角形类型二：圆与解直角三角形的综合3如图，在abc中，以ac为直径作o交bc于点d，交ab于点g，且d是bc的中点，deab，垂足为点e，交ac的延长线于点f.(1)求证：直线ef是o的切线；(2)已知cf5，cosa25，求be的长解：(1)连结od.cddb，cooa，od是abc的中位线，odab，ab2od.deab，deod，即

3、odef，直线ef是o的切线(2)odab，coda，coscodcosa25.在rtdof中，odf90，cosfododof25.设o的半径为r，则rr525，解得r103，ab2odac203.在rtaef中，aef90，cosaaeafae520325，ae143，beabae20314324(2015资阳)如图，在abc中，bc是以ab为直径的o的切线，且o与ac相交于点d，e为bc的中点，连结de. (1)求证：de是o的切线； (2)连结ae，若c45，求sincae的值 解：(1)连结od，bd，odob，odbobd.ab是直径，adb90，cdb90.e为bc的中点，deb

4、e，edbebd，odbedbobdebd，即edoebo.bc是以ab为直径的o的切线，abbc，ebo90，ode90，de是o的切线(2)过点e作efcd于点f，设efx，c45，cef，abc都是等腰直角三角形，cfefx，bece2x，abbc22x.在rtabe中，aeab2be210x，sincaeefae10105如图，abc内接于o，直径bd交ac于点e，过点o作fgab，交ac于点f，交ab于点h，交o于点g. (1)求证：ofdeoe2oh； (2)若o的半径为12，且oeofod236，求阴影部分的面积(结果保留根号)解：(1)bd是直径，dab90.fgab，dafo

5、，foeade，foadoede，即ofdeoead.o是bd的中点，daoh，ad2oh，ofdeoe2oh(2)o的半径为12，且oeofod236，oe4，ed8，of6，oh6.在rtobh中，ob2oh，obh30，boh60，bhbosin60123263，s阴影s扇形gobsohb601223601266324183类型三：圆与二次函数的综合 6如图，在平面直角坐标系中，已知a(4，0)，b(1，0)，且以ab为直径的圆交y轴的正半轴于点c(0，2)，过点c作圆的切线交x轴于点d. (1)求过a，b，c三点的抛物线的解析式； (2)求点d的坐标； (3)设平行于x轴的直线交抛物线

6、于e，f两点，问：是否存在以线段ef为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由解：(1)y12x232x2(2)以ab为直径的圆的圆心坐标为o(32，0)，oc52，oo32.cd为圆o的切线，occd，ocodco90.又coooco90，coodco，ococdo，ooococod，3222od，od83，点d的坐标为(83，0)(3)存在抛物线的对称轴为直线x32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点e的坐标为(32r，r)或f(32r，r)，而点e在抛物线y12x232x2上，r12(32|r|)232(32|r|)2，r11292，r21292(舍去)故存

7、在以线段ef为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为12927如图，抛物线yax2bx3与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c，经过a，b，c三点的圆的圆心m(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，m的半径为.设m与y轴交于点d，抛物线的顶点为e. (1)求m的值及抛物线的解析式； (2)设dbc，cbe，求sin()的值； (3)探究坐标轴上是否存在点p，使得以p，a，c为顶点的三角形与bce相似？若存在，请指出点p的位置，并直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意，可知c(0，3)，b2a1，抛物线的解析式为yax22ax3(a0)过点m作mny轴于点n，连结cm，则mn1，cm5，cn2，于是m1.同理，可求得b(3，0)，a322a330，解得a1.抛物线的解析式为yx22x3(2)由(1)得，a(1，0)，e(1，4)，d(0，1)，bce为直角三角形，bc32，ce2，obod313，bcce3223，obodbcce，即obbcodce，rtbodrtbce，得cbeobd，因此sin()sin(dbcobd)sinobccobc22(3)显然rtcoartbce，此时点o(0，0)过点a作ap2ac交y轴的正半轴于点p2